Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài toán Olympic đơn giản, không phải toán học mà là vật lý. Những đường cong được nhắc đến trong bài toán này sẽ dẫn chúng ta đến bài toán Plateau về các mặt cực tiểu, đến hình dạng tối ưu của mái vòm trong kiến trúc và đến các mô hình của hình học phi Euclid. Ở mọi nơi đều xuất hiện cùng một phương pháp, được xây dựng từ hơn ba thế kỷ trước để giải quyết một bài toán hoàn toàn khác.
Âm thanh truyền theo đường cong nào?
Nhiều năm trước, một trong những tác giả của bài viết này đã tham gia kỳ thi học sinh giỏi vật lý thành phố. Dù không đạt giải nhất nhưng chuyến đi không hề uổng phí: có một bài toán rất đáng nhớ. Đó là bài toán số 2, nói về một tín hiệu âm thanh lan truyền trong nước, nơi tốc độ âm thanh phụ thuộc vào độ sâu. Các học sinh lớp mười chăm chỉ giải bài lúc đó không hề hay biết bài toán này có những mối liên hệ sâu sắc (theo mọi nghĩa) đến mức nào. Thậm chí chúng tôi không chắc bản thân tác giả bài toán có biết điều đó hay không. Từ bài toán này chỉ cách một bước chân là đến nguyên lý quang học nổi tiếng trong lý thuyết cực trị, vốn có vô số ứng dụng trong các ngành khoa học khác. Chúng ta sẽ cùng rút ra nguyên lý này và từ từ khám phá các ứng dụng khác nhau của nó, đôi khi dừng lại để điểm qua lịch sử và các hướng tổng quát hóa khả dĩ. Nhưng trước tiên, hãy xem qua nội dung bài toán (chúng tôi đã thay đổi cách diễn đạt một chút).
Bài toán
Biết rằng ở các vĩ độ phía Bắc, tốc độ âm thanh trong nước ở điều kiện chuẩn tăng theo độ sâu theo công thức $v(h) = 1450 + 0,0167h$. Hãy xác định độ sâu tối đa mà một tín hiệu âm thanh định hướng mạnh, phát ra dưới góc 15° so với mặt nước, có thể đạt tới. Định luật khúc xạ của sóng âm hoàn toàn tương tự như định luật khúc xạ ánh sáng.
Lời giải. Chia khối nước thành nhiều lớp ngang mỏng, bên trong mỗi lớp tốc độ được coi là không đổi. Khi đó, tín hiệu âm thanh sẽ có dạng đường gấp khúc, đoạn thứ $k$ của nó sẽ đi qua lớp thứ $k$ và cắt ranh giới lớp dưới một góc $\alpha_k$ (Hình 1). Viết định luật khúc xạ tại ranh giới các lớp, ta nhận được: $$ \frac{\cos\alpha_{k+1}}{\cos\alpha_k} = \frac{v_{k+1}}{v_k} $$ trong đó $v_k$ là tốc độ ở lớp thứ $k$.
Trong dạng quen thuộc, định luật khúc xạ (định luật Snell) được viết bằng sin của các góc so với pháp tuyến, và điều này tất nhiên là tương đương. Ta có thể viết lại nó dưới dạng: $$ \frac{\cos\alpha_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{\cos\alpha_k}{v_k} $$
Khi đó bằng quy nạp, ta kết luận rằng tỉ số $\frac{\cos\alpha_k}{v_k}$ đối với tất cả các lớp là như nhau. Ở độ sâu tối đa, ta có $\alpha_N = 0$. Ta thu được phương trình: $$ \frac{\cos\alpha_N}{v_N} = \frac{\cos\alpha_1}{v_1} $$ trong đó $v_1 = 1450$, $\alpha_1 = 15^\circ$ và $v_N = 1450 + 0,0167h$. Thay các đại lượng đã biết vào, ta tìm được đáp số: $h = \mathbf{3063 \text{ m}}$.
Công thức được đưa ra trong điều kiện bài toán là công thức Wilson đã được đơn giản hóa một chút. Nó đúng ở nhiệt độ thấp và điều kiện chuẩn đối với độ mặn bình thường của nước. Khoảng cách 3 km không nên làm chúng ta ngạc nhiên. Trong nước, âm thanh có cường độ trung bình có thể truyền đi khoảng 15–20 km, còn các tín hiệu mạnh thì hơn 100 km. Tín hiệu không chạm tới đáy không phải vì nó bị tắt dần, mà vì nó đi theo đường cong.
Điều chúng ta quan tâm không phải là độ sâu tối đa, mà là hình dạng của quỹ đạo và (điều đặc biệt quan trọng!) thời gian nó đi qua quỹ đạo đó. Nếu lấy hai điểm bất kỳ $A$ và $B$ trên quỹ đạo, thì cung giữa chúng sẽ là đường cong mất ít thời gian nhất để di chuyển từ $A$ đến $B$ với tốc độ $v(h)$, được tính theo công thức Wilson. Chúng ta biết điều này từ quang học: ánh sáng (trong trường hợp này là âm thanh) luôn đi theo con đường có thời gian ngắn nhất, và con đường này tuân theo định luật khúc xạ. Chúng ta sẽ sử dụng định luật này.
Phương pháp quang học
Như vậy, một tín hiệu âm thanh định hướng sẽ đi theo một quỹ đạo đảm bảo thời gian nhỏ nhất. Vậy nếu tốc độ âm thanh ở một độ sâu không được tính bằng công thức Wilson mà bằng một công thức khác thì sao? Kết quả sẽ khác, nhưng nguyên tắc giải quyết vẫn như cũ. Bằng cách biểu diễn môi trường như một tập hợp các lớp mỏng, chúng ta thu được tỉ số giữa cosin của góc nghiêng quỹ đạo và tốc độ âm thanh là một hằng số trên suốt quãng đường. Do đó, tỉ số này là một bất biến của quỹ đạo. Thay các công thức khác nhau của tốc độ âm thanh vào, chúng ta sẽ nhận được lời giải cho nhiều bài toán cực trị, vốn không còn liên quan gì đến quang học nữa.
