Bài tập phát triển năng lực tự học ôn thi vào lớp 10 chuyên lý: Chuyển động - Đề số 4

HƯỚNG TỚI LỚP 10 CHUYÊN VẬT LÝ Học liệu Tự học Thông minh có Trợ lực Tư duy (Scaffolding)

Chuyên Đề: Chuyển Động Học Cơ Học Chọn Lọc (Olympic & Thi Vào Chuyên)

Hệ thống bài tập tự học tương tác gồm 5 bài toán chuyển động đặc sắc được tuyển chọn và chuyển ngữ từ Olympic Vật lý Séc, Đề thi chọn lọc Nga và Đề thi Tuyển sinh Chuyên THPT Quảng Bình. Mỗi bài toán được cấu trúc theo 3 lớp giàn giáo tư duy kết hợp trí tuệ nhân tạo chấm điểm tự động.

📌 Quy trình tự học 4 bước:

1. Bước 1: Đọc kỹ đề bài, tự lập luận giải ra nháp, nhập đáp án vào ô và nhấn "🤖 Nhờ AI kiểm tra".
2. Bước 2: Nếu kết quả chưa khớp hoặc còn bế tắc, mở Lớp 1 để trả lời các câu hỏi định hướng theo phương pháp Socrates.
3. Bước 3: Mở Lớp 2 để đối chiếu các đại lượng trung gian, xem mô hình/đồ thị phân tích và xác định điểm mình còn vướng mắc.
4. Bước 4: Mở Lớp 3 để hoàn thiện kỹ năng trình bày lời giải mẫu mực, chặt chẽ theo chuẩn thi chuyên.

BÀI 1 Ba Môn Phối Hợp (Triathlon)

Bài toán về tốc độ trung bình

Các vận động viên tham gia một cuộc thi ba môn phối hợp phong trào. Họ sử dụng một hồ nước để bơi và một đường chạy xe đạp khép kín quanh hồ có chiều dài $L = 4{,}80\text{ km}$, cung đường này các vận động viên phải đạp xe 3 vòng và chạy bộ 1 vòng. Chiều dài của chặng bơi được ấn định bằng $\frac{1}{6}$ chiều dài cung đường khép kín.

Một vận động viên hoàn thành toàn bộ cuộc thi với tổng thời gian $1\text{:}06\text{:}15\text{ h}$ (1 giờ 6 phút 15 giây), trong đó thời gian bơi là $12\text{:}35\text{ min}$ (12 phút 35 giây) và tốc độ trung bình khi đạp xe gấp đúng 2 lần tốc độ trung bình khi chạy bộ.

a) Xác định tốc độ trung bình toàn cuộc $v_p$ và tốc độ trung bình khi bơi $v_1$ (theo đơn vị $\text{m/s}$).

b) Xác định tốc độ $v_2$ và thời gian $t_2$ khi đạp xe; tốc độ $v_3$ và thời gian $t_3$ khi chạy bộ.

Sơ đồ phân bổ ba nội dung thi đấu

✍️ Tốc độ toàn cuộc $v_p$ và tốc độ bơi $v_1$ ($\text{m/s}$, ví dụ: vp = 4.2; v1 = 0.9):

✍️ Tốc độ đạp xe $v_2$ và chạy bộ $v_3$ ($\text{m/s}$, ví dụ: v2 = 8.1; v3 = 4.0):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Tính tổng chiều dài $s$ của cả ba chặng dựa vào chiều dài một vòng chạy $s_3 = L$. Hãy quy đổi tổng thời gian $t$ và thời gian bơi $t_1$ ra đơn vị giây để tính tốc độ $v_p$ và $v_1$?
• Câu hỏi 2: Từ dữ kiện quãng đường đạp xe gấp 3 lần chạy bộ ($s_2 = 3s_3$) và vận tốc đạp xe gấp 2 lần vận tốc chạy ($v_2 = 2v_3$), hãy xác lập tỉ số giữa thời gian đạp xe $t_2$ và thời gian chạy bộ $t_3$?
• Câu hỏi 3: Tổng thời gian dành cho hai chặng đạp xe và chạy bộ là $t - t_1$. Kết hợp với tỉ số giữa $t_2$ và $t_3$, làm thế nào để suy ra thời gian và vận tốc của từng môn?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt

• Trả lời 1: Tổng quãng đường: $s = \frac{1}{6}s_3 + 3s_3 + s_3 = \frac{25}{6}s_3 = 20000\text{ m}$. Thời gian đổi ra giây: $t = 3975\text{ s}$; $t_1 = 755\text{ s}$.
• Trả lời 2: $t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{3s_3}{2v_3} = \frac{3}{2} t_3$.
• Trả lời 3: $t_2 + t_3 = \frac{5}{2}t_3 = t - t_1 = 3220\text{ s} \implies t_3 = 1288\text{ s}$; $t_2 = 1932\text{ s}$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

a) Tốc độ trung bình toàn cuộc $v_p$ và tốc độ bơi $v_1$:

$$s = s_1 + s_2 + s_3 = \frac{1}{6} \cdot 4800 + 3 \cdot 4800 + 4800 = \frac{25}{6} \cdot 4800 = 20000\text{ m} \text{}$$

$$t = 1\text{ h } 06\text{ min } 15\text{ s} = 3975\text{ s}; \quad t_1 = 12\text{ min } 35\text{ s} = 755\text{ s} \text{}$$ $$v_p = \frac{s}{t} = \frac{20000}{3975} \approx 5{,}03\text{ m/s} \quad (\approx 18{,}1\text{ km/h}) \text{}$$ $$s_1 = \frac{1}{6} \cdot 4800 = 800\text{ m} \implies v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{800}{755} \approx 1{,}06\text{ m/s} \quad (\approx 3{,}82\text{ km/h}) \text{}$$

b) Tốc độ và thời gian khi đạp xe và chạy bộ:

$$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{3s_3}{2v_3} = \frac{3}{2} t_3 \text{}$$ $$t = t_1 + t_2 + t_3 = t_1 + \frac{5}{2}t_3 \implies t_3 = \frac{2}{5}(t - t_1) = \frac{2}{5}(3975 - 755) = 1288\text{ s} = 21\text{ min } 28\text{ s} \text{}$$ $$t_2 = \frac{3}{2} t_3 = \frac{3}{2} \cdot 1288 = 1932\text{ s} = 32\text{ min } 12\text{ s} \text{}$$ $$v_3 = \frac{s_3}{t_3} = \frac{4800}{1288} \approx 3{,}73\text{ m/s} \quad (\approx 13{,}4\text{ km/h}) \text{}$$ $$v_2 = 2v_3 = \frac{14400}{1932} \approx 7{,}45\text{ m/s} \quad (\approx 26{,}8\text{ km/h}) \text{}$$

🎯 ĐÁP SỐ:
• $v_p \approx 5{,}03\text{ m/s}$; $v_1 \approx 1{,}06\text{ m/s}$.
• $t_2 = 1932\text{ s}$ ($32\text{ min } 12\text{ s}$); $v_2 \approx 7{,}45\text{ m/s}$.
• $t_3 = 1288\text{ s}$ ($21\text{ min } 28\text{ s}$); $v_3 \approx 3{,}73\text{ m/s}$.

BÀI 2 Đuổi Bắt Trên Đường Chạy Vòng Điền Kinh

Bài toán nên vẽ đồ thị thay cho sơ đồ

Một đường chạy điền kinh hình bầu dục có chu vi $l = 400\text{ m}$. Huấn luyện viên - thầy Novák đi bộ dọc theo đường chạy với tốc độ không đổi $u = 1{,}0\text{ m/s}$. Khi thầy đã đi được quãng đường $d = 100\text{ m}$ kể từ vạch xuất phát, học sinh Robert bắt đầu chạy từ vạch xuất phát cùng chiều với thầy, với tốc độ không đổi $v = 3{,}0\text{ m/s}$.

Khi Robert chạy đuổi kịp thầy, cậu lập tức quay đầu chạy ngược chiều về vạch xuất phát. Khi về tới vạch xuất phát, cậu lại lập tức quay đầu chạy đuổi theo thầy. Quá trình cứ lặp lại như vậy cho đến khi thầy Novák đi bộ trọn một vòng, về lại vị trí xuất phát (cũng là vạch đích).

a) Robert đuổi kịp thầy lần thứ nhất ở khoảng cách bao xa so với vạch xuất phát?

b) Robert đuổi kịp thầy lần thứ hai ở khoảng cách bao xa so với vạch xuất phát?

c) Robert chạy được bao nhiêu mét từ thời điểm gặp lần thứ hai đến khi thầy Novák về tới đích?

d) Vẽ đồ thị tọa độ - thời gian $x(t)$ của thầy và Robert. Tại vạch đích, hai thầy trò có gặp nhau không?

✍️ Khoảng cách gặp lần 1 và lần 2 so với xuất phát (m, ví dụ: 120m và 250m):

✍️ Quãng đường Robert chạy từ lần gặp 2 đến khi thầy về đích (m, ví dụ: 240m):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Khi Robert chạy đuổi theo thầy, vận tốc tương đối giữa hai người là bao nhiêu? Với khoảng cách ban đầu $d = 100\text{ m}$, mất bao lâu để Robert đuổi kịp thầy lần 1?
• Câu hỏi 2: Sau lần gặp 1, Robert chạy ngược về vạch xuất phát mất thời gian bao lâu? Trong khoảng thời gian đó, thầy giáo đi thêm được quãng đường bao nhiêu, và khoảng cách giữa thầy với vạch xuất phát lúc Robert bắt đầu đuổi lần 2 là bao nhiêu?
• Câu hỏi 3: Tổng thời gian để thầy Novák đi hết quãng đường còn lại về đích là bao nhiêu? So sánh thời điểm thầy về đích với thời điểm Robert hoàn thành chặng chạy sau lần gặp 2.

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị trực quan

• Trả lời 1: Vận tốc tương đối: $v - u = 2\text{ m/s}$. Thời gian đuổi lần 1: $t_1 = \frac{100}{2} = 50\text{ s}$. Vị trí gặp cách xuất phát: $s_1 = 3 \times 50 = 150\text{ m}$.
• Trả lời 2: Robert chạy về mất $50\text{ s}$. Thầy đi thêm $1 \times 50 = 50\text{ m}$, nên lúc này cách xuất phát $d_2 = 150 + 50 = 200\text{ m}$. Thời gian đuổi lần 2 là $\frac{200}{2} = 100\text{ s}$. Điểm gặp lần 2 cách xuất phát: $s_2 = 3 \times 100 = 300\text{ m}$ ở thời điểm $t_2 = 50 + 50 + 100 = 200\text{ s}$.
• Trả lời 3: Thầy Novák về đích lúc $t_{\text{đích}} = \frac{400 - 100}{1} = 300\text{ s}$. Từ lần gặp 2 đến đích là $\Delta t = 300 - 200 = 100\text{ s}$. Trong $100\text{ s}$ này, Robert chạy $3 \times 100 = 300\text{ m}$ (vừa vặn về lại vạch xuất phát $x = 0$). Vì trên vòng tròn khép kín vạch $0\text{ m}$ trùng $400\text{ m}$, hai người gặp nhau tại đích!

Đồ thị tọa độ - thời gian $x(t)$ của thầy Novák và Robert

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

a) Vị trí Robert gặp thầy lần thứ nhất:

$$v_{\text{tương đối}} = v - u = 3{,}0 - 1{,}0 = 2{,}0\text{ m/s} \text{}$$ $$t_1 = \frac{d}{v - u} = \frac{100}{2{,}0} = 50\text{ s} \implies s_1 = v \cdot t_1 = 3{,}0 \cdot 50 = 150\text{ m} \text{}$$

b) Vị trí Robert gặp thầy lần thứ hai:

Thời gian Robert chạy từ vị trí gặp 1 về xuất phát: $t_{\text{về}} = \frac{s_1}{v} = \frac{150}{3{,}0} = 50\text{ s}$.

Trong thời gian này thầy đi thêm: $\Delta d = u \cdot 50 = 50\text{ m}$.

Khi Robert lại ở vạch xuất phát, thầy cách vạch xuất phát: $d_2 = s_1 + \Delta d = 150 + 50 = 200\text{ m}$.

Thời gian đuổi kịp lần 2 (kể từ xuất phát):

$$\Delta t_2 = \frac{d_2}{v - u} = \frac{200}{2{,}0} = 100\text{ s} \text{}$$ $$t_2 = 2t_1 + \Delta t_2 = 100 + 100 = 200\text{ s} \text{}$$ $$s_2 = v \cdot \Delta t_2 = 3{,}0 \cdot 100 = 300\text{ m} \text{}$$

c) Quãng đường Robert chạy từ lần gặp 2 đến khi thầy về đích:

Thời điểm thầy giáo về đích:

$$t_{\text{đích}} = \frac{l - d}{u} = \frac{400 - 100}{1{,}0} = 300\text{ s} \text{}$$ $$\Delta t = t_{\text{đích}} - t_2 = 300 - 200 = 100\text{ s} \text{}$$ $$s_3 = v \cdot \Delta t = 3{,}0 \cdot 100 = 300\text{ m} \text{}$$

d) Điểm gặp nhau tại đích:

Tại $t = 300\text{ s}$, thầy Novák tới đích ($x = 400\text{ m}$), Robert chạy về điểm xuất phát ($x = 0\text{ m}$). Do đường chạy là một đường cong khép kín, vị trí $400\text{ m}$ và $0\text{ m}$ trùng nhau nên hai thầy trò gặp nhau tại vạch đích/xuất phát (theo chiều ngược nhau).

🎯 ĐÁP SỐ:
a) Cách vạch xuất phát $150\text{ m}$.
b) Cách vạch xuất phát $300\text{ m}$.
c) $300\text{ m}$.
d) Có gặp nhau tại vạch xuất phát/đích.

BÀI 3 Ca Nô Hỏng Máy Trên Dòng Sông

Bài toán Chuyển động trên sông

Một chiếc ca nô chạy xuôi dòng nước và sau $t_1 = 2\text{ giờ}$ đã đến điểm cuối của tuyến đường, cách điểm xuất phát một khoảng $S = 34\text{ km}$.

Trên đường quay trở về (chạy ngược dòng), động cơ bất ngờ bị chết máy và người ta phải mất $t_3 = 20\text{ phút}$ để sửa chữa. Trong suốt thời gian này, ca nô bị dòng nước cuốn trôi tự do. Kết quả là chuyến quay về mất tổng thời gian $t_2 = 3\text{ giờ}$.

Hãy tìm tốc độ của ca nô đối với nước yên lặng ($v_k$) và tốc độ của dòng nước ($v_n$).

Sơ đồ chuyển động của ca nô trên tuyến sông $S = 34\text{ km}$

✍️ Tốc độ ca nô đối với nước đứng yên $v_k$ ($\text{km/h}$, ví dụ: 18):

✍️ Tốc độ của dòng nước chảy $v_n$ ($\text{km/h}$, ví dụ: 3):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Khi xuôi dòng với vận tốc $v_k + v_n$, hãy viết phương trình biểu diễn quãng đường $S = 34\text{ km}$ theo thời gian $t_1 = 2\text{ h}$?
• Câu hỏi 2: Trong tổng thời gian về $t_2 = 3\text{ h}$, thời gian động cơ thực sự hoạt động là bao nhiêu và thời gian ca nô bị trôi tự do là bao nhiêu?
• Câu hỏi 3: Khi động cơ hoạt động, ca nô tiến ngược dòng với tốc độ $v_k - v_n$. Khi động cơ hỏng, ca nô bị trôi xuôi với tốc độ $v_n$. Hãy lập phương trình cân bằng độ dời ngược dòng để ca nô về đúng bến cũ?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt

• Trả lời 1: $v_k + v_n = \frac{S}{t_1} = \frac{34}{2} = 17\text{ km/h}$.
• Trả lời 2: Thời gian trôi dạt: $t_3 = 20\text{ min} = \frac{1}{3}\text{ h}$. Thời gian máy chạy ngược dòng: $t_2 - t_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\text{ h}$.
• Trả lời 3: $(v_k - v_n)(t_2 - t_3) - v_n t_3 = S \iff (v_k - v_n)(t_2 - t_3) = S + v_n t_3$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Khi ca nô xuôi dòng:

$$v_k + v_n = \frac{S}{t_1} = \frac{34}{2} = 17\text{ km/h} \quad (1)$$

Khi ca nô quay về (ngược dòng):

Thời gian máy nổ thực tế: $t_2 - t_3 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\text{ h}$.

Quãng đường trôi dạt xuôi dòng trong lúc sửa máy: $s_{\text{trôi}} = v_n \cdot t_3 = \frac{1}{3} v_n$.

Phương trình chuyển động ngược dòng:

$$(v_k - v_n)(t_2 - t_3) = S + v_n \cdot t_3 \quad (2)$$

Từ (1) suy ra $v_k = 17 - v_n$, thế vào (2):

\begin{align} (17 - 2v_n) \cdot \frac{8}{3} &= 34 + \frac{1}{3} v_n\\ 8(17 - 2v_n) &= 102 + v_n\\ 136 - 16v_n &= 102 + v_n\\ 17v_n &= 34 \implies v_n = 2\text{ km/h} \end{align}

Tốc độ của ca nô đối với nước yên lặng:

$$v_k = 17 - 2 = 15\text{ km/h}$$

🎯 ĐÁP SỐ:
• Tốc độ ca nô đối với nước: $v_k = 15\text{ km/h}$.
• Tốc độ dòng nước: $v_n = 2\text{ km/h}$.

BÀI 4 Chuyển Động Hai Xe Gặp Nhau Và Quay Đầu

Bài toán Đồ thị Chuyển động học

Khoảng cách giữa hai thành phố $A$ và $B$ là $L = 60\text{ km}$. Trên con đường nối hai thành phố, một xe tải (khởi hành từ thành phố $A$) và một ô tô con (khởi hành từ thành phố $B$) cùng xuất phát một lúc, chuyển động đều hướng về phía nhau.

Hai xe gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí cách thành phố $A$ một khoảng $L_1 = 25\text{ km}$ rồi tiếp tục di chuyển. Khi đến thành phố $B$ và $A$, mỗi xe lập tức quay đầu trở lại mà không đổi tốc độ.

Yêu cầu: Bằng phương pháp đồ thị, hãy xác định xem ở lần gặp nhau thứ hai này, hai xe gặp nhau ở vị trí cách thành phố $A$ một khoảng bằng bao nhiêu kilômét?

✍️ Nhập khoảng cách từ thành phố A đến vị trí gặp nhau lần 2 ($\text{km}$, ví dụ: 30):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Đến thời điểm gặp nhau lần thứ nhất ($t_1$), tổng quãng đường hai xe đã chạy bằng bao nhiêu lần khoảng cách $L = AB$?
• Câu hỏi 2: Đến thời điểm gặp nhau lần thứ hai ($t_2$), mỗi xe đã đi hết quãng đường đến đầu đối diện và quay lại. Tổng quãng đường hai xe đã chạy lúc này bằng bao nhiêu lần khoảng cách $L$?
• Câu hỏi 3: Do vận tốc các xe là hằng số, trên đồ thị $x - t$, thời điểm $t_2$ gấp mấy lần thời điểm $t_1$? Từ đó suy ra quãng đường xe tải đã chạy đến thời điểm $t_2$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị minh họa

• Trả lời 1: Ở lần gặp 1: tổng quãng đường hai xe đi được là $S_{\Sigma 1} = L = 60\text{ km}$.
• Trả lời 2: Ở lần gặp 2: hai xe đi hết chiều dài tuyến đường và quay ngược lại, tổng quãng đường là $S_{\Sigma 2} = 3L = 180\text{ km}$.
• Trả lời 3: Vì tốc độ không đổi nên $t_2 = 3t_1$. Quãng đường xe tải đi được đến lần gặp 2 gấp 3 lần lần gặp 1: $S_{\text{tải}} = 3 \times 25 = 75\text{ km}$.

Đồ thị tọa độ $x - t$ giải bằng tính chất tỉ lệ hình học

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Giải theo phương pháp đồ thị và tính chất tỉ lệ:

• Ở lần gặp nhau thứ nhất (thời điểm $t_1$), tổng quãng đường hai xe đã đi bằng chiều dài đoạn $AB$:

$$S_{\Sigma 1} = (v_{\text{tải}} + v_{\text{con}}) t_1 = L = 60\text{ km}$$

• Ở lần gặp nhau thứ hai (thời điểm $t_2$), xe tải đi đến $B$ rồi quay lại, ô tô con đến $A$ rồi quay lại. Tổng quãng đường hai xe đã đi bằng 3 lần khoảng cách $AB$:

$$S_{\Sigma 2} = (v_{\text{tải}} + v_{\text{con}}) t_2 = 3L = 180\text{ km}$$

Từ hai hệ thức trên, ta có tỉ số thời gian:

$$\frac{t_2}{t_1} = \frac{S_{\Sigma 2}}{S_{\Sigma 1}} = \frac{3L}{L} = 3 \implies t_2 = 3t_1$$

• Do xe tải chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi, quãng đường xe tải đã chạy đến thời điểm $t_2$ là:

$$S_{\text{tải}} = v_{\text{tải}} \cdot t_2 = 3(v_{\text{tải}} \cdot t_1) = 3 \cdot L_1 = 3 \cdot 25 = 75\text{ km}$$

Xe tải đi từ $A$ đến $B$ hết $60\text{ km}$, sau đó quay lại từ $B$ hướng về phía $A$ một đoạn:

$$\Delta S = 75 - 60 = 15\text{ km}$$

Vậy vị trí hai xe gặp nhau lần thứ hai cách thành phố $A$ một khoảng:

$$x_2 = L - \Delta S = 60 - 15 = 45\text{ km}$$

🎯 ĐÁP SỐ: $45\text{ km}$ (cách thành phố $A$).

BÀI 5 Chuyển Động Của Đoàn Tàu Và Hai Phương Tiện

Bài toán chọn vật dài làm mốc

Một tàu hỏa chiều dài $L = 150\text{ m}$ đang chạy với vận tốc không đổi $v = 10\text{ m/s}$ trên đường ray thẳng, song song và gần đường quốc lộ 1A. Một xe máy và một xe đạp đang chạy thẳng trên đường 1A, ngược chiều nhau, tốc độ không đổi lần lượt là $v_1$ và $v_2$. Tại thời điểm $t_0 = 0$, xe máy bắt đầu đuổi kịp tàu, còn xe đạp bắt đầu gặp tàu (Hình 1).

a) Xe máy bắt đầu vượt qua tàu sau khi xe máy đã đi được quãng đường $s_1 = 400\text{ m}$ kể từ thời điểm $t_0 = 0$, hãy tính tốc độ $v_1$ của xe máy.

b) Xe máy và xe đạp gặp nhau tại vị trí cách đầu tàu một khoảng $l = 105\text{ m}$, hãy tính tốc độ $v_2$ của xe đạp.

Hình 1: Vị trí ban đầu của tàu hỏa, xe máy và xe đạp ($t_0 = 0$)

✍️ Tốc độ xe máy $v_1$ ($\text{m/s}$, ví dụ: 12):

✍️ Tốc độ xe đạp $v_2$ ($\text{m/s}$, ví dụ: 5):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Khi xe máy "bắt đầu vượt qua tàu", xe máy đã đi từ ngang đuôi tàu đến ngang đầu tàu. Quãng đường tàu hỏa đã chạy trong thời gian này liên hệ với quãng đường $s_1$ của xe máy và chiều dài $L$ của tàu như thế nào?
• Câu hỏi 2: Tại thời điểm ban đầu $t_0 = 0$, xe máy ở ngang đuôi tàu, xe đạp ở ngang đầu tàu. Khoảng cách ban đầu giữa hai xe là bao nhiêu? Biểu diễn thời gian gặp nhau $t'$ của hai xe theo $L, v_1, v_2$?
• Câu hỏi 3: Tại thời điểm $t'$, đầu tàu đã chạy về phía trước đoạn đường bao xa, và xe đạp đã chạy lùi so với vị trí xuất phát đoạn đường bao xa? Hãy lập biểu thức cho khoảng cách $l = 105\text{ m}$ giữa điểm gặp nhau và đầu tàu.

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt

• Trả lời 1: Quãng đường tàu chạy được là $s_{\text{tàu}} = s_1 - L = 400 - 150 = 250\text{ m}$. Thời gian vượt là $t = \frac{250}{10} = 25\text{ s} \implies v_1 = \frac{400}{25} = 16\text{ m/s}$.
• Trả lời 2: Khoảng cách ban đầu giữa hai xe là $L = 150\text{ m}$[cite: 3, 4]. Vì chạy ngược chiều, thời gian gặp nhau là $t' = \frac{L}{v_1 + v_2}$.
• Trả lời 3: Khoảng cách từ vị trí gặp nhau đến đầu tàu là $l = v \cdot t' + v_2 \cdot t' = (v + v_2) t' = \frac{L(v + v_2)}{v_1 + v_2}$. Thay số vào giải phương trình bậc nhất tìm được $v_2 = 4\text{ m/s}$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

a) Tính tốc độ $v_1$ của xe máy:

Quãng đường tàu hỏa đi được đến khi xe máy vừa vượt qua tàu là:

$$s_{\text{tàu}} = s_1 - L \text{}$$

Thời gian xe máy đi quãng đường $s_1$ bằng thời gian tàu đi quãng đường $s_1 - L$:

$$\frac{s_1}{v_1} = \frac{s_1 - L}{v} \implies v_1 = v \cdot \frac{s_1}{s_1 - L} = 10 \cdot \frac{400}{400 - 150} = 16\text{ m/s} \text{}$$

b) Tính tốc độ $v_2$ của xe đạp:

Thời điểm xe máy và xe đạp gặp nhau:

$$t' = \frac{L}{v_1 + v_2} \text{}$$

Khoảng cách từ vị trí gặp nhau đến đầu tàu tại thời điểm $t'$:

$$l = v \cdot t' + v_2 \cdot t' = \frac{L}{v_1 + v_2}(v + v_2) \text{}$$

Biến đổi đại số để tìm $v_2$:

\begin{align} l(v_1 + v_2) &= L(v + v_2)\\ (L - l)v_2 &= l \cdot v_1 - L \cdot v\\ v_2 &= \frac{l \cdot v_1 - L \cdot v}{L - l} \text{} \end{align}

Thay các giá trị số $L = 150\text{ m}$, $l = 105\text{ m}$, $v = 10\text{ m/s}$, $v_1 = 16\text{ m/s}$:

$$v_2 = \frac{105 \cdot 16 - 150 \cdot 10}{150 - 105} = \frac{1680 - 1500}{45} = \frac{180}{45} = 4\text{ m/s} \text{}$$

🎯 ĐÁP SỐ:
a) $v_1 = 16\text{ m/s}$ (tương đương $57{,}6\text{ km/h}$).
b) $v_2 = 4\text{ m/s}$ (tương đương $14{,}4\text{ km/h}$).

Read More

Bài tập phát triển năng lực tự học ôn thi vào lớp 10 chuyên lý: Chuyển động - đề số 3 (chuyển động tương đối)

HƯỚNG TỚI LỚP 10 CHUYÊN LÝ Chuyên đề Cơ học: Chuyển động tương đối

Hệ Thống Tự Học Chuyển Động Tương Đối & Phương Pháp Hệ Quy Chiếu

Đây không phải là một tài liệu bài tập giải sẵn để đọc thụ động, mà là một hệ thống tự học có trợ lực nhận thức (Scaffolding) tích hợp trí tuệ nhân tạo. Mỗi bài toán được thiết kế để bạn tự khám phá các phương pháp vật lý đỉnh cao: chọn hệ quy chiếu chuyển động (chọn xe hoặc dòng nước làm mốc), khai thác tính đối xứng thời gian và giải quyết bài toán chuyển động bằng phương pháp đồ thị.

📌 Quy trình tự học hiệu quả qua 4 bước:

1. Bước 1: Đọc kỹ đề bài, tự lập luận giải ra nháp, nhập đáp án vào ô và bấm "🤖 Nhờ AI kiểm tra".
2. Bước 2: Nếu chưa tìm ra lời giải hoặc AI báo kết quả chưa đúng, hãy mở Lớp 1 để trả lời các câu hỏi gợi mở theo phương pháp Socrates.
3. Bước 3: Mở Lớp 2 để đối chiếu các kết quả trung gian, xem mô hình/đồ thị trực quan và xác định chính xác mắt xích tư duy mình còn vướng.
4. Bước 4: Chỉ mở Lớp 3 khi đã hoàn thành để học cách trình bày lời giải mẫu mực theo chuẩn thi học sinh giỏi.

Bài 1 Chuyển động tương đối giữa xe máy và hai đoàn tàu

Vận dụng công thức cộng vận tốc - Hai trường hợp cùng chiều và ngược chiều

Một người đi xe máy với vận tốc $v_0$ trên một con đường thẳng song song với đường tàu. Có một đoàn tàu chạy với vận tốc $v = 72\text{ km/h}$, cùng chiều với xe máy, đoàn tàu vượt qua xe máy trong thời gian $t_1 = 100\text{ s}$.

Một thời gian sau, một đoàn tàu khác (cùng chiều dài với đoàn tàu trước) cũng chạy với tốc độ $v = 72\text{ km/h}$ nhưng ngược chiều, nó đi ngang qua xe máy trong thời gian $t_2 = 20\text{ s}$. Coi người đi xe máy như một chất điểm. Hãy tính vận tốc $v_0$ của xe máy.

✍️ Nhập kết quả vận tốc xe máy ($v_0$ theo km/h hoặc m/s):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Nếu chọn người đi xe máy làm mốc (hệ quy chiếu gắn với xe máy), hãy xác định biểu thức vận tốc tương đối của đoàn tàu thứ nhất (chạy cùng chiều) và đoàn tàu thứ hai (chạy ngược chiều) đối với xe máy theo $v$ và $v_0$?
• Câu hỏi 2: Để vượt qua một chất điểm, quãng đường chuyển động tương đối của mỗi đoàn tàu đối với xe máy liên hệ như thế nào với chiều dài $L$ của đoàn tàu?
• Câu hỏi 3: Vì hai đoàn tàu có cùng chiều dài $L$, ta có thể thiết lập phương trình liên hệ nào giữa $t_1, t_2, v$ và $v_0$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Mô hình vận tốc tương đối trong hệ quy chiếu gắn với xe máy

• Trả lời 1: Khi chạy cùng chiều và vượt xe máy, tốc độ tương đối là $v_{t1} = v - v_0$. Khi chạy ngược chiều, tốc độ tương đối là $v_{t2} = v + v_0$.
• Trả lời 2: Quãng đường tương đối đoàn tàu vượt qua người chính bằng chiều dài $L$ của tàu: $L = v_{t1} \cdot t_1 = v_{t2} \cdot t_2$.
• Trả lời 3: Cân bằng chiều dài hai đoàn tàu:
  $$(v - v_0) t_1 = (v + v_0) t_2 \iff 100(v - v_0) = 20(v + v_0)$$

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Đổi đơn vị: $v = 72\text{ km/h} = 20\text{ m/s}$.

Chọn hệ quy chiếu gắn với người đi xe máy (coi người đi xe máy đứng yên làm mốc):

• Khi đoàn tàu chạy cùng chiều vượt qua người: vận tốc tương đối là $v_1' = v - v_0$. Chiều dài đoàn tàu là:

$$L = (v - v_0) \cdot t_1 = 100(v - v_0)$$

• Khi đoàn tàu thứ hai chạy ngược chiều đi qua người: vận tốc tương đối là $v_2' = v + v_0$. Chiều dài đoàn tàu là:

$$L = (v + v_0) \cdot t_2 = 20(v + v_0)$$

Do hai đoàn tàu có chiều dài bằng nhau:

$$100(v - v_0) = 20(v + v_0) \iff 5(v - v_0) = v + v_0 \iff 4v = 6v_0 \implies v_0 = \frac{2}{3}v$$

Thay giá trị $v = 72\text{ km/h}$ vào:

$$v_0 = \frac{2}{3} \times 72 = 48\text{ km/h} = \frac{40}{3}\text{ m/s} \approx 13{,}33\text{ m/s}$$

🎯 ĐÁP SỐ: $v_0 = 48\text{ km/h}$ (hay $\frac{40}{3}\text{ m/s} \approx 13{,}33\text{ m/s}$).

Bài 2 Chiều chuyển động và tỉ số chiều dài hai đoàn tàu

Biện luận định tính chiều chuyển động và giải tỉ số kích thước hình học

Hai tàu A và B chạy song song và chúng cùng đi qua trước mặt một người đứng trên sân ga với cùng thời gian $t_1 = 23\text{ s}$. Trong khi đó người lái tàu B nhận thấy tàu A đi qua anh ta trong thời gian $t_2 = 13\text{ s}$.

1) Hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều, vì sao?

2) Tàu nào dài hơn, dài hơn tàu kia bao nhiêu lần?

Ý 1) Hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều?

Ý 2) Tàu nào dài hơn và tỉ số chiều dài (dạng phân số hoặc số thập phân):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Biểu diễn thời gian tàu A đi qua người đứng yên trên sân ga ($t_1$) và đi qua người lái tàu B ($t_2$) theo $L_A$ và các vận tốc tương ứng ($v_A$ và vận tốc tương đối $v_{AB}$)?
• Câu hỏi 2: So sánh giá trị $t_2 = 13\text{ s}$ với $t_1 = 23\text{ s}$, từ đó suy ra mối quan hệ giữa $v_{AB}$ và $v_A$. Điều này giúp ta khẳng định hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều?
• Câu hỏi 3: Vận tốc tương đối $v_{AB}$ liên hệ với $v_A$ và $v_B$ như thế nào? Kết hợp với tỉ số $\frac{v_A}{L_A} = \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{t_1}$, hãy lập phương trình tính tỉ số $\frac{L_A}{L_B}$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Mô hình quan sát từ sân ga và từ buồng lái tàu B

• Trả lời 1: $t_1 = \frac{L_A}{v_A} = \frac{L_B}{v_B} = 23\text{ s}$. Tàu A đi qua người lái tàu B trong $t_2 = \frac{L_A}{v_{AB}} = 13\text{ s}$.
• Trả lời 2: Vì $t_2 < t_1 \implies v_{AB} > v_A$. Nếu chạy cùng chiều thì $v_{AB} = |v_A - v_B| < v_A$ (vô lý). Vậy hai tàu bắt buộc phải chạy ngược chiều ($v_{AB} = v_A + v_B$).
• Trả lời 3: Ta có $\frac{1}{t_2} = \frac{v_A + v_B}{L_A} = \frac{v_A}{L_A} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{t_1}\left(1 + \frac{L_B}{L_A}\right)$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

1) Xác định chiều chuyển động của hai tàu:

Gọi chiều dài và vận tốc đối với sân ga của hai tàu lần lượt là $L_A, v_A$ và $L_B, v_B$.

Khi đi qua người đứng yên trên sân ga:

$$t_1 = \frac{L_A}{v_A} = \frac{L_B}{v_B} = 23\text{ s} \implies \frac{v_A}{L_A} = \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{23}\text{ s}^{-1}$$

Người lái tàu B coi như chất điểm. Thời gian tàu A đi qua người lái tàu B là:

$$t_2 = \frac{L_A}{v_{AB}} = 13\text{ s}$$

Vì $t_2 = 13\text{ s} < t_1 = 23\text{ s}$ nên vận tốc tương đối $v_{AB} > v_A$.

Nếu hai tàu chạy cùng chiều thì $v_{AB} = |v_A - v_B| < v_A$, dẫn tới $t_2 > t_1$ (mâu thuẫn giả thiết).

Do đó, hai đoàn tàu chuyển động ngược chiều nhau, khi đó $v_{AB} = v_A + v_B$.

2) So sánh chiều dài hai tàu:

$$\begin{align} \frac{1}{t_2} &= \frac{v_A + v_B}{L_A} = \frac{v_A}{L_A} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{v_B}{L_B} \\ &= \frac{1}{t_1} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_1}\left(1 + \frac{L_B}{L_A}\right) \end{align}$$

Suy ra:

$$1 + \frac{L_B}{L_A} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{23}{13} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{23}{13} - 1 = \frac{10}{13} \implies \frac{L_A}{L_B} = \frac{13}{10} = 1{,}3$$

🎯 ĐÁP SỐ:
1) Hai tàu chạy ngược chiều nhau.
2) Tàu A dài hơn tàu B và dài gấp $1{,}3$ lần (tức dài hơn $30\%$).

Bài 3 Hai đoàn tàu đi qua hết sân ga và đi qua nhau

Chuyển động của vật có kích thước lớn - Tối ưu hóa bằng Đồ thị tọa độ thời gian

Một đoàn tàu đi qua sân ga với vận tốc không đổi và khoảng thời gian đi qua hết sân ga (tính từ khi đầu tàu điện ngang với đầu sân ga đến khi đuôi của nó ngang với đầu kia của sân ga) là $t_1 = 18\text{ s}$.

Một đoàn tàu khác cũng chuyển động đều qua sân ga nhưng theo chiều ngược lại, khoảng thời gian đi qua hết sân ga là $t_2 = 14\text{ s}$.

Biết rằng chiều dài hai tàu bằng nhau và bằng một nửa chiều dài sân ga. Tính thời gian hai tàu đi qua nhau (tính từ thời điểm hai đầu tàu gặp nhau đến khi hai đuôi tàu vừa rời nhau).

✍️ Nhập thời gian hai tàu đi qua nhau (theo giây):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Gọi chiều dài mỗi tàu là $L$. Chiều dài sân ga bằng bao nhiêu lần $L$? Khi một đoàn tàu "đi qua hết sân ga", quãng đường mà đầu tàu đi được tổng cộng bằng bao nhiêu lần $L$?
• Câu hỏi 2: Từ thời gian $t_1$ và $t_2$, hãy biểu diễn vận tốc $v_1$ và $v_2$ của hai đoàn tàu theo $L$?
• Câu hỏi 3: Khi hai tàu chuyển động ngược chiều đi qua nhau, quãng đường tương đối từ khi hai đầu tàu gặp nhau đến khi hai đuôi tàu rời nhau là bao nhiêu? Thời gian này có còn phụ thuộc vào $L$ không?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị chuyển động học

Đồ thị $x - t$ mô tả dải không gian của hai đoàn tàu qua ga và giao nhau

• Trả lời 1: Chiều dài sân ga là $S_{\text{ga}} = 2L$. Quãng đường đầu tàu di chuyển để tàu vượt qua hết sân ga là $S = S_{\text{ga}} + L = 2L + L = 3L$.
• Trả lời 2: Vận tốc hai tàu đối với sân ga: $v_1 = \frac{3L}{t_1} = \frac{3L}{18} = \frac{L}{6}$; $v_2 = \frac{3L}{t_2} = \frac{3L}{14}$.
• Trả lời 3: Vận tốc tương đối giữa hai tàu: $v_{12} = v_1 + v_2 = \frac{L}{6} + \frac{3L}{14} = \frac{8L}{21}$. Quãng đường tương đối cần đi là $s_{\text{tđ}} = L_1 + L_2 = 2L$. Khi đó thời gian $t = \frac{2L}{v_{12}}$, chiều dài $L$ được triệt tiêu hoàn toàn!

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $L$ là chiều dài của mỗi đoàn tàu. Theo giả thiết, chiều dài của sân ga là $S_{\text{ga}} = 2L$.

Để một đoàn tàu đi qua hết sân ga (tính từ khi đầu tàu ngang với đầu sân ga đến khi đuôi tàu ngang với đầu kia), quãng đường đầu tàu dịch chuyển là:

$$S = S_{\text{ga}} + L = 2L + L = 3L$$

Vận tốc của từng đoàn tàu so với sân ga là:

$$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{3L}{18} = \frac{L}{6}$$ $$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{3L}{14}$$

Do hai đoàn tàu chuyển động ngược chiều nhau, vận tốc tương đối giữa tàu 1 và tàu 2 là:

$$v_{12} = v_1 + v_2 = \frac{L}{6} + \frac{3L}{14} = \frac{7L + 9L}{42} = \frac{16L}{42} = \frac{8L}{21}$$

Khoảng thời gian hai tàu đi qua nhau tính từ lúc hai đầu tàu gặp nhau đến lúc hai đuôi tàu vừa rời nhau. Quãng đường chuyển động tương đối là:

$$s_{\text{tđ}} = L_1 + L_2 = L + L = 2L$$

Thời gian hai tàu đi qua nhau:

$$t = \frac{s_{\text{tđ}}}{v_{12}} = \frac{2L}{\frac{8L}{21}} = \frac{2 \times 21}{8} = \frac{42}{8} = 5{,}25\text{ s}$$

🎯 ĐÁP SỐ: $t = 5{,}25\text{ s}$ (hay $5\frac{1}{4}\text{ giây}$).

Bài 4 Chiếc xuồng máy tuần tra trên hai đoạn sông

Chuyển động trên dòng nước chảy với vận tốc dòng thay đổi theo từng chặng

Một chiếc xuồng máy của Biên phòng tuần tra trên một dòng sông. Xuồng chạy với tốc độ $v$ không đổi so với nước, từ bến A xuôi dòng về B rồi ngay lập tức quay lại A. Tổng thời gian xuồng chạy là $t = 0{,}363\text{ h}$.

Biết rằng từ bến A đến bến B có hai đoạn sông: đoạn từ A đến C do lòng sông hẹp nên nước chảy nhanh với tốc độ $u_1 = \frac{v}{4}$, đoạn từ C đến B do lòng sông rộng nên nước chảy chậm với tốc độ $u_2 = \frac{v}{8}$.

Trên bờ sông, một người đi xe máy thẳng từ A đến B với vận tốc không đổi $v' = 2v$ mất thời gian $t' = 0{,}0875\text{ h}$. Tính thời gian xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến C.

✍️ Nhập thời gian xuồng máy đi từ A đến C ($t_{AC}$ theo giờ hoặc phút):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Từ chuyển động của người đi xe máy trên bờ với vận tốc $v' = 2v$ trong thời gian $t'$, ta tìm được hệ thức liên hệ nào giữa tổng chiều dài hai đoạn sông $s_1 + s_2$ và đại lượng $v$?
• Câu hỏi 2: Vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của xuồng máy trên từng đoạn sông $s_1$ (AC) và $s_2$ (CB) bằng bao nhiêu lần vận tốc $v$?
• Câu hỏi 3: Tổng thời gian khứ hồi gồm tổng thời gian đi xuôi và ngược trên đoạn 1 cộng với đoạn 2. Nếu đặt hai ẩn số phụ $x = \frac{s_1}{v}$ và $y = \frac{s_2}{v}$, hãy thiết lập hệ phương trình để tìm $x$? Từ đó tính $t_{AC}$ như thế nào?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Sơ đồ cấu trúc hai đoạn sông và hành trình tuần tra

• Trả lời 1: Tổng chiều dài đường sông:
  $$s_1 + s_2 = v' \cdot t' = 2v \times 0{,}0875 = 0{,}175 v \implies \frac{s_1}{v} + \frac{s_2}{v} = 0{,}175$$
• Trả lời 2:
  • Đoạn AC: xuôi dòng $v + \frac{v}{4} = \frac{5}{4}v$, ngược dòng $v - \frac{v}{4} = \frac{3}{4}v$.
  • Đoạn CB: xuôi dòng $v + \frac{v}{8} = \frac{9}{8}v$, ngược dòng $v - \frac{v}{8} = \frac{7}{8}v$.
• Trả lời 3: Thời gian khứ hồi trên AC là $\frac{32}{15}\frac{s_1}{v}$, trên CB là $\frac{128}{63}\frac{s_2}{v}$. Đặt $x = \frac{s_1}{v}, y = \frac{s_2}{v}$, ta có hệ:
  $$\begin{cases} x + y = 0{,}175 \\ \frac{32}{15}x + \frac{128}{63}y = 0{,}363 \end{cases}$$
  Thời gian xuôi dòng từ A đến C là $t_{AC} = \frac{s_1}{5v/4} = \frac{4}{5}x$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $s_1$ là chiều dài đoạn AC, $s_2$ là chiều dài đoạn CB.

Từ dữ kiện người đi xe máy trên bờ:

$$s_1 + s_2 = v' \cdot t' = 2v \cdot 0{,}0875 = 0{,}175 v \implies \frac{s_1}{v} + \frac{s_2}{v} = 0{,}175 \quad (1)$$

Xét chuyển động của xuồng máy trên từng đoạn sông:

• Trên đoạn AC: vận tốc xuôi dòng là $v + u_1 = \frac{5}{4}v$; ngược dòng là $v - u_1 = \frac{3}{4}v$. Thời gian khứ hồi trên AC:

$$t_1 = \frac{s_1}{\frac{5}{4}v} + \frac{s_1}{\frac{3}{4}v} = \frac{4s_1}{v}\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) = \frac{32}{15}\frac{s_1}{v}$$

• Trên đoạn CB: vận tốc xuôi dòng là $v + u_2 = \frac{9}{8}v$; ngược dòng là $v - u_2 = \frac{7}{8}v$. Thời gian khứ hồi trên CB:

$$t_2 = \frac{s_2}{\frac{9}{8}v} + \frac{s_2}{\frac{7}{8}v} = \frac{8s_2}{v}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{7}\right) = \frac{128}{63}\frac{s_2}{v}$$

Tổng thời gian cả chuyến tuần tra khứ hồi:

$$t_1 + t_2 = \frac{32}{15}\frac{s_1}{v} + \frac{128}{63}\frac{s_2}{v} = 0{,}363\text{ h} \quad (2)$$

Đặt $x = \frac{s_1}{v}$ và $y = \frac{s_2}{v}$. Từ $(1)$ có $y = 0{,}175 - x$. Thế vào $(2)$:

$$\begin{align} \frac{32}{15}x + \frac{128}{63}(0{,}175 - x) &= 0{,}363 \\ \iff x\left(\frac{32}{15} - \frac{128}{63}\right) + \frac{128}{63} \times \frac{7}{40} &= 0{,}363 \\ \iff \frac{32}{315}x + \frac{16}{45} &= 0{,}363 \\ \iff \frac{32}{315}x + \frac{112}{315} &= 0{,}363 \\ \implies 32x + 112 &= 0{,}363 \times 315 = 114{,}345 \\ \implies 32x &= 2{,}345 \implies x = \frac{2{,}345}{32} \approx 0{,}07328\text{ h} \end{align}$$

Thời gian xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến C là:

$$t_{AC} = \frac{s_1}{\frac{5}{4}v} = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \times \frac{2{,}345}{32} = 0{,}058625\text{ h} \approx 3{,}52\text{ phút} \text{ (tức } 3\text{ phút } 31\text{ giây)}$$

* Ghi chú: Nếu bài toán ban đầu lấy số tròn phân số đẹp $x = 0{,}075\text{ h}$ (khi đó thời gian khứ hồi chính xác là $0{,}363175\text{ h}$ được làm tròn thành $0{,}363\text{ h}$) thì thời gian đi đoạn AC là $t_{AC} = \frac{4}{5} \times 0{,}075 = 0{,}06\text{ h} = 3{,}6\text{ phút}$.

🎯 ĐÁP SỐ: $t_{AC} \approx 0{,}0586\text{ h} \approx 3{,}52\text{ phút}$ (hoặc số tròn lý thuyết $0{,}06\text{ h} = 3{,}6\text{ phút}$).

Bài 5 Thuyền và chiếc bè trôi tự do trên sông

Tuyệt chiêu: Chọn hệ quy chiếu dòng nước & Đồ thị tam giác cân đối xứng

Ngay phía dưới một chiếc cầu, trên dòng sông, một chiếc thuyền vượt qua một chiếc bè đang trôi tự do. Sau một thời gian thuyền đến bến và lập tức quay lại với tốc độ đối với nước không đổi nhưng đi ngược dòng. Thuyền gặp lại bè tại nơi cách cầu một khoảng $s_1 = 1100\text{ m}$.

Nếu từ thời điểm vượt bè, chiếc thuyền tăng tốc độ (đối với nước) lên gấp đôi thì lần thứ hai gặp bè ở khoảng cách $s_2 = 600\text{ m}$ so với cầu.

1) Tốc độ của thuyền gấp bao nhiêu lần tốc độ dòng sông?

2) Bến cách cầu bao xa?

Ý 1) Tỉ số giữa tốc độ của thuyền so với tốc độ dòng sông ($v/u$):

Ý 2) Khoảng cách từ cầu đến bến (theo mét hoặc km):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Nếu chọn dòng nước làm mốc (hệ quy chiếu gắn với dòng nước trôi), chiếc bè trôi tự do có vận tốc bằng bao nhiêu? Tốc độ của thuyền khi bơi ra xa bè và khi quay lại gần bè có đặc điểm gì?
• Câu hỏi 2: Nhờ tính chất đối xứng trong hệ quy chiếu dòng nước, thời gian thuyền quay lại gặp bè ($t_{\text{về}}$) liên hệ thế nào với thời gian thuyền rời bè đến bến ($t_{\text{đi}}$)? Từ đó, tổng thời gian chuyển động $T$ cho đến khi gặp lại bè gấp mấy lần $t_{\text{đi}}$?
• Câu hỏi 3: Khoảng cách bè trôi được đối với bờ cho đến khi gặp lại thuyền liên hệ với vận tốc dòng nước $u$ và tổng thời gian $T$ như thế nào? Hãy biểu diễn khoảng cách $s_1$ và $s_2$ theo khoảng cách từ cầu đến bến $L$, vận tốc $v$ và $u$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị trong hệ quy chiếu nước

Đồ thị $x' - t$ trong hệ quy chiếu dòng nước: Tam giác cân hoàn hảo ($t_{\text{về}} = t_{\text{đi}}$)

• Trả lời 1: Trong hệ quy chiếu gắn với dòng nước, chiếc bè hoàn toàn đứng yên tại gốc tọa độ ($v'_{\text{bè}} = 0$). Thuyền rời xa bè với tốc độ $v$, sau đó quay lại về phía bè cũng với tốc độ $v$.
• Trả lời 2: Do tốc độ đối với nước ở hai lượt là như nhau và bè đứng yên trong nước nên thời gian quay lại gặp bè đúng bằng thời gian rời bè đến bến: $t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} \implies T = 2 t_{\text{đi}}$.
• Trả lời 3: Chiếc bè trôi đối với bờ hoàn toàn là do dòng nước kéo đi: $s = u \cdot T = 2 u \cdot t_{\text{đi}}$.
  • Lần 1: $t_{\text{đi}} = \frac{L}{v + u} \implies s_1 = \frac{2 u L}{v + u} = 1100\text{ m}$.
  • Lần 2 (tốc độ gấp đôi $2v$): $t'_{\text{đi}} = \frac{L}{2v + u} \implies s_2 = \frac{2 u L}{2v + u} = 600\text{ m}$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $L$ là khoảng cách từ chiếc cầu đến bến, $u$ là tốc độ dòng chảy của sông, $v$ là tốc độ ban đầu của thuyền so với nước.

Giải bằng phương pháp chọn dòng nước làm mốc:

Trong hệ quy chiếu gắn với dòng nước trôi, chiếc bè đứng yên tại chỗ.

Khi thuyền chuyển động từ cầu đến bến rồi quay ngược lại gặp bè, tốc độ của thuyền đối với nước ở lượt đi và lượt về đều bằng $v$. Vì bè đứng yên trong nước, thời gian thuyền quay lại gặp bè bằng thời gian thuyền đi xa bè:

$$t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} \implies T_1 = 2 t_{\text{đi}}$$

Đối với bờ sông, thuyền đi xuôi dòng từ cầu đến bến với vận tốc $v + u$, nên:

$$t_{\text{đi}} = \frac{L}{v + u} \implies T_1 = \frac{2L}{v + u}$$

Trong tổng thời gian $T_1$, chiếc bè trôi tự do đối với bờ được quãng đường $s_1$:

$$s_1 = u \cdot T_1 = \frac{2 u L}{v + u} = 1100\text{ m} \quad (1)$$

Trong trường hợp thứ hai, khi tốc độ của thuyền so với nước tăng gấp đôi ($v' = 2v$), tương tự ta có:

$$s_2 = u \cdot T_2 = \frac{2 u L}{2v + u} = 600\text{ m} \quad (2)$$

1) Tỉ số giữa tốc độ của thuyền và dòng sông:

Lập tỉ số giữa $(1)$ và $(2)$:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{2v + u}{v + u} = \frac{1100}{600} = \frac{11}{6}$$ $$\iff 11(v + u) = 6(2v + u) \iff 11v + 11u = 12v + 6u \implies v = 5u$$

Vậy tốc độ của thuyền gấp 5 lần tốc độ dòng sông ($\frac{v}{u} = 5$).

2) Khoảng cách từ bến đến cầu ($L$):

Thay $v = 5u$ vào phương trình $(1)$:

$$s_1 = \frac{2 u L}{5u + u} = \frac{2 u L}{6u} = \frac{L}{3} = 1100\text{ m} \implies L = 3 \times 1100 = 3300\text{ m} = 3{,}3\text{ km}$$

🎯 ĐÁP SỐ:
1) Tốc độ của thuyền gấp 5 lần tốc độ dòng sông ($v = 5u$).
2) Bến cách cầu một khoảng $3300\text{ m}$ ($3{,}3\text{ km}$).

Read More