Ứng dụng định lí Viet cho các bài toán vật lý
ĐỊNH LÍ VIET TRONG VẬT LÝ
Định lí Viet đối phương trình bậc hai
Một hàm số có cực trị có thể đưa về phương
trình bậc hai và vận dụng định lí Viet
Xét một hàm số y = f(x) tồn tại cực trị ym khi Khi đó sẽ tồn tại hai giá trị x1, x2
lân cận với x = xm sao cho
Tức
là x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình y12
= f(x) (*). Có nghĩa là ta có thể đưa phương trình (*) về một phương trình bậc
hai và vận dụng định lí Viet.
Áp dụng định lí Viet cho các bài tập vật lí
Một
bài toán vật lí thường khảo sát một đại lượng y nào đó, nó phụ thuộc vào đại lượng
x nào đó. Chắc chắn rằng sẽ có công thức vật lí mô tả sự phụ thuộc này, ta giả
sử đó là công thức y = f(x).
Để
có được những bài tập ứng dụng định lí Viet, hãy:
+
Tìm những đại lượng vật lí y, x trong phạm vi kiến thức cần dạy hoặc kiểm tra,
sao cho hàm số có cực trị.
+
Đưa về dạng phương trình bậc hai và áp dụng định
lí Viet, khi đó sẽ có một hệ phương trình tổng quát.
Một số ví dụ minh họa về định lí Viet trong vật lý
Ví dụ 1: Áp dụng định lí Viet trong bài toán chuyển động thẳng biến đổi đều
Một biểu thức dễ nhận thấy nhất trong chuyển động thẳng biến đổi đều có dạng hàm số bậc hai chính là phương trình chuyển động
Trong đó, a, v0,
x0 là các hằng số. Tọa độ x biến thiên theo thời gian t.
Nếu x(t1)
= x(t2) = x12 thì t1 và t2 chính là
hai nghiệm của phương trình bậc hai
Áp dụng định lí Viet:
Với hệ phương trình
này, bất kể đại lượng nào cũng có thể là ẩn. Vậy nên, nếu cho biết bốn trong
sáu đại lượng t1, t2, a, v0, x0, x12,
yêu cầu tìm 2 đại lượng còn lại, đó sẽ là một bài toán khá thú vị.
Chẳng hạn:
Bài
tập 1. Cho a = -10
m/s2, x0 = 0, t2 = 1,8 s. Tìm v0 và x12.
Một vật được ném thẳng đứng hướng lên từ mặt đất với tốc độ ban đầu v0. Bỏ qua lực cản của môi trường và lấy g = 10 m/s2. Chọn t = 0 là lúc ném vật. Tại hai thời điểm t = t1 = 0,2 s và t = t2 = 1,8 s thì vật ở cùng độ cao h. Xác định v0 và h.
Lời
giải
+
Lập phương trình chuyển động, đưa về phương trình bậc hai
Chọn trục Ox thẳng đứng hướng lên, O tại mặt đất, phương trình chuyển động là
Với
Chứng
tỏ t = t1 = 0,2 s và t = t2 = 1,8 s là hai nghiệm của
phương trình -5t2 + v0t – h = 0
Bài
tập 2. Cho
a = -10 m/s2, x12 = 2,55 m, t1 – t2 = 1,4 s, yêu
cầu tìm v0, t1 và t2
Một vật được ném thẳng đứng hướng lên từ mặt đất với tốc độ ban đầu v0. Bỏ qua lực cản của môi trường và lấy g = 10 m/s2. Chọn t = 0 là lúc ném vật. Tại hai thời điểm t = t1 và t = t1 + 1,4 (s) thì vật ở cùng độ cao h = 2,55 m. Xác định v0 và t1.
Lời
giải
Một bài toán cực trị quen thuộc, tức là
chúng ta đã biết tồn tại một giá trị công suất cực đại Pmax. Điều
này gợi ý một ứng dụng cho định lí Viet. Tức là sẽ tồn tại các cặp giá trị R1,
R2 sao cho
Bài
tập 3. Cho R1,
R2 và P12, yêu cầu tính các đại lượng còn lại r và E.
Cho mạch điện như hình vẽ, trong đó U và R0 không thay đổi, Rx là biến trở. Người ta thay đổi Rx thì thấy rằng, khi Rx = R1 = 4 Ω hoặc Rx = R2 = 25 Ω thì công suất tỏa nhiệt trên biến trở có cùng giá trị P = 4 W. Hãy xác định E và r.
Lời giải
Bài toán có dạng P(R1) = P(R2)
= P = 4 W, ta sẽ vận dụng định lí Viet theo các bước sau:
+ Vận dụng kiến thức về mạch điện để tính công
suất trên Rx
+ Hai giá trị R1 và R2 chính là hai nghiệm của phương trình, ta áp dụng định lí Viet
Bài
tập 4. Cho thêm các mối liên hệ khác để nâng cao mức độ của bài tập
Cho mạch điện như
hình vẽ, R0 = 4 Ω, U không đổi và
Rx là biến trở.
a) Tìm công suất tỏa nhiệt cực đại Pmax
trên biến trở (tính theo U).
Giải
a) Công suất cực đại
b) Tìm U và P
Tương tự bài 1, ta có
Khi
Rx = Rx1 thì công suất trên Rx là Px1
= I12Rx1, tương tự ta có Px2 = I22Rx2.
Theo bài ra thì Px1 = Px2, ta có
Tóm
lại ta có hệ
Với
Thay vào phương trình trên ta được
Từ đây ta cũng tính được
Ví dụ 3: Ứng dụng định lí Viet giải các bài tập về dòng điện xoay chiều
Hàm số UC = f(ZC)
có cực đại, nên ta sẽ tạo ra được rất nhiều bài tập vận dụng định lí Viet. Ta
có thể đưa biểu thức trên về dạng phương trình bậc hai
Có hai giá trị ZC = ZC1
và ZC = ZC2 cho cùng giá trị UC1 = UC2
= U12 thì ZC1 và ZC2 là hai nghiệm của phương
trình
Bài
tập 5. Cho U, U12, ZC1 và ZC2, yêu cầu tìm R
và ZL
Với dữ kiện của bài toán tổng quát trên. Cho U = 220 V, khi ZC = ZC1 = 150 Ω hoặc ZC = ZC2 = 390 Ω thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện bằng nhau và bằng 330 V. Hãy tính R và ZL.
Lời giải
+
Viết biểu thức UC và đưa về phương trình bậc hai như đã nêu.
Bài tập 6. Cho ZL, tỉ sô U/U12, ZCm, yêu cầu tìm ZC1 và ZC2
Với dữ kiện của bài toán tổng quát. Biết
Khi ZC
= 200 Ω thì UC cực đại. Khi ZC = ZC1 hoặc ZC
= ZC2 thì UC có cùng giá trị và gấp 3 lần điện áp hiệu dụng
hai đầu mạch. Tính ZC1 và ZC2.
Lời giải
Trên
đây chỉ là số rất ít ví dụ minh họa việc biên soạn những bài tập vật lí ứng dụng
định lí Viet. Trong mỗi nội dung kiến thức vật lí, có rất nhiều mối liên hệ vật lý có
thể ứng dụng được định lí Viet. Từ mỗi mối liên hệ chúng ta lại có thể sáng tạo
ra rất nhiều bài tập có cách giải bằng cách áp dụng định lí Viet.
Ví dụ 2: Ứng dụng định lí Viet giải các bài tập về mạch điện một chiều, bài này hình như biểu thức bị sai dấu ạ.
Trả lờiXóaĐúng rồi bạn, nó là R1R2 = E^2/P12 - 2r
Xóa