Chúng ta sẽ chuyển từ tia âm thanh sang các tia sáng quen thuộc hơn và xét một mặt phẳng tọa độ tiêu chuẩn. Mặt phẳng được làm từ một môi trường trong suốt, chiết suất của môi trường này chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tới trục $x$. Như vậy, tốc độ ánh sáng tại một điểm tùy ý $(x; y)$ bằng $v(y)$, hàm này đã được cho trước. Chúng ta giả định nó có khả năng vi phân, tức là chiết suất thay đổi một cách từ từ. Giả sử một chất điểm muốn đi từ điểm $A$ đã cho đến điểm $B$ trong thời gian ngắn nhất, với tốc độ tại mọi thời điểm bằng giá trị của hàm $v(y)$. Như chúng ta đã biết, nó phải di chuyển dọc theo quỹ đạo của một tia sáng, và quỹ đạo này có thể được mô tả bằng bất biến $\frac{\cos\alpha}{v(y)} = \text{const}$, trong đó $\alpha$ là góc mà quỹ đạo cắt đường thẳng nằm ngang tại điểm $(x; y)$ (Hình 2). Góc này dĩ nhiên phụ thuộc vào vị trí điểm, và viết chính xác hơn thì phải là $\alpha(x)$. Chúng ta sẽ giả định rằng quỹ đạo là đồ thị của một hàm số nào đó $y = f(x)$. Khi đó $\alpha = \alpha(x)$ là góc mà tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(x; f(x))$ tạo với trục $x$.
Trong số tất cả các hàm $f(x)$ có đồ thị nối hai điểm cho trước trên mặt phẳng, chúng ta phải tìm hàm sao cho chuyển động dọc theo đồ thị đó mất ít thời gian nhất.
Định lý 1. Hàm số $y = f(x)$, tương ứng với thời gian chuyển động nhỏ nhất dọc theo đồ thị với tốc độ $v(y)$, có tính chất: $$ \frac{\cos\alpha}{v(y)} = \text{const}. $$
Chứng minh. Nếu hàm $f$ là đơn điệu, thì tại mỗi điểm trên đồ thị của nó định luật khúc xạ ánh sáng phải được thỏa mãn, điều này, như chúng ta đã biết, dẫn đến công thức trên. Trong trường hợp tổng quát, ta chia đồ thị thành các khoảng đơn điệu. Tỉ số $\frac{\cos\alpha}{v(y)}$ thay đổi liên tục và không đổi trên mỗi khoảng, nghĩa là nó không đổi trên toàn bộ quãng đường. Định lý đã được chứng minh.
Trước khi chuyển sang các bài toán cực trị, ta cần làm rõ các quy tắc. Điều này rất quan trọng! Tính hằng số của tỉ số giữa cosin và tốc độ chỉ là điều kiện cần của tính tối ưu, chứ không phải là điều kiện đủ. Chúng ta sẽ không đi tính toán tất cả các đường cong thỏa mãn điều kiện này, và sẽ không chứng minh tính tối ưu. Điều đó sẽ đưa chúng ta quá sâu vào phép tính biến phân. Có thể có một vài đường cong như vậy, và chúng ta (không cần chứng minh) sẽ chọn đường cong đạt được thời gian nhỏ nhất. Cuối cùng, chúng ta sẽ loại trừ trường hợp tầm thường $f(x) = \text{const}$, khi đồ thị là một đường thẳng nằm ngang. Trong trường hợp này $\cos\alpha = 1$ và tốc độ $v(y)$ là không đổi, vì tung độ $y$ không đổi. Do đó, tính chất bất biến được thỏa mãn. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán, trường hợp ngoại lệ này không cho giá trị nhỏ nhất và không được xem xét. Như vậy, chúng ta sẽ luôn coi rằng đường cong không chứa các đoạn nằm ngang.
Như thường lệ trong giải tích, chúng ta sẽ nói rằng số khác không $a$ "gần bằng" số $b$, nếu hiệu của chúng nhỏ hơn rất nhiều so với $a$. Tương tự đối với các đại lượng biến thiên $a$ và $b$: nếu cả hai đều tiến tới không, thì "$a$ gần bằng $b$" có nghĩa là tỉ số $(a-b)/a$ tiến tới không.
Các quy tắc đã được thiết lập. Chúng ta bắt đầu!
Lại bàn về đường cong đoản thời (Brachistochrone)
Câu chuyện về đường cong dốc xuống nhanh nhất đã được mô tả chi tiết trong các bài báo và sách. Nhiều người coi nó là một trong những bước ngoặt trong lịch sử của toàn bộ toán học. Chính từ bài toán về đường cong đoản thời mà phép tính biến phân hiện đại ra đời. Nó đã chứng minh sức mạnh của giải tích toán học, công cụ lúc bấy giờ mới bắt đầu khẳng định vị thế của mình. Tạp chí "Kvant" cũng đã từng đề cập đến chủ đề này [1]. Bây giờ chúng ta cũng không thể bỏ qua nó, bởi vì chính khi đó, Johann Bernoulli (1667-1748) — người đã phát hiện ra định luật dòng chảy của chất lỏng không nén được — lần đầu tiên áp dụng phương pháp quang học. Ông đã áp dụng nó một cách trực tiếp: trong trường hợp của ông, đại lượng $v(y)$ chính xác là vận tốc, mặc dù không phải của ánh sáng, mà là của một chất điểm. Sau đó chúng ta sẽ thấy rằng có thể có một mức độ trừu tượng cao hơn trong các bài toán, không còn liên quan gì đến chuyển động nữa.
Vào tháng 6 năm 1696, Johann Bernoulli đã công bố trên tạp chí «Acta Eruditorum» một ghi chú với tiêu đề hấp dẫn: "Một bài toán mới, mời các nhà toán học cùng giải".
Bài toán của Bernoulli
Cho hai điểm A và B trong mặt phẳng thẳng đứng. Dưới tác dụng của trọng lực, một chất điểm phải chuyển động theo đường cong nào để khi bắt đầu chuyển động từ A, nó đạt đến B trong thời gian ngắn nhất?
Ngay từ thời Galileo, người ta đã hiểu rằng đường thẳng, mặc dù là con đường ngắn nhất, nhưng không phải là đáp án. Bằng thực nghiệm, ông đã xác định được rằng quỹ đạo theo cung tròn sẽ nhanh hơn. Không rõ liệu Galileo có giả định rằng chính cung tròn sẽ cho sự dốc xuống nhanh nhất hay không. J. Bernoulli đã tìm ra đường cong dốc xuống nhanh nhất và che giấu đáp án dưới cái tên "brachistochrone", tiếng Hy Lạp nghĩa là "thời gian ngắn nhất". Bài toán nhận được năm lời giải, tất cả đều đúng. Một của chính tác giả, những lời giải khác đến từ Leibniz, L'Hôpital, từ người anh trai Jacob Bernoulli, và bức thư cuối cùng gửi đến là ẩn danh. Tuy nhiên, qua văn phong hoàn hảo của nó, người ta đã ngay lập tức nhận ra tác giả là Isaac Newton, "giống như nhận ra con sư tử qua móng vuốt của nó".
