Bài toán cơ điện
Bài toán cơ điện là một dạng bài tập vật lý kết hợp giữa hai lĩnh vực cơ và điện. Hiện tượng vật lý trong các bài toán này là sự chuyển động của các hệ cơ học dưới tác dụng của các lực điện và lực từ. Phương pháp giải các bài toán cơ điện tương tự như phương pháp giải các bài toán cơ, nhưng công thức tính các lực điện và lực từ thì phải xét đến kiến thức về điện từ học.
Một số ví dụ về bài toán cơ điện
Bài toán cơ điện 1. Êlectron chuyển động tròn dưới tác dụng của lực tĩnh điện
Năng lượng tối thiểu cần thiết để bứt êlectron ra khỏi nguyên tử hiđrô (năng lượng ion hóa) là $W_i=2\text{,}2.20^{-13}\ \text{J}$. Giả sử rằng êlectron quay theo quỹ đạo tròn xung quanh một hạt nhân nhỏ, mang điện tích dương (prôtôn), xác định độ lớn của lực tương tác tĩnh điện giữa êlectron và prôtôn.
Khối lượng của prôtôn lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của êlectron, và do đó chúng ta có thể cho rằng tâm quay của êlectron trùng với trọng tâm của prôtôn. Chuyển động của êlectron dọc theo đường tròn bán kính $r$ xảy ra dưới tác dụng của lực tĩnh điện từ phía của prôtôn. Định luật thứ hai của Newton cho phép chúng ta viết: $$ \frac{mv^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} $$ trong đó $m$ là khối lượng của êlectron, $v$ là điện tích của nó. Sử dụng phương trình này, chúng ta tìm ra động năng của êlectron: \begin{align} W_{k}&=\frac{mv^{2}}{2}\\&=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \end{align} Thế năng của tương tác tĩnh điện của một êlectron và một prôtôn, với tư cách là một hệ các điện tích điểm, bằng $$ W_{p}=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r} $$ Như vậy, tổng năng lượng của êlectron trên quỹ đạo tròn bán kính $r$ trong nguyên tử hiđrô là \begin{align} W&=W_{k}+W_{p}\\&=-\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \end{align} Rõ ràng rằng năng lượng tối thiểu cần thiết để loại bỏ một êlectron ra khỏi nguyên tử hyđrô tương đương với năng lượng dùng để đưa êlectron ra quỹ đạo bán kính $r=\infty$. Mà theo công thức tính năng lượng ở trên thì ở quỹ đạo bán kính $r=\infty$ năng lượng bằng không. Tức là ta có \begin{align} W_{i}&=0-W\\&=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \end{align} Từ đây ta tìm được bán kính của quỹ đạo êlectron: $$ r=\frac{e^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}W_{i}} $$ và độ lớn lực tương tác tĩnh điện của một êlectrôn với một prôtôn: \begin{align} F_{2\ n}&=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\\&=\frac{16\pi\varepsilon_{0}W_{i}^{2}}{e^{2}}\\&=8\text{,}4\cdot 10^{-8}\ \mathrm{H}. \end{align}
Bài toán cơ điện 2. Chuyển động của 3 quả cầu tích điện nối với nhau bằng các sợi chỉ
Ba quả cầu giống hệt nhau, mỗi quả có điện tích $q$ và $m$, được nối với nhau bằng các sợi chỉ không dãn có chiều dài bằng nha và bằng $L$. Cả ba quả cầu đều có khối lượng không đáng kể và nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Một trong những sợi chỉ được đốt cháy. Các quả cầu sẽ có vận tốc bao nhiêu khi chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng? Bán kính của các quả cầu không đáng kể so với chiều dài của sợi chỉ.
Tại thời điểm ban đầu, các quả cầu nằm ở các đỉnh của một tam giác đều với độ dài mỗi cạnh là $L$ (Hình vẽ dưới đây).
Các quả cầu đứng yên nên tổng động năng của chúng bằng không:
$$W_k1=0$$
Thế năng của tương tác điện là
\begin{align}
W_{p\ 1}&=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L}+\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L}+\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L}\\&=\frac{3q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L}
\end{align}
(Trong biểu thức này, mỗi phần tử của thế năng tương tác là một cặp điện tích và có ba cặp điện tích như vậy.) Vì sợi chỉ không thể co dãn nên thế năng đàn hồi bằng không. Vì vậy, ở trạng thái ban đầu, tổng năng lượng của hệ là $W_\text{pt}$, và động lượng của hệ bằng không.
Sau khi một sợi chỉ được đốt cháy (giả sử sợi chỉ giữa hai quả cầu 1 và 2), khối tâm của các quả cầu sẽ không chuyển động, và khi các quả cầu nằm trên một đường thẳng, quả cầu 3 sẽ nằm ở khối tâm của hệ. Thật vậy, cả trước khi sợi chỉ bị đốt cháy và sau khi sợi chỉ bị đốt cháy, chỉ có nội lực tác dụng giữa các quả cầu (một hệ kín), và kể từ thời điểm ban đầu vận tốc khối tâm bằng 0 thì khối tâm của hệ sẽ đứng yên mãi mãi. Tại thời điểm khi các quả cầu nằm trên một đường thẳng, tốc độ của quả cầu 3 bằng $u$ và của hai quả cầu còn lại bằng $v$ (vì đối xứng nên vận tốc của các quả cầu 1 và 2 là như nhau). Theo định luật bảo toàn động lượng
$$
mu-2mv=0,\ \text{Suy ra}\ u=2v
$$
Động năng của các quả cầu lúc này bằng
\begin{align}
W_{k2}&=\frac{mu^{2}}{2}+2\frac{mv^{2}}{2}\\&=3mv^{2}
\end{align}
Thế năng mới của tương tác tĩnh điện là
\begin{align}
W_{p2}&=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} L}+\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} L} +\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} L}\\&=\frac{5 q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} L}
\end{align}
Định luật bảo toàn cơ năng của hệ cho phép ta viết
$$
W_{k1}+W_{p 1}=W_{k 2}+W_{p 2}
$$
hoặc
$$
\frac{3q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} L}=3m v^{2}+\frac{5 q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} L}
$$
Từ đây chúng ta tìm ra tốc độ của các quả cầu 1 và 2
$$
v=\frac{q}{2 \sqrt{6 \pi\varepsilon_{0} m L}}
$$
và tốc độ quả cầu 3:
$$
u=\frac{q}{\sqrt{6 \pi \varepsilon_{0} m L}}
$$
Bài toán cơ điện 3. Chất lỏng dâng lên giữa hai bản tụ điện
Một tụ điện phẳng có các bản hình chữ nhật, mắc vào nguồn có hiệu điện thế không đổi $U\ =\ 100\ \text{V}$, được đặt theo phương thẳng đứng sao cho các bản của nó tiếp xúc với chất điện môi như hình vẽ dưới đây. Khoảng cách giữa các tấm $d\ =\ 0\text{,}5\ \text{mm}$ nhỏ hơn nhiều so với kích thước của các tấm. Xác định chiều cao ổn định của chất lỏng dâng lên giữa các bản, nếu chất lỏng là nước có hằng số điện môi là $\varepsilon\ =\ 81$ và khối lượng riêng là $\\rho=\ 10^3\ \text{kg/m}^3$. Bỏ qua hiệu ứng mao dẫn.
Hệ thống cơ điện của chúng ta bao gồm một tụ điện tích điện (ở hiệu điện thế không đổi $U$), một nguồn điện áp không đổi và một chất lỏng điện môi trong trường hấp dẫn của Trái đất. Bất kỳ hệ kín nào cũng có xu hướng đạt đến trạng thái mà nó có năng lượng tối thiểu.
Gọi độ cao của mực chất điện môi giữa hai bản tụ điện ở trạng thái ổn đinh bằng $z$. Ta đi tìm tổng năng lượng của hệ, bao gồm năng lượng điện trường của tụ điện có điện môi $W_\text{k}$, thế năng trọng trường $W_\text{t}$ tăng thêm của chất lỏng và năng lượng điện của tụ điện không khí cao $H\ -\ z$. Trước hết là điện dung của tụ điện
\begin{equation}
\begin{aligned}
C=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} Lz}{d}+\frac{\varepsilon_{0}L\left(H-z\right)}{d}\ &=\\
=\frac{\varepsilon_{0} L}{d}\left(H+\left(varepsilon-1\right)z\right)
\end{aligned}
\end{equation}
trong đó $H$ là chiều cao của các bản tụ điện, $L$ là chiều dài của chúng. Năng lượng điện được lưu trữ trong một tụ điện như vậy là
\begin{align}
W_{x}&=\frac{C U^{2}}{2}\\&=\frac{\varepsilon_{0}L U^{2}\left(H+\left(\varepsilon-1\right) z\right)}{2d}
\end{align}
Thế năng của chất lỏng được nâng lên bằng
$$
W_{\text{t}}=\frac{\rho Ldgz^{2}}{2}
$$
(Chọn mốc thế năng tại mặt chất lỏng). Năng lượng ban đầu của nguồn là $W_0$. Tại thời điểm điện dung giữa các bản của hình xuyến bằng $C$ thì chúng có điện tích $Q\ =\ CU$. Do đó, nguồn của ta đã tiêu tốn một phần năng lượng bằng công $A\ =\ QU\ =\ CU^2$. Rõ ràng, phần năng lượng còn lại của nguồn là
\begin{equation}
\begin{aligned}
W_{n}=W_{0}-C U^{2}=\\
&=W_{0}-\frac{\varepsilon_{0} L U^{2}}{d}\left(H+\left(\varepsilon-1\right)z\right)
\end{aligned}
\end{equation}
Hãy phân biệt biểu thức này với $z$ và coi nó bằng 0:
\begin{equation}
\frac{d W(z)}{d z}=-\frac{\varepsilon_{0}\left(\varepsilon-1\right)L U^{2}}{2 d}+\rho Ldgz=0
\end{equation}
Theo đó, tổng năng lượng của hệ cơ điện của chúng ta sẽ nhỏ nhất ở độ cao chất lỏng
\begin{align}
z_{1}&=\frac{\varepsilon_{0}\left(\varepsilon-1\right)U^{2}}{2 d^{2} \rho g}\\&=1\text{,}45\cdot 10^{-3}\ \mathrm{M}
\end{align}
Bài toán cơ điện 4. Vòng tích điện quay trên mặt phẳng ngang
Trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn có một vòng mỏng không dẫn điện khối lượng $m$, điện tích $Q$ phân bố đều dọc theo vòng, vòng nằm trong từ trường đều ngoài, có cảm ứng bằng $B_0$ và hướng vuông góc với mặt phẳng của chiếc vòng. Tìm tốc độ góc quay của vòng sau khi tắt từ trường.
Sự giảm độ lớn của cảm ứng từ trường $B_0$ về $0$ có thể xảy ra trong một thời gian rất ngắn, nhưng trong thực tế nó sẽ luôn là một giá trị hữu hạn. Tại một thời điểm tùy ý (trong quá trình giảm cảm ứng trường) giá trị tức thời của cảm ứng từ bằng $B\left(t\right)$. Từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra một điện trường xoáy, các đường sức trong hình vẽ dưới đây được mô tả bằng các đường tròn màu đỏ tươi, đường tròn đỏ thẫm là vòng dây, trùng với vòng dây cũng có một đường sức (để đơn giản, chúng ta sẽ xét sự phân bố đối xứng của từ trường đối với vòng). Độ lớn cường độ điện trường xoáy trên đường sức này bằng $E_B \left(t\right)$.
Công do điện trường xoáy thực hiện trong việc di chuyển một đơn vị điện tích dương dọc theo đường bao kín của vòng chính là suất điện động cảm ứng, nó có giá trị bằng $$ \epsilon_{i}=2\pi r E_{B}(t) $$ Mặt khác, theo định luật cảm ứng điện từ, suất điện động cảm ứng trong mạch vòng là \begin{align} \epsilon_{i}&=-\frac{d \Phi}{d t}\\&=-\pi r^{2} \frac{d B(t)}{d t} \end{align} trong đó $Ф$ là từ thông xuyên qua mạch vòng. Bằng hai biểu thức suất điện động cảm nưgs, ta thu được \begin{align} dF_{j}&=E_{B}(t) \frac{Q}{2 \pi r} r d \varphi_{j} \\&=-\frac{Q}{4 \pi} \frac{d D(t)}{d t} r d \varphi_{j} \end{align} Tổng lực tác dụng tại một thời điểm nhất định lên toàn bộ vòng bằng \begin{align} F&=\sum_{j=1}^{N} d F_{j}\\&=-\frac{Qr}{4 \pi} \frac{d B(t)}{d t} \sum_{j=1}^{N} d \varphi_{j}\\&= -\frac{Q r}{2} \frac{d B(t)}{d t} \end{align} Trong thời gian $\Delta t$, xung lực tác dụng lên vòng theo chu vi sẽ dẫn đến động lượng vòng thay đổi: $$ F \Delta t=m \Delta v $$ từ đó ta nhận được \begin{align} \Delta v&=\frac{F}{m} \Delta t\\&=-\frac{Q r}{2 m} \Delta B \end{align} (chúng tôi đã tính đến $B\prime\left(t\right)\Delta t=\Delta B$). Một thay đổi nhỏ trong vận tốc góc của vòng là \begin{equation} \Delta \omega=\frac{\Delta v}{r}=-\frac{Q}{2 m} \Delta B \end{equation} Trong đó $$\Delta \omega=\omega-0=\omega$$ $$\Delta B=0-B_0=-B_0$$ Và cuối cùng là $$\omega = \frac{QB_0}{2m}$$
Bài toán cơ điện 5. Thanh dẫn trượt trên ray trong từ trường
Hai thanh ray dẫn điện thẳng đứng đặt cố định cách nhau một khoảng $l$ trong trọng trường $\vec{g}$. Đầu trên của hai thanh ray nối với nhau bằng một cuộn dây cảm thuần độ tự cảm $L$. Một thanh dẫn khối lượng $m$ có thể trượt không ma sát dọc theo đường ray. Hệ thống được đặt trong một từ trường đều nằm ngang, vuông góc với mặt phẳng đường ray, cảm ứng từ $B$ như hình vẽ. Ban đầu, thanh dẫn được giữ nằm ngang tiếp xúc với đường ray. Thả nhẹ để thanh dẫn trượt trên ray. Xác định độ dịch chuyển lớn nhất của thanh dẫn so với vị trí ban đầu. Bỏ qua lực cản của không khí và điện trở các vật dẫn trong hệ.
Trước hết là quy ước các chiều dương cho cơ và điện: Chiều dương của chuyển động là trục $Oz$ hướng từ trên xuống dưới, gốc $O$ tại vị trí ban đầu của thanh dẫn. Chiều dương của dòng điện ngược chiều kim đồng hồ (hình vẽ).
Tại thời điểm $t$, thanh dẫn ở tọa độ $z$ và có vận tốc $v=\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$, dòng điện trong mạch là $I_z$, suất điện động cảm ứng trên thanh là
\begin{equation}
\epsilon_{i}=v_{z} B l
\end{equation}
Suất điện động tự cảm trong cuộn dây
$$
\epsilon_{s}=-L \frac{d I_{z}}{d t}
$$
Trong trường hợp không có điện trở thuần, tổng đại số của suất điện động trong một mạch kín bằng không:
$$
\begin{aligned}
&Bl \frac{d z}{d\ t}-L \frac{d I_{z}}{d t}=0 \\
&\frac{d}{d t}\left(B l z-LI_{z}\right)=0
\end{aligned}
$$
Lời giải cho phương trình này có dạng
$$Blz-LI_z=\text{const}$$
Đó là các phương trình về điện. Bây giờ ta xét các phương trình về cơ.
Có hai lực tác dụng lên thanh dẫn. Trọng lực $mg$ và lực Ampere từ phía của từ trường ngoài bằng $F_A\ =\ BI_z\ l$. Ta viết phương trình chuyển động của thanh dẫn dọc theo trục $z$:
$$
m\ \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=m g-B I_{z}
$$
Sau khi thay thế biểu thức cho $I_z$ ta được
$$
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}+\frac{B^{2} l^{2}}{m L} z=g
$$
Phương trình này mô tả các dao động điều hòa của thanh dẫn. Ở vị trí $z=\frac{mgL}{\left(Bl\right)^2}$ gia tốc của thanh dẫn bằng $0$ và giá trị của $z$ bằng biên độ của dao động. Và độ lệch của thanh rõ ràng là bằng gấp đôi biên độ, vì vậy
$$
z_{\max }=\frac{2 m g l}{B^{2} l^{2}}
$$
Kết quả này cũng có thể nhận được từ định luật bảo toàn năng lượng. Hãy thử tự làm nhé.
Bài toán cơ điện 6. Máy phát điện thủy động
Trong sơ đồ đơn giản nhất của máy phát điện thủy động, một tụ điện phẳng có diện tích bản $S$ và khoảng cách giữa chúng là $d$ được đặt trong dòng chất lỏng dẫn điện có điện trở suất $\rho$, chuyển động với vận tốc $v$ không đổi song song với các bản tụ. Tụ điện đặt trong từ trường đều, có cảm ứng từ bằng $B$ và hướng vuông góc vận tốc dòng chảy và song song với các bản tụ điện (hình vẽ). Tìm nhiệt năng có ích toả ra ở tải ngoài dưới dạng một điện trở $R$. Bỏ qua các hao phí có thể có.
Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn quá trình thiết lập trạng thái dừng - khi một dòng điện một chiều chạy qua điện trở.
Ngay sau khi chất lỏng dẫn điện bắt đầu chảy giữa các bản của tụ điện, từ trường bên ngoài bắt đầu tác dụng lực Lorentz lên các điện tích tự do của chất lỏng. Các điện tích dương bắt đầu di chuyển đến bản trên của tụ điện và các điện tích âm chuyển động xuống đáy. Hiệu điện thế nảy sinh giữa các bản của tụ điện, dẫn đến sự xuất hiện của dòng điện qua điện trở $R$. Đồng thời, điện trường xuất hiện bắt đầu cản trở sự chuyển động của các điện tích tự do của chất lỏng đến các bản tụ. Kết quả là sau một thời gian, trạng thái tĩnh được thiết lập: điện tích từ chất lỏng đến mỗi bản trong một đơn vị thời gian bằng cường độ dòng điện chạy qua điện trở. Nói cách khác, một dòng điện không đổi bắt đầu chạy trong mạch điện trở. Chúng ta biểu thị nó bằng $I$.
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu suất điện động duy trì dòng điện trong mạch là gì. Theo định nghĩa, suất điện động bằng hiệu điện thế trên các bản tụ điện khi mạch ngoài hở. Điều kiện để dòng điện không có bên trong tụ điện là lực điện cân bằng với lực Lorentz, suy ra $E\ =\ vB$, trong đó $E$ là cường độ điện trường. Hiệu điện thế giữa các tấm là
$$\epsilon=Ed=vBd$$
Đây là độ lớn của suất điện động trong mạch kín. Ta có thể vẽ một mạch điện tương đương như hình dưới đây, trong đó $r$ là điện trở trong của nguồn: $r = \frac{\rho d}{S}$.
Rõ ràng, cường độ dòng điện trong đoạn mạch đó bằng \begin{align} I&=\frac{\delta}{R+r}\\&=\frac{v B d}{R+\rho d/S} \end{align} và công suất tiêu thụ trong điện trở là \begin{align} P_{R}&=I^{2}R\\&=\frac{(vB d)^{2} R}{(R+\rho d /S)^{2}}\\&=\frac{\left(vBd\right)^{2}}{R\left(1+\rho d/\left(SR\right)\right)^{2}} \end{align} Để tính hiệu suất của máy phát điện, cần tìm công suất của ngoại lực làm phát động máy phát điện. Rõ ràng là công của ngoại lực được thực hiện để di chuyển chất lỏng giữa các bản của tụ điện. Vì một dòng điện $I$ chạy qua chất lỏng, các hạt tải điện, và do đó là chất lỏng giữa các tấm, chịu tác dụng của lực Ampere $F_A\ =\ BId$, lực này có hướng chống lại chuyển động của chất lỏng lỏng. Đối với một chất lỏng lỏng chảy đều thì phải tác dụng lên nó một ngoại lực bằng lực Ampere và hướng theo vận tốc dòng chảy. Công suất của lực này là \begin{align} P&=F_{\mathrm{A}} v\\&=B I d v\\&=\frac{\left(v B d\right)^{2}}{R\left(1+\rho d /\left(S R\right)\right)} \end{align} và hiệu suất máy phát điện là \begin{align} \eta&=\frac{P_{R}}{P}\\&=\frac{1}{1+\rho d /\left(SR\right)} \end{align} Như các bạn thấy, hiệu suất của máy phát điện được xác định bằng tỷ số giữa điện trở thuần của chất lỏng và điện trở mạch ngoài. Khi tỷ lệ này có xu hướng bằng không, hiệu suất có xu hướng lớn nhất.
Các bài toán cơ điện tự giải
Bài 1
Ba quả cầu tích điện giống hệt nhau, mỗi quả có điện tích $q$ và khối lượng $m$, được nối với nhau bằng hai sợi chỉ không dãn có chiều dài như nhau và bằng $l$. Ba quả cầu nằm yên trên một mặt phẳng nằm ngang. Cấp cho quả cầu ở giữa một vận tốc ban đầu $v_0$ theo phương ngang vuông góc với các sợi chỉ. Để các quả cầu có thể tạo thành tam giác đều trong quá trình chuyển động tiếp theo thì $v_0$ phải bằng có độ lớn tối thiểu bằng bao nhiêu? Bán kính của các quả bóng nhỏ so với chiều dài của sợi chỉ.
Bài 2
Một lưỡng cực điện gồm hai điện tích điểm $+\ q$ và $-q$ được nối cứng đặt cách nhau một khoảng $l$, bay qua một tụ điện phẳng, các bản của chúng được nối với hai cực một nguồn điện có suất điện động không đổi $\epsilon$ (hình vẽ). Xác định tốc độ của lưỡng cực tại tâm tụ điện nếu biết vận tốc của nó khi rời tụ điện bằng $v_0$. Khoảng cách giữa các bản tụ điện là $d$. Khối lượng của lưỡng cực là $m$.
Bài 3
Trên mặt phẳng nằm ngang có một vòng dây bán kính $r$. Điện trở của vòng dây $R$. Vòng dây nằm trong từ trường đều có cảm ứng từ bằng $B_0$ và hướng vuông góc với mặt phẳng vòng. Cảm ứng từ của từ trường bắt đầu giảm dần theo thời gian theo định luật $B\left(t\right)=B_0\ – At$, với $A$ là hằng số. Lực căng cực đại của vòng dây là bao nhiêu do tương tác của dòng điện trong vòng với từ trường ngoài? Bỏ qua hiện tượng tự cảm của vòng.
Bài 4
Trên đường ray dẫn điện thẳng đứng, khoảng cách giữa các thanh ray bằng $l$, một dây thanh dẫn khối lượng $m$ có thể trượt không ma sát trên ray (như hình vẽ của Bài toán cơ điện 5). Tại thời điểm ban đầu, thanh dẫn được giữ tiếp xúc với ray, và sau đó thả nhẹ và thanh dẫn bắt đầu chuyển động xuống dưới với vận tốc ban đầu bằng không. Xác định cảm ứng của từ trường ngoài nếu biết rằng tốc độ cực đại mà thanh nhận được bằng $v_0$. Bỏ qua điện trở của hệ thống.
Không có nhận xét nào: