Bài tập thấu kính
Bài tập thấu kính xuất hiện trong tất cả các kì thi vật lí, như kì thi vào lớp 10 chuyên lí, thi học sinh giỏi vật lí lớp 9, thi học sinh giỏi vật lí 11, thi học sinh giỏi quốc gia môn vật lí, thi tốt nghiệp THPT, thi THPT Quốc gia môn vật lí, .... Điều này là tự nhiên, vì thấu kính rất quan trọng trong khoa học và trong cuộc sống, nó có mặt trong nhiều loại thiết bị quang học. Thường thì những bài tập thấu kính này gây khó khăn cho thí sinh. Tuy nhiên, nếu chúng ta phân tích các phương án khả thi về vị trí của vật và ảnh của nó trong thấu kính và hệ thống hóa các kết quả thu được dưới dạng đồ thị và bảng, thì chúng ta có thể tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải toàn bộ một nhóm bài toán. Chỉ cần soạn một phương trình hoặc một hệ phương trình là đủ, lời giải của chúng đã là một bài tập toán học thuần túy.
Kiến thức cơ bản áp dụng để giải bài tập thấu kính
Chúng ta quy ước các ký hiệu sau: $F$ là tiêu cự của thấu kính, $d$ và $f$ là khoảng cách từ vật và ảnh của nó đến thấu kính, $h$ và $H$ lần lượt là chiều cao của vật và ảnh của nó. Tất nhiên, tất cả các đại lượng trên sẽ được coi là số dương, là độ dài của các đoạn (điều này thuận tiện khi giải bài toán), và dấu trừ sẽ xuất hiện trước chúng chỉ theo luật đại số.
Sự tạo ảnh của thấu kính hội tụ
Chúng ta bắt đầu với một thấu kính hội tụ. Vì vật có thể ở cả trước tiêu điểm của thấu kính và ở sau nó, chúng ta sẽ xét riêng hai trường hợp này. Cho $0\lt d\lt F$ (Hình 1).
Biểu thị độ phóng đại của thấu kính $\frac{H}{d}$ bằng hai cách, ta viết hệ phương trình $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{H}{h}=\frac{f}{d} \\ \frac{H}{h}=\frac{F+f}{F} \end{array}\right. $$ Từ đây, bạn có thể nhận được công thức thấu kính: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$$ cũng như khoảng cách từ ảnh đến thấu kính và độ phóng đại của thấu kính: $$f=\frac{Fd}{F-d}\ \text{và}\ \frac{H}{d}=\frac{F}{F-d}$$ Điều thú vị là xác định khoảng cách $l$ giữa vật và ảnh của nó trong trường hợp này: $$l=f-d=\frac{d^2}{F-d}$$ Bây giờ $F\lt d\lt \infty$ (Hình 2). Tương tự, chúng ta có một hệ phương trình
$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{H}{h}=\frac{f}{d} \\ \frac{H}{h}=\frac{f-F}{F} \end{array}\right. $$ từ đó chúng ta thu được công thức thấu kính: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$$ và biểu thức cho $f$ và $\frac{H}{h}$ $$f=\frac{Fd}{d-F}\ \text{và}\ \frac{H}{d}=\frac{F}{d-F}$$ Trong trường hợp này, khoảng cách giữa vật và ảnh của nó là $$l=f+d=\frac{d^2}{d-F}$$ Đồ thị của sự phụ thuộc của $f$, $\frac{H}{h}$ và $l$ vào $d$ lần lượt được thể hiện trong các Hình 5, a, b và c. Hãy thảo luận về các biểu đồ này với quan điểm toán học. Cả ba đường cong đều có tiệm cận đứng $d = F$, vì chúng bị đứt tại điểm này. Hai đường cong đầu tiên cũng có tiệm cận ngang lần lượt là: $f = F$ và $\frac{H}{h}=0$, và đường cong thứ ba có tiệm cận $l = d + F$ nghiêng một góc 45° so với trục hoành.
Và từ đây: $$ l=\frac{d^{2}}{d-F}=\frac{d^{2}-F^{2}}{d-F}+\frac{F^{2}}{d-F}=d+F+\frac{F^{2}}{d-F} $$ Các đường cong thể hiện trong Hình 5, a và b, là các phần của một hyperbol, ví dụ: $$f=\frac{Fd}{d-F}=\frac{\left(d-F\right)F+F^2}{d-F}=F+\frac{F^2}{d-F}$$ Đường cong thứ ba phức tạp hơn và không phải là hyperbol, rõ ràng là phương trình của nó cho biết điều này. Với $F\lt d \lt 2F$ thì hàm số này có điểm cực tiểu $(2F, 4F)$ mà tại đó giá trị nhỏ nhất của nó đạt được trong khoảng này. Ta phải chứng minh điều này (giá trị cực tiểu) một cách tổng quát với sự trợ giúp của đạo hàm. Tuy nhiên chúng ta sử dụng hai phương pháp gần gũi hơn. Cách đầu tiên. Hãy biến đổi biểu thức cho $l$:
\begin{align} l&=\frac{d^2}{d-F}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{d}-\frac{F}{d^2}}\\ &=\frac{1}{-F\left(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{Fd}\right)}\\ &=\frac{1}{-F\left(\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{2F}\right)^2-\frac{1}{4F^2}\right)}\\ &=\frac{1}{\frac{1}{4F}-F\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{2F}\right)^2} \end{align}
Theo đó $l_\text{min}= 4F$ khi $d = 2F$.
Cách thứ hai: Ta viết biểu thức của $l$ dưới dạng một phương trình bậc hai
$$d^2-ld+lF=0$$
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là $\Delta = l^2-4lF\ge 0$ (đẳng thức đạt được khi $d=\frac{l}{2}$). Do đó, $l\ge 4F$, tức là
$$l_\text{min}=4F\ \text{khi}\ d=2F$$
Lưu ý rằng nếu $d = 2F$ thì $f = 2F$ và $H = h$. Điều nFy có nghĩa là hình ảnh thu được có kích thước bằng kích thước của vật.
Sự tạo ảnh của thấu kính phân kì
Bây giờ hãy xem xét một thấu kính phân kỳ.
Hình 3 và hình 4 cho thấy, bất kể vật ở trước tiêu điểm của thấu kính hay ở sau nó, đều thu được cùng một hệ phương trình \begin{cases} \frac{H}{h}=\frac{f}{d}& \\ \frac{H}{h}= \frac{F-f}{f} \end{cases} Từ đây, chúng ta có được công thức cho thấu kính phân kỳ: $$\frac{1}{d}-\frac{1}{f}=-\frac{1}{F}$$ Khoảng cách từ ảnh đến thấu kính và số phóng đại lần lượt là $$f=\frac{Fd}{d+F}\ \text{và}\ \frac{H}{h}=\frac{F}{d+F}$$ Lưu ý rằng thấu kính phân kỳ luôn tạo ra ảnh ảo nhỏ hơn vật, tức là $\frac{H}{h}\lt 1$. Khoảng cách giữa vật và ảnh của nó trong trường hợp này là $$l=d-f=\frac{d^2}{d+F}$$ Chúng ta xây dựng các đồ thị tương ứng cho một thấu kính phân kỳ (Hình 5, d, e và f).
Không giống như bộ ba đồ thị đầu tiên trong Hình 5, bộ ba thứ hai là các đường cong liên tục. Hơn nữa, các đường cong của $f$ và $\frac{H}{h}$ cũng là các phần của hypebol với các đường tiệm cận ngang lần lượt là $f = F$ và $\frac{H}{h}=0$. Đường cong của $l$ phức tạp hơn và có tiệm cận đứng $l = d - F$, nghiêng một góc $45^0$ so với trục hoành, bởi vì \begin{align} \frac{d^2}{d+F}&=\frac{d^2-F^2}{d+F}\\ &=\frac{F^2}{d+F}\\ &=d-F+\frac{F^2}{d+F} \end{align} Bây giờ chúng ta chuyển sang việc xem xét các bài tập thấu kính cụ thể. Đây là các bài tập thấu kính điển hình, thể hiện khá đầy đủ ý tưởng của bài viết.
Bài tập thấu kính
Bài tập 1. Ảnh và vật đối xứng nhau qua tiêu điểm của thấu kính
Vật và ảnh của vật được tạo bởi thấu kính nằm đối xứng nhau qua tiêu điểm của thấu kính. Khoảng cách từ vật đến tiêu điểm của thấu kính gần vật nhất là $l= 4\ \text{cm}$. Tìm tiêu cự của thấu kính.
Giả sử rằng thấu kính là hội tụ. Có hai tình huống xảy ra, vật và ảnh đối xứng nhau qua tiêu điểm vật (tiêu điểm cùng phía với vật so với thấu ính) hoặc đối xứng nhau qua tiêu điểm ảnh (tiêu điểm phía bên kia thấu kính). Tình huống thứ nhất, ảnh không thể năm bên kia thấu kính, vì như thế sẽ không thể đối xứng với vật qua tiêu điểm, tức là ảnh là ảnh ảo, suy ra vật phải nằm trong tiêu cự của thấu kính: $0\lt d \lt F$. Chúng ta có một hệ phương trình
\begin{cases} f=\frac{Fd}{F-d}& \\ f-F=F-d&\\ f-F=l \end{cases}Chúng ta biểu diễn $f$ và $d$ từ phương trình thứ hai và thứ ba dưới dạng $F$ và $l$ và thay chúng vào phương trình thứ nhất. Chúng ta nhận được phương trình $$F^2-2lF-l^2=0$$ Được nghiệm dương $$F=l\left(1+\sqrt{2}\right)\approx 9\text{,}66\ \text{cm}$$ Tình huống thứ hai sẽ theo hệ phương trình \begin{cases} f=\frac{Fd}{F-d}& \\ f-F=2F+l&\\ F=d-l \end{cases} Từ hệ phwowg trình ta cũng suy ra phương trình $$F^2-2lF-l^2=0$$ Bây giờ, ta xét đến trường hợp thấu kính phân kì. Thấu kính phân kì luôn cho ảnh ảo nằm gần thấu kính hơn so với vật, hệ phương trình thỏa mãn là \begin{cases} f=\frac{Fd}{F-d}& \\ d=2l+f&\\ F=l+f \end{cases} Hệ phương trình nayc cũng đưa về phương trình $$F^2-2lF-l^2=0$$ Như vậy, bài tập thấu kính có một lời giải nhưng cho cả 3 trường hợp: Thấu kính hội tụ với hai tình huống, thấu kính phân kì với một tình huống.
Bài tập 2. Thay thấu kính hội tụ bằng thấu kính phân kì
Vật đặt cách thấu kính hội tụ có tiêu cự $F = 20\ \text{cm}$ một khoảng $d = 10\ \text{cm}$. Độ lớn của ảnh sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu thay thấu kính hội tụ bằng thấu kính phân kỳ có cùng độ lớn tiêu cự?
Chỉ thay thấu kính mà không thay đổi khoảng cách $d$ từ ảnh đến vật nên ta sử dụng công thức số phóng đại chỉ có $d$, với thấu kính hội tụ và thấu kính phân kì lần lượt là $$\frac{H}{h}=\frac{F}{F-d}\ \text{và}\ \frac{H}{h}=\frac{F}{F+d}$$ Vì độ cao $h$ của vật không đổi nên ta có tỉ số độ cao ảnh \begin{align} \frac{H_\text{pk}}{H_\text{ht}}&=\frac{\frac{F}{F+d}}{\frac{F}{F-d}}\\ &=\frac{F-d}{F+d}\\ &=\frac{1}{3} \end{align}
Bài tập 3. Nguyên lí thuận nghịch của chiều truyền ánh sáng
Khoảng cách giữa vật nằm trên trục chính của thấu kính và ảnh thật của nó là $l = 6\text{,}25F$, trong đó $F$ là tiêu cự của thấu kính. Tìm khoảng cách từ vật đến thấu kính và từ thấu kính đến ảnh. Hãy giải thích sự tồn tại của hai nghiệm?
Vì ảnh thật, thấu kính hội tụ và $d\gt F$. Do đó, phương trình $$\frac{d^2}{d-F}=6\text{,}25F$$ dẫn đến phương trình bậc hai $$4d^2-25Fd+25F^2=0$$ Có nghiệm $$d_1=5F, d_2=1\text{,}25F$$ Theo đó, chúng ta nhận được $$f_1=6\text{,}25F-5F=1\text{,}25F\\ f_2=6\text{,}25F-1\text{,}25F=5F$$ Sự tồn tại của hai nghiệm, về mặt vật lý là do sự thuận nghịch của các tia sáng. Theo quan điểm toán học, cả hai nghiệm đều phù hợp vì chúng thỏa mãn điều kiện $d\gt F$.
Bài tập 4. Hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên màn
Độ tụ của thấu kính là bao nhiêu để có thể thu được ảnh phóng to hoặc thu nhỏ của một vật trên màn nằm cách nó một khoảng $L = 0\text{,}9\ \text{m}$, nếu tỉ số các kích thước của các ảnh thu được là $\alpha = 4$?
Vì trên màn không thu được ảnh ảo nên ảnh thật trong cả hai trường hợp. Khi đó $d\gt F$. Nhưng với $\alpha\gt 1$, chúng ta đi đến kết luận sau: $$F\lt d_1\lt2F\\ 2F\lt d_2\lt\infty$$ trong đó $d_1$ là nghiệm nhỏ hơn và $d_2$ là nghiệm lớn hơn của phương trình $$\frac{d^2}{d-F}=L$$ Bên cạnh đó, $$\frac{d_2-F}{d_1-F}=\alpha$$ Rõ ràng, chúng ta nhận được phương trình $$\frac{\frac{L}{2}+\sqrt{\frac{L^2}{4}-FL}-F}{\frac{L}{2}-\sqrt{\frac{L^2}{4}-FL}-F}=\alpha$$ Đầu tiên, chúng ta loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số: $$\frac{\left(\frac{L}{2}+\sqrt{\frac{L^2}{4}-FL}-F\right)^2}{F^2}=\alpha$$ Sau đó là $$\frac{L}{2}+\sqrt{\frac{L^2}{4}-FL}-F=F\sqrt{\alpha}\\ \sqrt{\frac{L^2}{4}-FL}=F\left(1+\sqrt{\alpha}\right)-\frac{L}{2} $$ Sau khi bình phương phương trình cuối cùng, nó trở nên đơn giản hơn nhiều: $$F^2\left(1+\sqrt{\alpha}\right)^2=FL\sqrt{\alpha}$$ Suy ra $$F=\frac{L\sqrt{\alpha}}{\left(1+\sqrt{\alpha}\right)^2}$$ Khi đó độ tụ mong muốn của thấu kính bằng \begin{align} D&=\frac{1}{F}\\ &=\frac{\left(1+\sqrt{\alpha}\right)^2}{L\sqrt{\alpha}}=5\ \text{dp} \end{align}
Bài tập 5. Bài tập thấu kính cuối cùng
Khoảng cách từ tiêu điểm sau của thấu kính hội tụ đến ảnh gấp 9 lần khoảng cách từ tiêu điểm trước đến vật. Tìm độ phóng đại của ảnh qua thấu kính.
Nếu $d\lt F$ thì ta có hệ phương trình
\begin{cases}
F+f=9\left(F-d\right)& \\
f=\frac{Fd}{F-d}&\\
k=\frac{F}{F-d}
\end{cases}
Trong đó $k$ là số phóng đại mong muốn. Loại bỏ $f$ khỏi hai phương trình đầu tiên, ta được phương trình
$$9d^2-18dF+8F^2=0$$
Với một nghiệm lớn hơn thích hợp $d=\frac{4}{3}F$. Và một lần nữa $k= 3$.
Như vậy, bài toán có một lời giải được thực hiện trong hai trường hợp: $d_1=\frac{2}{3}F$ và $d_2=\frac{4}{3}F$. Có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách vẽ đồ thị đường đi của các tia hai lần.
Xin lưu ý rằng khi giải bài tập thấu kính, đồ thị và một bảng đã giúp chúng ta không cần phải tạo thêm các bản vẽ.
Còn bây giờ, chúng ta hãy trình bày cách lời giải cho các bài tập thấu kính sau đây.
Bài tập thấu kính tự giải
Bài tập thấu kính 1. Một nguồn sáng điểm nằm trên trục của một thấu kính hội tụ mỏng. Khoảng cách giữa nguồn và tiêu điểm gần nó nhất $l$, khoảng cách giữa nguồn và ảnh của nó là $L$. Xác định tiêu cự của thấu kính.
Bài tập thấu kính 2. Tìm tiêu cự của thấu kính hội tụ nếu tích của khoảng cách từ vật đến tiêu điểm trước và khoảng cách từ tiêu điểm sau đến ảnh là $a^2$.
Bài tập thấu kính 3. Khoảng cách giữa vật và ảnh của nó trong thấu kính là $l = 5\ \text{cm}$. Số phóng đại $k = 0\text{,}5$. Xác định tiêu cự của thấu kính.
Bài tập thấu kính 4. Một thấu kính cho ảnh thật của một vật. Phải dịch chuyển thấu kính một đoạn bằng bao nhiêu lần tiêu cự của thấu kính để cho ảnh ảo cùng kích thước với ảnh thật ban đầu? Tìm độ phóng đại của thấu kính.
Bài tập thấu kính 5. Khoảng cách giữa một vật và ảnh của nó do thấu kính mỏng hội tụ cho bằng $0\text{,}5F$, trong đó $F$ là tiêu cự của thấu kính. Xác định ảnh của vật qua thấu kính.
Bài tập thấu kính 6. Khoảng cách giữa vật nằm trên trục chính của thấu kính phân kỳ và ảnh của nó bằng $F$, trong đó $F\gt0$ là tiêu cự của thấu kính. Tìm khoảng cách từ vật đến thấu kính.
Bài tập thấu kính 7. Tìm tiêu cự của thấu kính hội tụ nếu lúc đầu khoảng cách từ vật đến thấu kính bằng $0\text{,}3\ \text{m}$, thay đổi $0\text{,}1\ \text{m}$ thì khoảng cách từ thấu kính đến ảnh thật của vật tăng gấp đôi.
Bài tập thấu kính 8. Khoảng cách từ vật được chiếu sáng đến màn là $l = 100\ \text{cm}$.Một thấu kính đặt giữa chúng cho ảnh rõ nét của vật trên màn ở hai vị trí, khoảng cách giữa chúng là $L = 20\ \text{cm}$. Tìm tiêu cự của thấu kính.
Bài tập thấu kính 9. Khi vật ở điểm A, một thấu kính hội tụ mỏng cho độ phóng đại $k_1= 2$, và khi vật chuyển đến điểm B thì độ tăng trở thành $k_2 = 3$. Độ phóng đại sẽ là bao nhiêu nếu đặt vật ở giữa đoạn AB? Vật nằm vuông góc với trục chính của thấu kính thì ảnh là ảnh thật.
Bài tập thấu kính 10. Ảnh của một vật có độ phóng đại thu được trên màn qua thấu kính $k=2$. Độ phóng đại sẽ là bao nhiêu nếu tăng khoảng cách giữa vật và màn lên 1,6 lần?
Không có nhận xét nào: