Ứng dụng định lí Viet cho các bài toán vật lý

 ĐỊNH LÍ VIET TRONG VẬT LÝ

Một bài tập vật lý thực ra chỉ là một "bài toán đố", cách giải các bài tập vật lý cũng chỉ là lập hệ phương trình để giải. Các phương trình lập ra chính là các công thức vật lý, các định luật vật lý. Khi giải các phương trình này, chúng ta phải vận dụng những quy luật toán học. Một trong những định lý toán học được vận dụng nhiều trong các bài tập vật lí là định lí Viet. Khi vận dụng định lý Viet, bài toán vật lí trở nên rất đẹp, kích thích sự sáng tạo của học sinh. Ứng dụng định lí Viet cho các bài toán vật lý cũng là một đề tài khá thú vị đối với giáo viên vật lý.  Bài viết này, tác giả xin được chia sẻ kinh nghiệm biên soạn những bài tập vật lý ứng dụng định lý Viet.

Định lí Viet đối phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, với các hằng số a ≠ 0, b, c. Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thì

Một hàm số có cực trị có thể đưa về phương trình bậc hai và vận dụng định lí Viet

Xét một hàm số y = f(x) tồn tại cực trị y_m khi Khi đó sẽ tồn tại hai giá trị x₁, x₂ lân cận với x = x_m sao cho

Tức là x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình y₁₂ = f(x) (*). Có nghĩa là ta có thể đưa phương trình (*) về một phương trình bậc hai và vận dụng định lí Viet.

Áp dụng định lí Viet cho các bài tập vật lí

Một bài toán vật lí thường khảo sát một đại lượng y nào đó, nó phụ thuộc vào đại lượng x nào đó. Chắc chắn rằng sẽ có công thức vật lí mô tả sự phụ thuộc này, ta giả sử đó là công thức y = f(x).

Để có được những bài tập ứng dụng định lí Viet, hãy:

+ Tìm những đại lượng vật lí y, x trong phạm vi kiến thức cần dạy hoặc kiểm tra, sao cho hàm số có cực trị.

+ Đưa về dạng phương trình bậc hai và áp dụng định lí Viet, khi đó sẽ có một hệ phương trình tổng quát.

    + Tạo thêm một vài mối liên hệ toán học giữa x₁ và x₂ (đơn giản hay phức tạp tùy thuộc mức độ của bài toán bạn muốn viết ra).

Một số ví dụ minh họa về định lí Viet trong vật lý

Ví dụ 1: Áp dụng định lí Viet trong bài toán chuyển động thẳng biến đổi đều

Một biểu thức dễ nhận thấy nhất trong chuyển động thẳng biến đổi đều có dạng hàm số bậc hai chính là phương trình chuyển động

Trong đó, a, v₀, x₀ là các hằng số. Tọa độ x biến thiên theo thời gian t.

Nếu x(t₁) = x(t₂) = x₁₂ thì t₁ và t₂ chính là hai nghiệm của phương trình bậc hai

Áp dụng định lí Viet:

Với hệ phương trình này, bất kể đại lượng nào cũng có thể là ẩn. Vậy nên, nếu cho biết bốn trong sáu đại lượng t₁, t₂, a, v₀, x₀, x₁₂, yêu cầu tìm 2 đại lượng còn lại, đó sẽ là một bài toán khá thú vị.

Chẳng hạn:

Bài tập 1. Cho a = -10 m/s², x₀ = 0, t₂ = 1,8 s. Tìm v₀ và x₁₂.

Một vật được ném thẳng đứng hướng lên từ mặt đất với tốc độ ban đầu v₀. Bỏ qua lực cản của môi trường và lấy g = 10 m/s². Chọn t = 0 là lúc ném vật. Tại hai thời điểm t = t₁ = 0,2 s và t = t₂ = 1,8 s  thì vật ở cùng độ cao h. Xác định v₀ và h.

Lời giải

+ Lập phương trình chuyển động, đưa về phương trình bậc hai

Chọn trục Ox thẳng đứng hướng lên, O tại mặt đất, phương trình chuyển động là

Với

Chứng tỏ t = t₁ = 0,2 s và t = t₂ = 1,8 s là hai nghiệm của phương trình -5t² + v₀t – h = 0

+ Áp dụng định lí Viet ta có

Bài tập 2. Cho a = -10 m/s², x₁₂ = 2,55 m, t₁ – t₂ = 1,4 s, yêu cầu tìm v₀, t₁ và t₂

Một vật được ném thẳng đứng hướng lên từ mặt đất với tốc độ ban đầu v₀. Bỏ qua lực cản của môi trường và lấy g = 10 m/s². Chọn t = 0 là lúc ném vật. Tại hai thời điểm t = t₁ và t = t₁ + 1,4 (s) thì vật ở cùng độ cao h = 2,55 m. Xác định v₀ và t₁.

Lời giải

+ Lập phương trình chuyển động và đưa về phương trình bậc hai làm tương tự như bài toán 1.

+ Áp dụng định lí Viet

Ví dụ 2: Ứng dụng định lí Viet giải các bài tập về mạch điện một chiều

Cho mạch điện như hình vẽ, nguồn điện có suất điện động E  và điện trở trong r. Mạch ngoài là một biến trở có giá trị R thay đổi được.

Công suất ở mạch ngoài là

Một bài toán cực trị quen thuộc, tức là chúng ta đã biết tồn tại một giá trị công suất cực đại P_max. Điều này gợi ý một ứng dụng cho định lí Viet. Tức là sẽ tồn tại các cặp giá trị R₁, R₂ sao cho P(R₁) = P(R₂) = P₁₂

Như đã nêu ở trên, chắc chắn rằng sẽ đưa được biểu thức này thành một phương trình bậc hai biến R và sử dụng định lí Viet để giải quyết.

Bài tập 3. Cho R₁, R₂ và P₁₂, yêu cầu tính các đại lượng còn lại r và E.

Cho mạch điện như hình vẽ, trong đó U và R₀ không thay đổi, R_x là biến trở. Người ta thay đổi R_x thì thấy rằng, khi R_x = R₁ = 4 Ω hoặc R_x = R₂ = 25 Ω  thì công suất tỏa nhiệt trên biến trở có cùng giá trị P = 4 W.  Hãy xác định E  và r.

Lời giải

Bài toán có dạng P(R₁) = P(R₂) = P = 4 W, ta sẽ vận dụng định lí Viet theo các bước sau:

+ Vận dụng kiến thức về mạch điện để tính công suất trên R_x

+ Hai giá trị R₁ và R₂ chính là hai nghiệm của phương trình, ta áp dụng định lí Viet

Bài tập 4. Cho thêm các mối liên hệ khác để nâng cao mức độ của bài tập

Cho mạch điện như hình vẽ, R₀ = 4 Ω, U không đổi và R_x là biến trở.

a) Tìm công suất tỏa nhiệt cực đại P_max trên biến trở (tính theo U).

    b) Có hai giá trị của biến trở là R_x1 và R_x2 làm cho công suất tỏa nhiệt trên biến trở bằng nhau và bằng P nhưng cường độ dòng điện trong mạch khác nhau tương ứng là I₁ và I₂. Biết rằng

Hãy tính U và P.

Giải

a) Công suất cực đại

b) Tìm U và P

Tương tự bài 1, ta có

Khi R_x = R_x1 thì công suất trên R_x là P_x1 = I₁²R_x1, tương tự ta có P_x2 = I₂²R_x2. Theo bài ra thì P_x1 = P_x2, ta có

Tóm lại ta có hệ

Cũng theo định lí Viet thì

Với

Thay vào phương trình trên ta được

Từ đây ta cũng tính được

Ví dụ 3: Ứng dụng định lí Viet giải các bài tập về dòng điện xoay chiều

Cho mạch điện như hình vẽ. 

Điện trở thuần R, cuộn cảm thuần độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điện áp xoay chiều hai đầu mạch có giá trị hiệu dụng U và tần số góc ω không đổi. Ta xét mối liên hệ giữa điện áp hiệu dụng U_C trên tụ điện và dung kháng Z_C:

Hàm số U_C = f(Z_C) có cực đại, nên ta sẽ tạo ra được rất nhiều bài tập vận dụng định lí Viet. Ta có thể đưa biểu thức trên về dạng phương trình bậc hai

Có hai giá trị Z_C = Z_C1 và Z_C = Z_C2 cho cùng giá trị U_C1 = U_C2 = U₁₂ thì Z_C1 và Z_C2 là hai nghiệm của phương trình

Ta còn nhận thấy, nếu U_C đạt cực đại U_Cm khi thì Z_Cm chính là nghiệm kép của phương trình

Nghiệm kép được tính

Bài tập 5. Cho U, U₁₂, Z_C1 và Z_C2, yêu cầu tìm R và Z_L

Với dữ kiện của bài toán tổng quát trên. Cho U = 220 V,  khi Z_C = Z_C1 = 150 Ω hoặc Z_C = Z_C2 = 390 Ω thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện bằng nhau và bằng 330 V. Hãy tính R và Z_L.

Lời giải

+ Viết biểu thức U_C và đưa về phương trình bậc hai như đã nêu.

    + Áp dụng định lí Viet và thay số ta được hệ

Bài tập 6. Cho Z_L, tỉ sô U/U₁₂, Z_Cm, yêu cầu tìm  Z_C1 và Z_C2

Với dữ kiện của bài toán tổng quát. Biết Khi Z_C = 200 Ω thì U_C cực đại. Khi Z_C = Z_C1 hoặc Z_C = Z_C2 thì U_C có cùng giá trị và gấp 3 lần điện áp hiệu dụng hai đầu mạch. Tính Z_C1 và Z_C2.

Lời giải

    + Lập luận tương tự như trên để có

+Ta có hệ phương trình

Trên đây chỉ là số rất ít ví dụ minh họa việc biên soạn những bài tập vật lí ứng dụng định lí Viet. Trong mỗi nội dung kiến thức vật lí, có rất nhiều mối liên hệ vật lý có thể ứng dụng được định lí Viet. Từ mỗi mối liên hệ chúng ta lại có thể sáng tạo ra rất nhiều bài tập có cách giải bằng cách áp dụng định lí Viet.

Trong thực tế, khi bắt tay vào thực hiện, sẽ xuất hiện những khó khăn nhất định, như việc chọn số liệu sao cho hợp lí, chính xác, hay như việc vẽ các hình, đồ thị, gõ các công thức toán học... Tuy nhiên, sự khó khăn sẽ được khắc phục rất nhiều nếu chúng ta biết ứng dụng các phần mềm hỗ trợ như Word, Excel trong tính toán và soạn thảo. Chúc các bạn thành công!

Chuyên mục: Chuyên đề ôn thi đại học, Chuyên đề vật lí 10, Chuyên đề vật lí 11, Chuyên đề vật lí 12,