Lời giải của Bernoulli được mọi người yêu thích vì sự thanh lịch và bất ngờ nhất. Ông đề nghị thay thế chuyển động của điểm bằng sự lan truyền của tia sáng trong một môi trường không đồng nhất. Trong đó, chiết suất của môi trường được chọn sao cho tương ứng với tốc độ của điểm ở độ cao đó. Vận tốc này dễ dàng tính được từ định luật bảo toàn năng lượng. Bernoulli đã không viết rõ ràng bất biến $\frac{\cos\alpha}{v(y)}$, mà tìm ra lời giải từ các suy luận hình học. Đáp án, ẩn dưới bút danh "brachistochrone", hóa ra là cung của đường cycloid — đường cong được vạch ra bởi một điểm trên một đường tròn lăn không trượt trên một đường thẳng. Hơn nữa, đường thẳng nằm ngang này đi qua điểm A. Bất kỳ điểm B nào nằm dưới A đều có thể được nối với A bằng một cung của đường cycloid như vậy, và chỉ bằng một cách duy nhất. Trên Hình 3, các điểm A và B nằm gần như ở cùng một độ cao. Để đi từ A đến B theo đường cycloid, trước tiên cần phải lặn xuống sâu xuống một "hố" sâu, rồi sau đó đi lên điểm B. Hóa ra con đường có vẻ nghịch lý này lại cho thời gian ngắn nhất!
Phương pháp quang học ở đây tỏ ra hoàn toàn tự nhiên. Vận tốc ở độ cao $y$ được tính từ định luật bảo toàn năng lượng: $$ \frac{mv^2}{2} + mgy = \text{const}. $$ Chúng ta đã đặt gốc tọa độ tại điểm A, vì vậy độ cao $y$ sẽ nhận giá trị âm. Hằng số bằng không, bởi vì chúng ta xuất phát từ A với vận tốc ban đầu bằng không. Từ đó suy ra $v(y) = \sqrt{-2gy}$. Bây giờ áp dụng Định lý 1. Vì chúng ta đã biết câu trả lời, chúng ta sẽ chỉ chứng minh rằng đường cycloid thỏa mãn điều kiện bất biến: $$ \frac{\cos\alpha}{v(y)} = \text{const}. $$
Lời giải bài toán Bernoulli. Một đường tròn bán kính $R$ lăn dọc theo trục $x$, tiếp xúc với trục này từ bên dưới (Hình 4). Một điểm M bất kỳ trên đường tròn sẽ vạch ra một cung cycloid từ điểm A đến B. Vận tốc $v$ của nó tại mỗi thời điểm luôn hướng theo tiếp tuyến của đường cycloid. Gọi C là tâm đường tròn, và $u$ là vận tốc mà tâm này di chuyển (chữ cái $v$ đã được sử dụng). Chú ý rằng các vận tốc $u$ và $v$ không cố định, tại mỗi điểm của cycloid chúng có giá trị riêng. Chúng ta chỉ biết rằng $v(y) = \sqrt{-2gy}$. Bây giờ chúng ta sẽ liên kết các đại lượng này bằng một phương trình.
Chuyển động là lăn không trượt, do đó điểm M chuyển động với cùng tốc độ $u$ tương đối so với tâm C, và vận tốc này hướng theo tiếp tuyến của đường tròn. Theo nguyên lý cộng vận tốc, vận tốc tổng hợp của điểm M bằng tổng của hai vận tốc này. Tổng này được tìm theo quy tắc hình bình hành, trong trường hợp này là một hình thoi. Vận tốc $\vec{v}$ hướng dọc theo đường chéo MF của hình thoi, do đó $\alpha = \angle DMF$ là góc giữa vận tốc và trục $x$. Đường chéo của hình thoi cũng là đường phân giác của nó, nên $\angle DME = 2\alpha$. Cuối cùng, ME là tiếp tuyến của đường tròn, do đó $\angle EMC = 90^\circ$. Tung độ của điểm M bằng: $$ y = -R(1 + \sin(90^\circ - 2\alpha)) = -2R\cos^2\alpha, $$ từ đó $$ v(y) = \sqrt{-2gy} = 2\sqrt{gR}\cos\alpha. $$
Như vậy, $$ \frac{\cos\alpha}{v(y)} = \frac{1}{2\sqrt{gR}} = \text{const}, $$ suy ra đường cycloid thỏa mãn điều kiện của Định lý 1 và bài toán đã được giải quyết.
Trong bài toán brachistochrone, chúng ta tìm kiếm thời gian nhỏ nhất. Bây giờ chúng ta sẽ tiến thêm một bước và đi tối thiểu hóa các đại lượng khác — diện tích, thế năng, khoảng cách. Một cách đáng ngạc nhiên, phương pháp quang học lại xuất hiện ở đó.
Bài toán Plateau
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp quang học để tối thiểu hóa diện tích. Điều này sẽ được thực hiện nhờ vào việc lựa chọn một cách đặc biệt hàm vận tốc $v(y)$.
Hãy xem xét bài toán sau. Trong không gian cho một tập hợp bị chặn $V$; yêu cầu là bao bọc nó bằng một mặt có diện tích nhỏ nhất. Nói cách khác, trong số tất cả các mặt kín chứa $V$, cần tìm mặt có diện tích cực tiểu. Chúng ta sẽ ký hiệu mặt này là $\Sigma$, và dùng cùng ký hiệu đó cho diện tích của nó. Điều kiện cho phép mặt này có thể không liên thông, tức là bao gồm nhiều mảnh rời rạc.
Nếu tập hợp $V$ bao gồm một số hữu hạn các điểm, thì nó có thể được bao phủ bằng một mặt bất kỳ một diện tích nhỏ tùy ý nào. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết $S = 0$. Bao bọc mỗi điểm bằng một hình cầu bán kính $r$ và sau đó lấy $r$ nhỏ tùy ý. Nếu $V$ là một đường tròn, thì lại có $S = 0$, vì đường tròn có thể được bao bọc trong một hình xuyến mỏng. Và nói chung, nếu $V$ là một đường cong liên tục có độ dài hữu hạn, thì $S = 0$. Mặt khác, nếu $V$ là một tập lồi, thì nghiệm của bài toán Plateau sẽ là bề mặt của chính tập hợp đó, tức là $\Sigma$ là ranh giới của $V$. Bạn có thể tự mình thử chứng minh điều này. Từ đây suy ra, ví dụ, nếu $V$ là một hình tròn, thì mặt cực tiểu $\Sigma$ bao gồm hai hình tròn dán vào nhau dọc theo đường tròn biên.
Nhà toán học người Bỉ Joseph Plateau (1801-1883), người đã nghiên cứu bài toán về các mặt cực tiểu, đã đưa ra một diễn giải trực quan như sau. Nếu nhúng tập hợp $V$ vào dung dịch xà phòng và rút ra, thì màng xà phòng sẽ có hình dạng của mặt $\Sigma$. Điều này được giải thích là do màng phim có xu hướng chiếm vị trí mà thế năng của nó là nhỏ nhất, và điều này xảy ra khi diện tích là nhỏ nhất.
Một trong những hình đơn giản mà đối với nó bài toán Plateau có ý nghĩa là "quả tạ", gồm hai hình tròn bằng nhau và một đoạn thẳng nối tâm của chúng và vuông góc với các mặt phẳng chứa hai hình tròn. Đoạn nối có thể bị bỏ đi, chỉ để lại hai hình tròn, đáp án của bài toán sẽ không thay đổi. Theo trực giác, rõ ràng (xin bỏ qua phần chứng minh) mặt $\Sigma$ phải bao gồm hai hình tròn này và mặt bên nối chúng (Hình 5). Chúng ta sẽ tìm mặt bên có diện tích nhỏ nhất này (ký hiệu nó là $\Sigma'$). Để làm điều này, chúng ta sẽ biểu diễn diện tích bề mặt như thời gian chuyển động dọc theo một đường cong nào đó, sau đó áp dụng phương pháp quang học.
Mô tả mặt cực tiểu
Từ lý lẽ đối xứng, có vẻ như mặt có diện tích nhỏ nhất phải là một mặt tròn xoay. Điều này thực sự đúng, mặc dù việc chứng minh chặt chẽ cực kỳ phức tạp. Như vậy, mặt này được tạo thành bằng cách quay đồ thị hàm số $y = f(x)$ quanh trục $x$. Hàm số được xác định trên đoạn $[-a; a]$ nối tâm của hai hình tròn, với $f(-a) = f(a) = R$ (bán kính của các hình tròn). Hãy thay thế đồ thị này bằng một đường gấp khúc với các đoạn ngắn và các đỉnh nằm trên đồ thị. Khi đó, mặt tạo thành do sự quay của đường gấp khúc này có diện tích gần bằng với mặt của chúng ta. Nó bao gồm các vành hẹp, mỗi vành là mặt bên của một hình nón cụt. Hãy lấy một vành như vậy. Nó được tạo thành bằng cách quay hình thang vuông ABCD (Hình 6) quanh cạnh bên AB của nó. Gọi độ dài đường trung bình của nó là $m$. Khi đó $m \approx f(x)$, với $x$ là trung điểm của đoạn AB. Đồng thời đặt $CD = r$. Hãy cắt vành dọc theo đoạn CD và trải rộng ra mặt phẳng. Có thể xảy ra hai trường hợp.
1) Đường thẳng CD song song với trục $x$. Khi đó chúng ta sẽ thu được một hình chữ nhật với các cạnh là $r$ và $2\pi m$ (Hình 7, bên trái). Như vậy, diện tích của vành bằng $2\pi mr$.
2) Đường thẳng CD không song song với trục $x$ và cắt nó tại một điểm $E$ nào đó. Khi đó khi trải phẳng ra, chúng ta sẽ nhận được một vành khuyên của một hình quạt tròn với tâm $E$ và góc mở $\gamma$ nào đó (Hình 7, bên phải). Ký hiệu $d$ là khoảng cách từ $E$ đến trung điểm của $CD$. Lấy diện tích của hình quạt tròn lớn trừ đi diện tích của hình quạt tròn nhỏ, ta được: $$ \frac{\gamma}{2}\left(d + \frac{r}{2}\right)^2 - \frac{\gamma}{2}\left(d - \frac{r}{2}\right)^2 = \gamma dr. $$
Chú thích 1: Không thể chỉ dựa vào trực giác ở đây. Ví dụ, trong bài toán khí động học của Newton, mặt có lực cản nhỏ nhất không phải là mặt đối xứng (xem [2]).
Chú ý rằng $\gamma d$ chính là độ dài cung tròn có tâm $E$ và bán kính $d$. Cung này thu được (sau khi trải phẳng vành nón cụt) từ đường tròn sinh ra do quay trung điểm của đoạn $CD$ quanh trục $x$. Độ dài của đường tròn này là $2\pi m$, do đó $\gamma d = 2\pi m$. Vậy, trong trường hợp này, diện tích của vành cũng bằng $2\pi mr$.
Ta thấy rằng diện tích của một vành trong cả hai trường hợp đều bằng $2\pi mr$. Bây giờ thực hiện bước quan trọng nhất: tìm vận tốc $v$ sao cho thời gian đi qua đoạn $CD$ có giá trị số bằng diện tích của vành. Rất đơn giản: diện tích bằng $2\pi mr$, còn thời gian thì bằng $\frac{r}{v}$. Như vậy, $\frac{r}{v} = 2\pi mr$, từ đó suy ra $v = \frac{1}{2\pi m}$.
Vậy, một chất điểm chuyển động với vận tốc $v = \frac{1}{2\pi m}$ sẽ đi qua đoạn gấp khúc $CD$ trong thời gian có giá trị số bằng diện tích của vành. Do đó, thời gian cần thiết để đi qua toàn bộ đường gấp khúc bằng tổng diện tích của các vành, tức là xấp xỉ bằng $\Sigma'$. Vận tốc trên mỗi đoạn gấp khúc bằng $\frac{1}{2\pi m} \approx \frac{1}{2\pi f(x)} = \frac{1}{2\pi y(x)}$.
Như vậy, chúng ta đã thu được thành quả chính — hàm vận tốc $v(y)$. Diện tích của mặt tròn xoay tạo bởi đồ thị hàm số $f(x)$ có giá trị số bằng thời gian cần thiết để đi dọc theo đồ thị này với vận tốc thay đổi $v(y) = \frac{1}{2\pi y}$. Áp dụng Định lý 1 và lưu ý rằng trong trường hợp này: $$ \frac{\cos\alpha}{v(y)} = 2\pi y \cos\alpha, $$ chúng ta thu được mô tả về mặt có diện tích nhỏ nhất.
Định lý 2. Hàm số $y = f(x)$ sinh ra mặt tròn xoay cực tiểu chứa hình "quả tạ" có tính chất: $$ y \cos\alpha = \text{const}. $$
Nói cách khác, cosin của góc nghiêng $\alpha(x)$ của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm $(x; y)$ so với trục $x$ tỷ lệ nghịch với $y$. Đường cong có tính chất này gọi là dây xích (catenoid), được xác định bởi công thức $y = \cosh x$, trong đó $\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$ là cosin hyperbolic. Đồ thị của hàm số này (Hình 8) gợi nhớ đến đường parabol, vì khi $x$ nhỏ, hàm $\cosh x$ xấp xỉ bằng $1 + \frac{x^2}{2}$, nhưng sau đó nó tăng nhanh hơn đáng kể. Nếu người đọc quen thuộc với đạo hàm và tính chất của hàm số mũ $e^x$, họ có thể dễ dàng chứng minh đường dây xích có tính chất $y \cos\alpha = \text{const}$. Nếu không, xin hãy tin lời chúng tôi.
Xây dựng mặt cực tiểu
Tìm ra công thức cho đường cong tối ưu là chưa đủ, còn phải để đường cong này đi qua các điểm đã cho $(-a; R)$ và $(a; R)$. Có thể tịnh tiến đường dây xích theo véc-tơ $(c; b)$ và thực hiện phép vị tự với hệ số $k$: $$ f(x) = b + k \cosh\left(\frac{x-c}{k}\right). $$
Trong trường hợp của chúng ta, $c, b$ dễ dàng tìm được nhờ tính đối xứng: $b = c = 0$, nhưng hệ số $k$ cần phải tính toán. Để làm điều này, hãy tìm điểm $D$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \cosh x$ với đường thẳng $y = \frac{R}{a}x$. Giả sử phép vị tự với hệ số $k$ biến điểm $D$ thành điểm $(a; R)$. Khi đó đường dây xích cần tìm được xác định bởi phương trình $y = k \cosh\left(\frac{x}{k}\right)$. Bằng cách đó, chúng ta đã tìm ra nghiệm của bài toán Plateau cho hình "quả tạ".
Nếu đường thẳng $y = \frac{R}{a}x$ tạo một góc nhỏ với trục $x$, thì nó sẽ không cắt đồ thị dây xích (Hình 9). Điều này có nghĩa là không có nghiệm chăng? Mặt cực tiểu không tồn tại? Nhưng "quả tạ" vẫn có thể được nhúng vào dung dịch xà phòng và rút ra, màng phim phải mang một hình dạng nào đó chứ. Bạn hãy thử tự tìm hiểu xem (câu trả lời ở cuối bài viết).
Chưa dừng lại ở đó. Hãy xem xét các trường hợp khác, ở đó mọi thứ cũng không hoàn toàn ổn. Trên Hình 10 bên trái, đường thẳng cắt đường dây xích tại hai điểm $D_1$ và $D_2$. Tương ứng, sau khi thực hiện phép vị tự với các hệ số $k_1$ và $k_2$ khác nhau, ta sẽ nhận được các cung của hai đường dây xích khác nhau cùng nối hai điểm (Hình 10 bên phải). Cung nào trong số đó cho ra nghiệm? Hay là cả hai? Khả năng thứ hai rất khó xảy ra, vì màng xà phòng chỉ có thể mang một hình dạng. Hóa ra, chỉ một trong hai cung là tối ưu — cung ngắn hơn ở phía trên. Lưu ý rằng về mặt hình học, hoàn toàn không hiển nhiên rằng cung ngắn hơn sẽ tạo ra diện tích mặt tròn xoay nhỏ hơn. Diện tích này không chỉ phụ thuộc vào chiều dài cung, mà còn phụ thuộc vào bán kính quay $y(x)$, và bán kính này lại nhỏ hơn ở chính cung dài hơn.
Như chúng ta đã đề cập, Định lý 1 chỉ cung cấp điều kiện cần của tính tối ưu. Có thể xảy ra trường hợp có nhiều đường cong thỏa mãn điều kiện $\frac{\cos\alpha}{v} = \text{const}$, nhưng chỉ có một đường trong số đó cho thời gian nhỏ nhất.
Dây xích treo
Đường catenoid còn được gọi là đường dây xích (catena trong tiếng Latin nghĩa là "dây xích"). Đây chính là hình dáng của một sợi dây xích đồng chất được treo giữa hai đầu cố định. Vấn đề là phương trình của sợi dây xích cũng là nghiệm của chính bài toán cực tiểu Plateau và được tính toán bằng phương pháp quang học thông qua cùng một bất biến đó. Tại sao lại như vậy? Chúng ta sẽ tìm hiểu ngay bây giờ. Hãy thiết lập phương trình cho sợi dây xích treo.
Sợi dây xích treo sẽ ở trạng thái mà thế năng của nó là nhỏ nhất. Giả sử hình dáng của dây xích được xác định bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ đi qua hai điểm đã cho. Nhiệm vụ của chúng ta là cực tiểu hóa thế năng $E(f)$. Cần lưu ý rằng chúng ta không tìm cực tiểu trong số tất cả các đường cong, mà chỉ trong số những đường có độ dài cho trước, bởi vì chiều dài của dây xích là cố định. Ở đây, khác với các ví dụ trước, chúng ta đang giải quyết một bài toán có điều kiện ràng buộc: cực tiểu hóa năng lượng $E$ với điều kiện độ dài $l$ của đồ thị bằng một số cho trước. Đối với các bài toán như vậy, người ta áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Thay vì tìm cực tiểu của đại lượng $E$, chúng ta cộng thêm vào đó đại lượng $l$ nhân với một số $\lambda$ nào đó, và sau đó tìm cực tiểu của đại lượng kết quả $L = E + \lambda l$, cứ như thể không có điều kiện ràng buộc nào. Số $\lambda$ được gọi là nhân tử Lagrange, còn đại lượng $L$ là hàm Lagrange (Lagrangian). Cả hai đều được đặt theo chữ cái đầu trong họ của nhà toán học người Pháp gốc Ý Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
Như vậy, thay vì giải bài toán có điều kiện ràng buộc, chúng ta tạo ra một hàm mới, hàm Lagrange, và tìm cực tiểu của nó giống như trong bài toán không có điều kiện ràng buộc. Nói chung, chúng ta chuyển sang một bài toán khác. Nhưng, theo định lý Lagrange, tồn tại ít nhất một giá trị của nhân tử $\lambda$ sao cho hai bài toán này có cùng một nghiệm, tức là cực tiểu đạt được trên cùng một hàm $f$. Toàn bộ khó khăn nằm ở chỗ chúng ta ban đầu không biết giá trị của $\lambda$, chúng ta chỉ biết rằng tồn tại một con số như vậy.
Như vậy, tồn tại một nhân tử $\lambda$ sao cho cực tiểu của hàm Lagrange $E + \lambda l$ đạt được trên cùng một hàm giống như cực tiểu của đại lượng $E$ với điều kiện là đại lượng $l$ cố định. Chúng ta sẽ đi tìm hàm $f$ này. Hãy thay thế đồ thị của $f$ bằng một đường gấp khúc và xét một đoạn $CD$ có độ dài $r$ (Hình 11).
Giả sử $\rho$ là mật độ khối lượng dài của vật liệu làm dây xích, khi đó thế năng của đoạn này bằng khối lượng $\rho r$ của nó nhân với gia tốc rơi tự do $g$ và khoảng cách $m$ từ trung điểm của đoạn đến trục $x$. Như vậy, $E_{CD} = \rho rgm$. Do đó, phần giá trị của hàm Lagrange $L$ tập trung trên đoạn này bằng $L_{CD} = \rho rgm + \lambda r$. Số này bằng thời gian đi qua đoạn $CD$ với vận tốc: $$ v = \frac{r}{\rho gmr + \lambda r} = \frac{1}{\rho g} \cdot \frac{1}{m + \lambda/\rho g} \approx \frac{1}{\rho g} \cdot \frac{1}{f(x) + \lambda/\rho g}, $$ trong đó $x$ là hoành độ của trung điểm đoạn $CD$. Và bây giờ chúng ta thực hiện một thủ thuật sau: hạ trục $x$ xuống một khoảng cách $\frac{\lambda}{\rho g}$. Chúng ta sẽ thu được một hệ tọa độ mới, trong đó hoành độ vẫn giữ nguyên, còn tung độ của mỗi điểm tăng thêm $\frac{\lambda}{\rho g}$.
Trong hệ tọa độ mới, $y = f(x) + \frac{\lambda}{\rho g}$, do đó $v(y) = \frac{1}{\rho gy}$. Như vậy, vận tốc ở độ cao $y$ tỷ lệ nghịch với $y$. Chúng ta lại gặp tình huống giống hệt như trong bài toán Plateau, chỉ khác là hệ số $2\pi$ được thay bằng $\rho g$. Do đó, nghiệm cũng sẽ giống nhau: hàm $f$ là hàm cosin hyperbolic.
Định lý 3. Một sợi dây xích đồng chất được treo giữa hai đầu cố định có hình dạng là một đường catenoid.
Hóa ra chúng ta có thể nhìn thấy đồ thị của hàm cosin hyperbolic mà không cần dùng đến máy tính. Để làm điều đó, chỉ cần cầm một sợi dây xích ở hai đầu.
"As hangs the chain, so stands the arch"
Tác giả của câu nói này là Robert Hooke (1635-1703), một nhà khoa học và nhà tự nhiên học người Anh. Trong vật lý, ông không chỉ là người tìm ra định luật biến dạng đàn hồi, mà dường như còn là người phát biểu định luật vạn vật hấp dẫn. Trong sinh học, ông đã đưa ra thuật ngữ "tế bào" (cell). Và vào năm 1675, ông đã đóng góp cho ngành kiến trúc khi khám phá ra rằng chính đường catenoid mô tả hình dáng của một mái vòm kiên cố nhất. Và điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng chính bất biến quang học đó! Đầu tiên, chúng ta sẽ cần phải "lật ngược" đồ thị lại.
Mái vòm như thế nào được coi là kiên cố nhất? Việc hình thức hóa câu hỏi này ở mức độ kiến thức phổ thông là không hề đơn giản. Chúng ta sẽ dựa vào trực giác: mái vòm nào phân bố tải trọng một cách đồng đều thì sẽ kiên cố hơn.
Theo Định lý 2, đồ thị của đường catenoid $y = \cosh x$ có tính chất $y \cos\alpha = \text{const}$. Hãy lấy đối xứng gương đồ thị qua trục $x$ (Hình 12). Tại một điểm tùy ý $M = (x; y)$ của đồ thị hàm số thu được hãy vẽ tiếp tuyến và đường vuông góc với nó (pháp tuyến ngoài). Góc giữa pháp tuyến và đường vuông góc KM với trục $x$ bằng góc giữa tiếp tuyến và trục $x$, tức là bằng $\alpha$. Từ đó: $$ KM \cos\alpha = |y| \cos\alpha = \text{const}. $$ Điều này có nghĩa là độ dài hình chiếu của đoạn thẳng đứng KM lên pháp tuyến ngoài tại điểm M là như nhau đối với tất cả các điểm trên đồ thị.
Hãy tưởng tượng rằng toàn bộ không gian phía trên đồ thị, cho đến tận trục $x$, được đổ đầy bê tông. Một lớp bê tông thẳng đứng nằm dọc theo đoạn KM tác dụng lên điểm M một lực tỷ lệ thuận với độ dài $KM = |y|$. Hình chiếu của lực này lên pháp tuyến ngoài chính là thành phần pháp tuyến của áp lực. Như vậy, thành phần pháp tuyến của áp lực là như nhau tại mọi điểm trên đồ thị của hàm số $y = -\cosh x$.
Do đó, một mái vòm có hình dạng đường catenoid, hay mái vòm dây xích (catenary arch), phân bố đều áp lực dọc theo toàn bộ chiều dài. Vì vậy, một mái vòm như vậy là kiên cố nhất. Và việc thiết kế hình dáng của mái vòm kiên cố nhất rất đơn giản — chỉ cần treo một sợi dây xích bằng hai đầu rồi lật ngược hình ảnh lại. Các kiến trúc sư ở mọi thời đại đều sử dụng phương pháp này. Chẳng hạn, Hình 13 vẽ Vòm Khosrow nổi tiếng, phần trung tâm của Bạch cung ở Ctesiphon (thế kỷ 6, cung điện của các Shah triều đại Sasan, Iraq), còn Hình 14 là Casa Milà, một tòa nhà dân cư ở Barcelona, được xây dựng từ năm 1906-1910 bởi kiến trúc sư nổi tiếng người Tây Ban Nha Antoni Gaudí.
Mô hình Poincaré của mặt phẳng Lobachevsky
Bây giờ chúng ta sẽ phải giải quyết bài toán ngược: tìm hàm vận tốc $v(y)$ nếu quỹ đạo tối ưu đã biết trước. Bằng cách đó, chúng ta sẽ hiểu rõ khái niệm chiều dài trong một trong các mô hình của hình học phi Euclid.
Hình học phi Euclid ra đời từ những nỗ lực nhằm chứng minh sự bất khả thi của nó. Trong năm tiên đề của Euclid, tiên đề thứ năm, tiên đề cuối cùng, không hoàn toàn hiển nhiên. Nó định đề rằng từ bất kỳ điểm nào không nằm trên một đường thẳng đã cho, ta chỉ có thể kẻ được đúng một đường thẳng song song với nó. Liệu có thể suy ra tiên đề này từ bốn tiên đề còn lại, hoặc ít nhất là từ những tính chất hiển nhiên hơn được bổ sung thêm của mặt phẳng và đường thẳng hay không? Bằng cách giả sử điều ngược lại — rằng có một điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng thứ ba, chúng ta sẽ rất nhanh chóng đi đến những khẳng định khá sâu sắc. Chẳng hạn, tổng các góc của bất kỳ tam giác nào cũng nhỏ hơn $180^\circ$.
Hình học phi Euclid được phát triển độc lập bởi C.F. Gauss (1777-1855), J. Bolyai (1802-1860) và N.I. Lobachevsky (1792-1856). Người cuối cùng đã tiến xa nhất trong việc xây dựng hình học này và chưa bao giờ vấp phải mâu thuẫn logic nào. Mặc dù nhiều sự thật ông khám phá ra trái ngược với trực giác thông thường. Ví dụ, trong hình học Lobachevsky không có hình nào như hình vuông. Nếu không, nó sẽ bị chia bởi đường chéo thành hai tam giác bằng nhau với tổng các góc là $180^\circ$. Ở đó cũng không có lấy một cặp hình nào đồng dạng mà không bằng nhau. Ví dụ, nếu có hai hình đồng dạng hai hình tam giác đó, thì bằng cách ghép một trong các góc của chúng lại, ta sẽ thu được một tứ giác (tam giác lớn trừ đi tam giác nhỏ) với tổng các góc là $360^\circ$. Bằng cách chia nó bằng một đường chéo, ta sẽ thu được hai tam giác, trong đó ít nhất một tam giác có tổng các góc không nhỏ hơn $180^\circ$. Cuối cùng, điều có vẻ kỳ lạ nhất là, trên mặt phẳng Lobachevsky không có những tam giác với diện tích lớn tùy ý. Diện tích của tất cả các tam giác bị giới hạn bởi một hằng số nhất định.
Vào cuối thế kỷ XIX, một số mô hình toán học của mặt phẳng Lobachevsky đã được xây dựng, chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó với điều kiện là hình học Euclid không mâu thuẫn. Một trong số đó, mang tên nhà toán học xuất chúng người Pháp Henri Poincaré (1854-1912), lại được đề xuất bởi một nhà khoa học khác — Eugenio Beltrami (1835-1900). Mô hình này không chỉ lập luận cho tính phi mâu thuẫn của hình học Lobachevsky, mà còn cho phép chứng minh nhiều khẳng định của nó trong khi vẫn nằm trong khuôn khổ của hình học Euclid.
Mặt phẳng Lobachevsky trong mô hình Poincaré là nửa mặt phẳng phía trên của mặt phẳng Euclid thông thường. Biên của nó, trục $x$, được gọi là đường tuyệt đối hay đơn giản là trục, và nó không thuộc về nửa mặt phẳng trên (Hình 15). Các đường thẳng trong mặt phẳng Lobachevsky chính là các nửa trên của các đường tròn có tâm nằm trên trục tuyệt đối. Các nửa đường tròn này là "mở", tức là không bao gồm các điểm mút nằm trên trục tuyệt đối.
Ngoài ra, các đường thẳng còn bao gồm các tia thẳng đứng "mở" bắt đầu từ trục $x$. Người đọc có thể dễ dàng chứng minh rằng qua hai điểm bất kỳ luôn có thể vẽ được một và chỉ một đường thẳng. Hơn nữa, qua mỗi điểm không nằm trên một đường thẳng đã cho, ta có thể kẻ được rất nhiều đường thẳng không cắt nó. Tuy nhiên, để thỏa mãn tất cả các tiên đề, cần phải đưa thêm khái niệm độ dài và góc. Việc đưa ra độ dài không hề đơn giản! Rốt cuộc, với độ dài này, các đường ngắn nhất phải là các nửa đường tròn có điểm mút trên trục! Do đó, độ dài trên nửa mặt phẳng Poincaré phải khác. Phải như thế nào?
Tất nhiên, bản thân Beltrami đã biết trước câu trả lời từ lý thuyết hàm biến phức. Chúng ta sẽ chỉ ra cách xây dựng độ dài này bằng các công cụ sơ cấp.
Một lần nữa, chúng ta lại áp dụng sự tương tự quang học. Chúng ta sẽ đo khoảng cách không phải bằng mét mà bằng giây. Khoảng cách giữa các điểm A và B bằng thời gian để tia sáng đi từ A đến B. Đối với khoảng cách này, cả bất đẳng thức tam giác và định luật cộng khoảng cách đối với ba điểm trên cùng một đường thẳng đều sẽ đúng.
Nếu môi trường là đồng nhất, thì ánh sáng đi đến đâu cũng với cùng một tốc độ, và do đó, đường đi ngắn nhất sẽ là đường thẳng (Euclid). Cần phải tìm hàm vận tốc $v(y)$ trên nửa mặt phẳng, sao cho đường đi ngắn nhất luôn là một cung tròn có tâm trên trục $x$. Như vậy, chúng ta đi đến một bài toán ngược: tìm hàm vận tốc $v(y)$ khi biết trước quỹ đạo.
Nếu các điểm A và B được nối bằng một cung tròn có tâm tại điểm P trên trục $x$, thì theo Định lý 1, đối với mọi điểm M trên cung này phải thỏa mãn $\frac{\cos\alpha}{v(y)} = c$. Ở đây $y$ là khoảng cách từ M đến trục $x$, và $\alpha$ là góc giữa tiếp tuyến KM của đường tròn và trục (Hình 16). Vì góc này trong tam giác vuông KMP bằng góc giữa cạnh góc vuông MP và đường cao $y$, nên ta có $\cos\alpha = \frac{y}{MP}$, từ đó suy ra $v(y) = \frac{1}{c\cdot MP}y$. Tuy nhiên MP là bán kính của đường tròn, tức là một đại lượng không đổi. Như vậy, $\frac{\cos\alpha}{y} = \text{const}$ tức là vận tốc $v(y)$ tỷ lệ thuận với $y$. Để đơn giản, ta chọn hệ số tỷ lệ bằng 1, thu được $v(y) = y$. Với vận tốc này, ánh sáng đi từ A đến B theo cung tròn có tâm trên trục $x$.
Cần nhấn mạnh một lần nữa: chúng ta chỉ mới chứng minh được rằng cung tròn có tâm trên trục là một nghiệm của phương trình $\frac{\cos\alpha}{y} = \text{const}$.
Chúng ta chưa chứng minh được nghiệm này là duy nhất, cũng như chưa chứng minh được nó thực sự cho thời gian ngắn nhất. Các phương pháp của phép tính biến phân (vượt xa phạm vi của bài viết này) cho phép chứng minh rằng cả hai điều này đều đúng.
Định lý 4. Nếu vận tốc tại mỗi điểm $(x; y)$ của nửa mặt phẳng phía trên bằng $y$, thì đường đi ngắn nhất giữa hai điểm bất kỳ (tức là con đường mà qua đó ta có thể đi từ điểm này đến điểm kia trong thời gian ngắn nhất) sẽ là một cung tròn có tâm trên trục.
Nếu hai điểm A và B nằm trên cùng một đường thẳng đứng, thì đường tròn sẽ biến thành một tia thẳng đứng.
Sau khi đã làm rõ về độ dài, bây giờ chúng ta có thể đưa ra một số khẳng định quan trọng.
Khẳng định 1. Mỗi nửa đường tròn với các điểm mút nằm trên đường tuyệt đối đều có độ dài vô hạn. Không thể đạt tới đường thẳng $x$ từ bất kỳ điểm nào của nửa mặt phẳng phía trên.
Chúng ta sẽ đưa ra chứng minh chặt chẽ sau một chút, còn bây giờ tạm giới hạn ở việc giải thích. Ta sẽ chỉ ra rằng một điểm bất kỳ sẽ di chuyển về phía trục $x$ dọc theo đường vuông góc trong một khoảng thời gian vô hạn. Giả sử nó đi được nửa quãng đường trong thời gian $T$. Ở nửa quãng đường còn lại, tung độ $y$ của các điểm tương ứng sẽ nhỏ đi một nửa, tức là nó sẽ chuyển động với vận tốc chỉ bằng một nửa và đi qua những quãng đường cũng bằng một nửa. Do đó, nó sẽ đi được một nửa của phần đường còn lại trong cùng một khoảng thời gian $T$. Nửa phần đường còn lại tiếp theo lại mất thêm thời gian $T$, và cứ như vậy.
Khẳng định 2. Các phép nghịch đảo (inversion) đối với các đường tròn có tâm trên đường tuyệt đối chính là các phép đối xứng trục của mặt phẳng Lobachevsky trong mô hình Poincaré.
Các phép đối xứng trục có thể được đặc trưng như những phép dời hình của mặt phẳng, giữ nguyên vị trí các điểm của một đường thẳng nào đó và thay đổi vị trí của các điểm còn lại. Phép nghịch đảo đối với đường tròn có tâm trên trục sẽ giữ nguyên vị trí của tất cả các điểm trên đường tròn đó. Do đó, chỉ còn phải chứng minh rằng đó là một phép dời hình, tức là phép nghịch đảo không làm thay đổi khoảng cách.
Như thường lệ, chỉ cần chỉ ra rằng nó "gần như" không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm gần nhau, sau đó chia bất kỳ đoạn thẳng nào thành các đoạn thẳng nhỏ, v.v. Hãy lấy một đường thẳng bất kỳ trong mô hình Poincaré. Nếu nó được biểu diễn bằng một tia vuông góc với trục, thì phép nghịch đảo trở thành phép đối xứng trục và không có gì để chứng minh. Giả sử nó được biểu diễn bằng một đường tròn bán kính $R$ có tâm $O$. Lấy hai điểm A, B gần nhau (Hình 17); phép nghịch đảo biến chúng thành các điểm $A'$ và $B'$. Vì $OA \cdot OA' = OB \cdot OB' = R^2$, nên $\frac{OA}{OB'} = \frac{OB}{OA'}$, và do đó, các tam giác $OAB$ và $OB'A'$ đồng dạng với một hệ số $k$ nào đó. Hệ số này bằng tỷ số độ dài của các đoạn thẳng $AB$ và $A'B'$, cũng như tỷ số $\frac{OA}{OB'}$, xấp xỉ bằng tỷ số $\frac{OA}{OA'}$ vì hai điểm $B'$ và $A'$ nằm gần nhau. Mặt khác, $\frac{OA}{OA'} = \frac{y_A}{y_{A'}} = \frac{v(y_A)}{v(y_{A'})}$, trong đó $y_A$ và $y_{A'}$ là tung độ của các điểm A và $A'$. Như vậy, $\frac{AB}{A'B'} = k \approx \frac{v(y_A)}{v(y_{A'})}$. Vì các đoạn thẳng này rất nhỏ, ta có thể coi toàn bộ đoạn AB được đi với tốc độ $v(y_A)$ và toàn bộ đoạn $A'B'$ được đi qua với vận tốc $v(y_{A'})$. Do đó, tỷ số chiều dài các đoạn thẳng bằng tỷ số các vận tốc, nghĩa là các đoạn thẳng này được đi qua trong cùng một khoảng thời gian.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh chặt chẽ Khẳng định 1. Nếu một điểm chuyển động về phía trục $x$ dọc theo một đường tròn bất kỳ có tâm trên trục (tức là dọc theo một đường thẳng bất kỳ trên mặt phẳng Lobachevsky), thì bằng cách sử dụng một phép nghịch đảo thích hợp biến đường tròn này thành một đường thẳng (Euclid), chúng ta sẽ thu được một điểm chuyển động dọc theo đường vuông góc với trục. Như đã chỉ ra trước đó, nó sẽ chuyển động trong một khoảng thời gian vô hạn.
Chú ý rằng, trong mặt phẳng Lobachevsky, định lý Chasles cũng được thỏa mãn (và cũng được chứng minh tương tự): mọi phép dời hình đều là hợp thành của không quá ba phép đối xứng trục. Do đó, mọi phép dời hình trong mô hình Poincaré là hợp thành của không quá ba phép nghịch đảo. Như chúng ta đã biết, phép nghịch đảo bảo toàn các góc giữa các đường tròn. Vì vậy, mọi phép dời hình trong mô hình Poincaré đều bảo toàn các góc (Euclid). Từ đó suy ra (bỏ qua các chi tiết) khẳng định sau.
Khẳng định 3. Các góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng Lobachevsky bằng các góc (Euclid) giữa các đường tròn tương ứng trong mô hình Poincaré.
Bạn đọc quen thuộc với khái niệm tích phân có thể thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm tùy ý $A$ và $B$. Đó là cái gọi là logarit của tỷ số kép (cross-ratio): $$ \ln\left(\frac{AN}{BN} : \frac{AM}{BM}\right), $$ trong đó $M, N$ là các giao điểm của "đường thẳng" $AB$ (tức là đường tròn có tâm trên trục đi qua $A$ và $B$) với đường tuyệt đối. Bạn có thể đọc chi tiết về mô hình Poincaré và hình học Lobachevsky trong các bài viết [3-5].
Tiếp theo là gì?
Phương pháp quang học không giải quyết được tất cả các bài toán cực trị. Trong hai thế kỷ qua, nhân loại đã phát minh ra nhiều phương pháp tổng quát hơn. Đúng là chúng sẽ đòi hỏi chúng ta phải có sự chuẩn bị kỹ càng hơn. Trước tiên là làm quen với phép tính tích phân và phương trình vi phân. Đối với phương pháp quang học, không cần những thứ này. Nó thực sự rất đơn giản. Nhưng ưu điểm chính của nó nằm ở chỗ khác: nó cho thấy một ý tưởng đơn giản có thể đóng vai trò như đòn bẩy Archimedes trong tay những người khéo léo. Và trong toán học hiện đại, điều này xảy ra rất thường xuyên. Những ý tưởng đột phá mới nhất đôi khi lại đơn giản và trực quan. Đôi khi chỉ cần nhìn xung quanh và theo dõi mối liên hệ giữa các sự vật.
Và ngoài ra, phương pháp quang học còn rất đẹp! Mặc dù, theo quan điểm của chúng tôi, các phương pháp hiện đại cũng đẹp không kém.
Trả lời câu hỏi về màng xà phòng
Mặt có diện tích nhỏ nhất sẽ là hợp của hai hình tròn. Tổng diện tích của hai mặt phẳng căng trên các hình tròn sẽ là nghiệm của bài toán Plateau. Màng xà phòng sẽ bị tách làm hai phần.
