SỰ QUYẾN RŨ CỦA TOÁN HỌC MÀ CHỈ CÓ DÂN VẬT LÍ NHÌN THẤY

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

ỨNG DỤNG Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI TRONG VẬT LÍ

Đ

ạo hàm có ý nghĩa rất quan trọng trong việc giải các bài tập vật lí. Nhưng trong hầu hết các bài toán, nếu ứng dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm, thì chúng ta thường đề cập đến đạo hàm bậc nhất. Bài viết này, tác giả xin giới thiệu ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp hai, và ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số bài toán vật lí.

Chúng ta sẽ bắt đầu từ ý nghĩa của đạo hàm bậc nhất

Xét hàm số y = f(x) có một phần đồ thị như hình vẽ (đường cong).

Đạo hàm cấp hai

Đoạn M0M là một đoạn cong, nhưng nếu cho M tiến dần về M0 thì khi M0M rất nhỏ, đoạn này là một đoạn thẳng, nó bị chứa bởi một đường thẳng chính là tiếp tuyến của đồ thị tại M0Tức là khi đó, hình M0MH là một tam giác vuông, có
Δx và Δy rất nhỏ (Δ→ 0), ta gọi chúng là các vi phân và kí hiệu là dx và dy, ta có
Đây chính là đạo hàm của hàm số y = f(x). Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số tại một điểm nào đó, chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến của đồ thị tại điểm đó. Tức là:

+ Nếu dy/dx  > 0 thì đồ thị dốc lên, hàm tăng (đồng biến).

+ Nếu dy/dx < 0 thì đồ thị dốc xuống, hàm nghịch biến.

    + Nếu dy/dx = 0 thì đồ thị nằm ngang, tại đó là cực trị.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm bậc hai
+ Đạo hàm bậc hai
Đạo hàm cấp hai
+ Bây giờ ta tìm hiểu ý nghĩa hình học của đạo hàm bậc hai:
Như đã biết, “độ dốc” của đồ thị được xác định bằng đạo hàm bậc nhất. Bây giờ ta đặt ra câu hỏi, liệu có xác định được “độ cong” của đồ thị tại mỗi điểm hay không.
Ta coi rằng, mỗi đoạn nhỏ của đồ thị là một đoạn của một đường tròn bán kính r, khi đó độ cong của đồ thị tại đó là 1/r và ta tính độ cong này như sau:
Đạo hàm cấp hai

Xét một cung nhỏ P0P có độ dài ds, ta có
Bán kính cong
Trong đó
Bán kính cong
Thay vào ta được
Bán kính cong

Như vậy, đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai cho ta biết độ cong của đồ thị tại bất kì điểm nào.

Cũng cần lưu ý rằng, trong biểu thức tính bán kính cong r thì ds > 0, nhưng dα  có thể dương (nếu bề lõm của đồ thị hướng lên trên) hoặc âm (nếu bề lõm quay xuống dưới). Tức là:

Tâm của đoạn cong ở phía trên đồ thị thì r > 0

    Tâm của đoạn cong ở phía dưới đồ thị thì r < 0

+ Tại các cực trị dy/dx = 0 nên 1/r = d²y/dx², nếu d²y/dx² > 0 thì bề lõm quay lên, đó là cực tiểu, ngược lại nếu d²y/dx² < 0 thì bề lõm quay xuống, đó là cực đại.

Một số bài toán minh họa đạo hàm bậc hai trong các bài tập vật lý

 Bài 1. Một hòn bi nhỏ khối lượng m bắt đầu lăn từ điểm O trên một máng trơn OCB như hình vẽ. 

Bán kính cong

Hãy tính áp lực của bi lên máng tại C biết hình cắt của máng là một đường được xác định bằng phương trình 

Giải

    Trước hết ta xác định độ dốc của máng tại C
    Tại điểm C thì x = l/2, ta có dy/dx = 0
    Chọn mốc thế năng tại C, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ở O và C ta có
    Phương trình động lực học tại C:
    Trong đó r là bán kính cong của quỹ đạo tại C, nó được tính bằng công thức
    Với dy/dx = 0
    Dấu "-" chỉ có ý nghĩa rằng bề lõm của quỹ đạo tại C quay lên trên, ta chỉ lấy độ lớn của bán kính cong
Khi đó áp lực lên máng

Bài 2. Một lượng lớn thấu kính hội tụ mỏng có tiêu cự f được đặt cách đều nhau khoảng l sao cho trục chính của tất cả  thấu kính trùng nhau.  Khoảng l nhỏ  hơn rất nhiều so với f. Một chùm sáng chiếu vuông góc tới mặt phẳng thấu kính thứ  nhất (hình vẽ). Hãy vẽ  tiếp tia sáng và xác định khoảng cách giữa các điểm tia sáng cắt trục chính của hệ lần thứ ba và lần thứ tư.

Ứng dụng đạo hàm cấp hai trong vật lý

Giải

Các tia sáng hội tụ nên bẻ cong dần về phía trục chính. Sau khi cắt trục chính, chúng lại hội tụ theo hướng ngược lại,… cứ như vậy tia sáng có dạng tuần hoàn như hình vẽ.

    Ta chứng minh tia sáng có dạng hình sin.
Ứng dụng đạo hàm cấp hai

Ta xét sự khúc xạ của một tia sáng trên hai thấu kính liên tiếp, tại  hai điểm (x, y) và (x + dx, y + dy), trong đó dx = l (vì l rất nhỏ).

    Trên hình vẽ ta có

Trong đó tanα tanβ lần lượt là hệ số góc của tia sáng tại (x, y)(x + dx, y + dy).

Đạo hàm cấp hai
    Và do tại đó y đang giảm nên dy < 0, ta có

    Tương tự
    Thay trở lại biểu thức mới tìm

    Chia cả hai vế cho l, nhưng ở vế trái ta xem l = dx

    Vế trái chính là đạo hàm bậc hai của y theo x

    Phương trình vi phân quen thuộc này suy ra được

    Tức là đường truyền các tia sáng có dạng hình sin, nhận Ox làm trục đối xứng.

Từ hình vẽ ta thấy khoảng cách giữa các điểm tia sáng cắt trục chính của hệ lần thứ ba và lần thứ tư là

    Trong đó

    Vậy

Bài 3. Một quả cầu sắt (A) khối lượng m = 2 kg có thể trượt không ma sát dọc theo một thanh cố định nằm ngang, thanh xuyên qua quả cầu. Một quả cầu (B) cùng khối lượng m, được nối với quả cầu (A) bằng một sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài L = 1,6 m. Ban đầu các quả cầu đứng yên, sợi dây nối căng ngang và tổng chiều dài đúng bằng chiều dài thanh, như hình vẽ. Khi đó thả nhẹ quả cầu (B) để nó bắt đầu rơi với vận tốc ban đầu bằng không. Lấy g = 10 m/s².

a) Hãy xác định dạng quỹ đạo chuyển động cuả quả cầu (B).

b) Tính áp lực của thanh lên quả cầu (A) và lực căng sợi dây khi quả cầu (B) ở vị trí thấp nhất.

Giải

a) Dạng quỹ đạo chuyển động của quả cầu (B)

Chọn hệ trục tọa độ xOy sao cho, O ở trung điểm của thanh, Ox trùng với thanh hướng sang phải, Oy thẳng đứng hướng xuống.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ hai quả cầu theo phương ngang ta có

tức là xA = - xB ở mọi thời điểm, và ta có y² + (2x)² = L² hay

Đây là phương trình của một êlip.

b) Áp lực của thanh lên quả cầu (A) và lực căng sợi dây

Đạo hàm cấp hai

Đối với chuyển động của hệ đã cho thì quỹ đạo của (B) là một phần của elip này, với y ≥ 0.

Cũng vì thế mà ta có thể viết

    Đạo hàm hai lần hàm số này ta có
    
    Bán kính cong của quỹ đạo tại điểm thấp nhất của (B) là

    Dấu ‘-’ chỉ có ý nghĩa là bề lõm quay về gốc tọa độ, tức là ta lấy r = L/4, gia tốc hướng tâm tại B

    Khi sợi dây thẳng đứng thì vBx = vB = -vA = v.

Bảo toàn cơ năng cho hệ:

    Vậy ta có

    Áp dụng định luật II Niu-tơn cho vật (B) ta có: T – mg = maB    T = m(g + aB) = 100 N

Còn đối với vật (A) thì áp lực lên thanh được tính: N = mg + T = 120 N.

(Còn nữa...)

























Không có nhận xét nào: