Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và giữa hai đầu cuộn cảm là bài toán xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi THPT Quốc gia, đề thi đại học, đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Cứ cho là học sinh đã được học và chỉ ngay ra được $U_{C_\text{max}}$ hay $U_{L_\text{max}}$ (điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ và điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai đầu cuộn cảm), và chỉ ra được khi nào thì $U_{C_\text{max}}$, $U_{L_\text{max}}$, nhưng để giải quyết được những vấn đề liên quan tiếp theo thì khá khó khăn và mất nhiều thời gian. Chưa nói đến việc đa số học sinh không nhớ được biểu thức tính $U_{C_\text{max}}$, $U_{L_\text{max}}$, rồi biểu thức điều kiện để xảy ra $U_{C_\text{max}}$, $U_{L_\text{max}}$. Mà có nhớ được thì việc áp dụng một vài công thức trong "bao la bát ngát những ý tưởng của người ra đề" là rất khó khăn. Tóm lại, bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ và gữa hai đầu cuộn cảm vẫn thường được xếp hạng mức độ vận dụng cao.
Tuy nhiên sau khi đọc xong bài viết này, chắc chắn ai cũng phải thừa nhận rằng bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản.

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản

Giải bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ và gữa hai đầu cuộn cảm bằng đạo hàm sẽ lâu hơn và kết quả khó áp dụng cho những bài toán tiếp theo

Bài toán như sau: Cho mạch điện xoay chiều $RLC$, trong đó điện dung $C$ có thể thay đổi được. Tìm $C$ để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. (Bài toán về $L$ biến thiên ta ta suy luận tương tự).
Bắt đầu thừ biểu thức tính điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện trong mạch RLC \begin{align} U_C&=IZ_C\\ &=\frac{U}{Z}Z_C\\ &=\frac{UZ_C}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}\\ &=\frac{U}{\sqrt{R^2\frac{1}{Z^2_C}+\left(\frac{Z_L}{Z_C}-1\right)^2}} \end{align} Đạo hàm biểu thức trong căn $$f\left(\frac{1}{Z_C}\right)=R^2\frac{1}{Z^2_C}+\left(\frac{Z_L}{Z_C}-1\right)^2$$ $$f'\left(\frac{1}{Z_C}\right)=\frac{2R^2}{Z_C}+2Z_L\left(\frac{Z_L}{Z_C}-1\right)\\ f'\left(\frac{1}{Z_C}\right)=0\\ \Rightarrow Z_C=\frac{R^2+Z_L^2}{Z_L}$$ Việc biến đổi này không khó, nhưng hơi dài và đòi hởi một chút kiên nhẫn. Nhưng tôi muốn nói đến kết quả chúng ta mới tìm được. Thứ nhất liệu học sinh có nhớ được nó cùng với bao nhiêu công thức khác hay không? Thứ hai, nếu nhớ được thì áp dụng nó cho các bài toán tiếp theo ra sao? Ví dụ như câu 33 đề minh họa 2022, khi đã có kết quả này rồi, ta phải tìm điện áp hiệu dụng cực đại trên $R$ như thế nào?
Thôi không dài dòng nữa, chúng ta sẽ giải bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ và gữa hai đầu cuộn cảm này bằng một lời giải tuyệt vời sau đây.

Giải bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm bằng giản đồ véc-tơ

Cũng bài toán như trên, với mạch điện $RLC$ như hình vẽ.

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản-sơ đồ mạch điện RLC

Ta vẽ giản đồ véc tơ một cách tổng quát

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản-Giản đồ véc tơ tổng quát

Trên giản đồ véc tơ, góc $\alpha$ không đổi, bởi vì $Z_L$ và $R$ không đổi. Ta áp dụng định lí hàm số sin \begin{align} \frac{U_C}{\sin{\beta}}=\frac{U}{\sin{\alpha}}\\ \Rightarrow U_C=\frac{U}{\sin{\alpha}}\sin{\beta} \end{align} Vì $U$ và $\sin{\alpha}$ không đổi nên $U_{C_\text{max}}$ khi $$\left(\sin{\beta}\right)_\text{max}=1\\ \beta=90^0$$ Tam giác $ABN$ vuông tại $A$. Điều này thật tuyệt vời, vì trong hình này, tất cả các tam giác đồng dạng với nhau. Hệ thức liên hệ giữa các cạnh của các tam giác đồng dạng không có gì đơn giản hơn.
, khi gặp bài toán tìm $C$ để $U_{C_\text{max}}$ hoặc tìm $L$ để $U_{L_\text{max}}$ thì ta chỉ cần vẽ giản đồ thành tam giác vuông như dưới đây:

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản-Giản đồ véc tơ là tam giác vuông

Bài viết này không không có mục đích nêu cách giải bài toán Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm, mà mục đích cao hơn là giới thiệu một công cụ tuyệt vời để giải một cách đơn giản các bài tập khó liên quan đến mạch điện xoay chiều có \(C\) thay đổi hoặc \(L\) thay đổi để \(U_C\) hoặc \(U_L\) cực đại. Sự đơn giản đó chính là bộ đôi tam giác vuông này. Thứ nhất, nó dễ nhớ hơn cái công thức $Z_C=\frac{R^2+Z_L^2}{Z_L}$ đã tìm được bằng đạo hàm. Thứ hai, bạn có thể lấy ra từ các tam giác đồng dạng này hàng đống biểu thức khác nữa, chúng rất tiện cho các bài toán ở cấp độ cao hơn.
Nào, bây giờ mới là bắt đầu...

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm và những bài toán liên quan

Bài toán 1. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại

Đặt vào hai đầu mạch $RLC$ một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi, cố định $R$ và $C$, thay đổi $L$. Khi $Z_L = 90\ \text{Ω}$ thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt cực đại, lúc đó tổng trở của mạch là $120\ \text{Ω}$. Tính tổng trở của mạch khi điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt cực đại.

$L$ thay đổi để $U_C$ đạt cực đại, khi đó hiện tượng cộng hưởng xảy ra $$Z_C = Z_L = 90\ \text{Ω}\\ R = Z = 120\ \text{Ω}$$ Khi $U_L$ đạt cực đại, ta áp dụng Hình a ở trên với các tam giác đồng dạng ABN và MAN $$\frac{AB}{AN} = \frac{MA}{MN}\\ \text{hay}\ \frac{Z}{R^2 + Z_C^2} = \frac{R}{Z_C}$$ \begin{align} \Rightarrow Z &= \frac{R}{Z_C}\sqrt{R^2 + Z_C^2}\\ &= \frac{120}{90}\sqrt{120^2 + 90^2}\\ &= 200\ \text{Ω} \end{align}

Bài toán 2. Điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại

Mạch điện AB gồm AM chứa điện trở thuần không đổi, MN chứa cuộn dây cảm thuần có độ tự cảm không đổi và NB chứa tụ điện có điện dung thay đổi được. Đặt vào hai đầu AB điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng $U = 100\ \text{V}$ và tần số không đổi. Điều chỉnh điện dung của tụ điện để điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt cực đại. Khi đó điện áp tức thời trên đoạn AN có biểu thức $u_\text{AN} = 100\sqrt{6}\cos{\left(100\pi t + \frac{\pi}{6}\right)}\ \text{V}$. Tính điện áp hiệu dụng trên tụ điện và viết biểu thức điện áp tức thời hai đầu cuộn cảm khi đó.

Ý thứ nhất, ta tính điện áp hiệu dụng trên tụ điện như sau: Từ Hình b, ta xét tam giác vuông ABN để rút ra \begin{align} NB& = AB^2 + NA^2\\ \text{hay}\ U_C&= \sqrt{U^2 + U^2_\text{AN}}\\ &= \sqrt{100^2 + \left(100\sqrt{3}\right)^2}\\ &= 200\ \text{V} \end{align} Ý thứ hai, ta phải lập biểu thức điện áp tức thời trên cuộn dây \begin{align} \frac{U_L}{U_\text{AN}} & = \frac{U_\text{AN}}{U_C}\\ U_L& = \frac{U_\text{AN}^2}{U_C}\\ &= \frac{\left(100\sqrt{3}\right)^2}{200}\\ &= 150\ \text{V} \end{align} Đặt góc $\hat{ANB} = α$ thì \begin{align} \tan{α}& = \frac{U}{U_\text{AN}}\\ &= \frac{100}{100\sqrt{3}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\\ α &= \frac{\pi}{6} \end{align} Như vậy $u_L$ nhanh pha hơn $u_\text{AN}$ một góc $α = \frac{\pi}{6}$, phương trình cần tìm là \begin{align} u_L &= 150\sqrt{2}\cos{\left(100\pi t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right)}\\ &= 150\sqrt{2}\cos{\left(100\pi t + \frac{\pi}{3}\right)}\ \text{V} \end{align}

Bài toán 3. Điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại

Trong mạch $RLC$ có $R$ và $L$ không đổi. Đặt hai đầu mạch vào điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và thay đổi điện dung $C$ của tụ điện. Khi dung kháng của tụ điện có các giá trị $70\ \text{Ω}$ và $110\ \text{Ω}$ thì điện áp hiệu dụng trên cuộn dây có cùng giá trị. Khi dung kháng bằng $120\ \text{Ω}$ thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt cực đại và biểu thức điện áp tức thời trên tụ điện là $u_C = 220\sqrt{2}\cos{\left(100\pi t + \frac{\pi}{2}\right)}\ \text{V}$, biểu thức điện áp tức thời trên đoạn mạch chỉ có $R$ và $L$ là
A. $u_{RL} = 110\sqrt{6}\cos{\left(100\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)}\ \text{V}.$
B. $u_{RL} = 110\sqrt{3}\cos{\left(100\pi t + \frac{4\pi}{3}\right)}\ \text{V}.$
C. $u_{RL} = 110\sqrt{6}\cos{\left(100\pi t - \frac{4\pi}{3}\right)}\ \text{V}.$
D. $u_{RL} = 110\sqrt{3}\cos{\left(100\pi t + \frac{\pi}{3}\right)}\ \text{V}.$

Đầu tiên, ta giải quyết cái ý: Khi dung kháng của tụ điện có các giá trị $70\ \text{Ω}$ và $110\ \text{Ω}$ thì điện áp hiệu dụng trên cuộn dây có cùng giá trị. Ý này nên giải quyết bằng cách áp dụng định lí Viet (tham khảo ở đây: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VIET CHO CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ)
Ta đưa biểu thức tính $U_L$ về dạng phương trình bậc hai biến $Z_C$ \begin{align} U_C&=IZ_L\\ &=\frac{UZ_L}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}\\ \end{align} $$Z_C^2-2Z_LZ_C+R^2+Z_L^2\left(1-\frac{U^2}{U_L^2}\right)=0$$ Định lí Viet cho các hệ số $a=1$, $b=-2Z_L$, $c=R^2+Z_L^2\left(1-\frac{U^2}{U_L^2}\right)$ như sau: $$Z_{C_1}+Z_{C_2}=-\frac{-2Z_L}{1}$$ \begin{align} Z_L&=\frac{Z_{C_1}+Z_{C_2}}{2}\\ &=\frac{70+110}{2}\\ &=90\ \text{Ω} \end{align} Bây giờ, ta sẽ xét đến tình huống: Khi dung kháng bằng $120\ \text{Ω}$ thì điện áp hiệu dụng trên tụ điện đạt cực đại và biểu thức điện áp tức thời trên tụ điện là $u_C = 220\sqrt{2}\cos{\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right)}\ \text{V}$.
Chẳng cần suy nghĩ gì, vẽ ngay tam giác vuông như Hình b ở trên.

Điện áp hiệu dụng cực đại giữa hai bản tụ điện và gữa hai đầu cuộn cảm thật là đơn giản-Bài toán 3

Tại đây ta đã có $Z_C=NB=120\ \text{Ω}$, $Z_L=MN=90\ \text{Ω}$, bằng hệ thức các tam giác đồng dạng tính được $Z_{RL}=AN$ để suy ra $U_{RL}$, góc lệch pha so với $u_C$ là $\left(\vec{AN},\vec{NB}\right)=\pi-\alpha$ từ đó viết phương trình $u_{RL}$. Trình tự như sau: \begin{align} \frac{Z_{RL}}{90}&=\frac{120}{Z_{RL}}\\ Z_{RL}&=\sqrt{120\times90}\\ &=60\sqrt{3}\ \text{Ω} \end{align} Điện áp hiệu dụng trên đoạn mạch $RL$ là \begin{align} U_{RL}&=IZ_{RL}\\ &=\frac{U_C}{Z_C}\times Z_{RL}\\ &=\frac{220}{120}\times60\sqrt{3}\\ &=110\sqrt{3}\ \text{V}\\ \cos{\alpha}&=\frac{Z_{RL}}{Z_C}\\ &=\frac{60\sqrt{3}}{120}\\ &=\frac{sqrt{3}}{2}\\ \alpha&=\frac{\pi}{6} \end{align} Điện áp $u_{RL}$ (ứng với $\vec{AN}$) nhanh pha hơn điện áp giữa hai bản tụ $u_C$ (ứng với $\vec{NB}$) một góc $$\pi-\alpha=\frac{5\pi}{6}$$ Phương trình điện áp tức thời trên đoạn mạch $RL$ là \begin{align} u_{RL}&=110\sqrt{3}\sqrt{2}\cos{\left(100\pi t+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}\right)}\\ &=110\sqrt{6}\cos{\left(100\pi t+\frac{4\pi}{3}\right)}\ \text{V} \end{align} Đến đây ta đối chiếu với những phương án đưa ra của câu hỏi, thì thấy pha ban đầu không trùng với phương án nào. Với giá trị một góc nào đó, hãy bình tĩnh xem lại bằng đường tròn lượng giác nhé. Rõ ràng điểm pha ứng với cung $\frac{4\pi}{3}$ trùng với $-\frac{2\pi}{3}$. Tức là phương án A là phương án đúng.

Không có nhận xét nào: