Bài tập vật lý 12: Phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn - Giải chi tiết

Các bạn xem đề tại đây

Câu 1. Liên hệ giữa biên độ dài và biên độ góc trong dao động điều hòa của con lắc đơn

Biên độ dài $A$ và biên độ góc $\alpha_\mathrm{m}$ liên hệ $$A=\alpha_{\mathrm{max}}\ell$$

Câu 2. Liên hệ giữa li độ dài và li độ góc trong dao động điều hòa của con lắc đơn

Li độ góc $\alpha$ và li độ dài $x$ tỉ lệ với nhau nên $$\frac{x}{A}-\frac{\alpha}{\alpha_m}=0$$

Câu 3. Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa

Dao động điều hòa của con lắc đơn không phụ thuộc khối lượng $m$.

Câu 4. Tìm độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa

Độ lệch pha giữa hai dao động được xác định bằng độ lệch pha giữa hai đại lượng cùng loại (giữa hai li độ, hai vận tốc, hai gia tốc …). Ở đây ta tính độ lệch pha giữa hai vận tốc. $$v_1=20\pi\cos{\left(\pi t+\frac{\pi}{3}\right)}\ \mathrm{cm/s}\\ \alpha_2=0,1\cos{\left(\pi t+\frac{2\pi}{3}\right)}\\ \Rightarrow v_2=v_{\mathrm{m}_2}\cos{\left(\pi t+\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)}\\ \Delta\varphi=\left|\varphi_1-\varphi_2\right|=\left|\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\right|=\frac{5\pi}{6}$$ Ngoài ra, nếu dùng đường tròn pha thì nhanh và đỡ nhầm lẫn hơn (Ở clip sẽ giới thiệu).

Câu 5. Liên hệ giữa biên độ dài và biên độ góc và tốc độ cực đại trong dao động điều hòa của con lắc đơn

Biên độ góc của con lắc đơn $$\alpha_\mathrm{m}=\frac{A}{\ell}=A\frac{\omega^2}{g}=\frac{\left(A\omega\right)^2}{Ag}=\frac{v_\mathrm{m}^2}{Ag}$$

Câu 6. Đồ thị liên hệ sự phụ thuộc của vận tốc dài vào li độ góc trong dao động điều hòa của con lắc đơn

Li độ và vận tốc vuông pha, nên phương trình liên hệ là $$\left(\frac{v}{v_\mathrm{m}}\right)^2+\left(\frac{\alpha}{\alpha_\mathrm{m}}\right)^2=1$$ Thay các điểm ($\alpha_1=-0\text{,}096$; $v_1=10\text{,}08$) và ($\alpha_2=0\text{,}072$; $v_2=-13\text{,}44$) vào ta được hệ phươn trình $$ \left\{\begin{array}{l} \left(\frac{10\text{,}08}{v_{\mathrm{m}}}\right)^{2}+\left(\frac{-0\text{,}096}{\alpha_{\mathrm{m}}}\right)^{2}=1 \\ \left(\frac{-13\text{,}44}{v_{\mathrm{m}}}\right)^{2}+\left(\frac{0\text{,}072}{\alpha_{\mathrm{m}}}\right)^{2}=1 \end{array}\right. $$ Nếu đặt các ẩn $x=\left(\frac{1}{v_\mathrm{m}}\right)^2$ và $y=\left(\frac{1}{\alpha_\mathrm{m}}\right)^2$ thì có thể bấm máy và suy ra ngay $$x=\frac{25}{7056};y=\frac{625}{9}$$ $$⇒v_\text{m}=16\text{,}8\ \text{cm/s}; α_\text{m}=0\text{,}12\ \text{rad}$$ Biên độ dài có trong $v_\mathrm{m}$ và $\alpha_\mathrm{m}$ $$v_\mathrm{m}=\omega A$$ $$\alpha_\mathrm{m}=\frac{A}{\ell}=\frac{A\omega^2}{g}$$ Suy ra $$\frac{v_\mathrm{m}^2}{\alpha_\mathrm{m}}=gA\\ A=\frac{0\text{,}{168}^2}{9\text{,}8\times0\text{,}12}=0\text{,}024\ \mathrm{m}$$

Câu 7. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn

Theo mô tả thì khi $t=0$ $$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{0}=0,036\ \mathrm{rad} \\ v_{0}=-12 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} \end{array}\right. $$ Áp dụng phương trình liên hệ $$A=\sqrt{\left(\alpha_0\ell\right)^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}\\ \ell=\frac{g}{\omega^2}=\frac{10}{3^2}=\frac{10}{9}\ \mathrm{m}\\ A=\sqrt{\left(0,036\times\frac{10}{9}\right)^2+\left(\frac{0,12}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt2}{25}\ \mathrm{m}\\ v_{\mathrm{max}}=\omega A=\frac{3\sqrt2}{25}\ \mathrm{m/s}\\ \frac{v_0}{v_{\mathrm{max}}}=\frac{1}{\sqrt2}$$ Vẽ đường tròn dễ dàng xác định được điểm $P_0$ tại $$\varphi=\frac{\pi}{4}\\ x=4\sqrt2\cos{\left(3t+\frac{\pi}{4}\right)\mathrm{cm} }$$

Câu 8. Từ độ thị vận tốc - thời gian suy ra phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn

Vẽ đường tròn pha $$\Delta\varphi=\frac{\pi}{3}\\ \omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{\frac{\pi}{3}}{0\text{,}3}=\frac{10\pi}{9}\ \mathrm{rad/s}\\ s=2\left(A-\frac{A\sqrt3}{2}\right)=0\text{,}028\ \mathrm{m}\\ \Rightarrow A=0\text{,}1\ \mathrm{m}\\ \alpha_\mathrm{m}=\frac{A}{\ell}=\frac{A\omega^2}{g}=0\text{,}13\ \mathrm{rad}$$ Phương trình li độ góc $$\alpha=0\text{,}13\cos{\left(\frac{10\pi}{9}t-\frac{\pi}{2}\right)}\ \mathrm{rad}$$

Câu 9. Lập phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn có vật nhỏ tích điện trong điện trường đều

Vị trí cân bằng khi điện trường là có cường độ $E$ ứng với góc lệch $\theta$ $$\tan{\theta}=\frac{qE}{mg}=1\\ \theta={45}^0$$ Vị trí cân bằng khi điện trường giảm xuống còn $E^\prime$ là $\theta^\prime$ $$\tan{\theta^\prime}=\frac{qE^\prime}{mg}=0\text{,}8\\ \theta^\prime={38\text{,}66}^0$$ Tại vị trí $\theta$ vận tốc vật bằng 0 nên đó là biên, tức là vật dao động quanh vị trí cân bằng $\theta^\prime$ với một biên là vị trí cân bằng $\theta$, biên độ góc là $$\alpha_\mathrm{m}=\theta-\theta^\prime=0\text{,}11\ r\mathrm{ad}$$ Đề bài đã chọn $t=0$ lúc đột ngột giảm điện trường, lúc đó vật ở biên dương, nên $\varphi=0$. Còn tần số góc ta chú ý ngoại lực, nên nó là $$\omega^\prime=\sqrt{\frac{g^\prime}{l}}=\sqrt{\frac{\sqrt{g^2+\left(\frac{qE^\prime}{mg}\right)^2}}{l}}=4\text{,}0\ \mathrm{rad/s}$$ Phương trình dao động $$\alpha=0\text{,}11\cos{\left(4t\right)}$$

Câu 10. Đồ thị li độ góc - thời gian của con lắc đơn vướng đinh

Từ đồ thị tha thấy $$\alpha_{\mathrm{m}_1}=0\text{,}08\\ \alpha_{\mathrm{m}_2}=0\text{,}15$$ Chú ý rằng, ở biên thì động năng bằng không, cơ năng bằng thế năng cực đại. Do cơ năng không đổi khi dây vướng đinh nên độ cao của vật ở hai biên bằng nhau $$h_1=h_2\\ \ell_1\alpha_1^2=\ell_2\alpha_2^2\\ \frac{\ell_1}{\ell_2}=\left(\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\right)^2$$ Mặt khác $\frac{\ell_1}{\ell_2}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$ suy ra $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{\alpha_{m_1}}{\alpha_{m_2}}\Rightarrow T_2=\frac{0\text{,}08}{0\text{,}15}\times T_1$$ Trên đồ thị $$t_1=\frac{T_1}{4}\\ t_2=\frac{T_2}{2}+\frac{T_1}{4}=\frac{1}{2}\frac{0\text{,}08}{0\text{,}15}\times T_1+\frac{T_1}{4}\\ =\left(2\times\frac{0\text{,}08}{0\text{,}15}+1\right)t_1$$ Hay $$t_2=0\text{,}93\ \mathrm{s}$$