Giải bài tập vật lý bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ

LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN


Giải bài tập vật lý bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Những bài toán vật lí có dấu hiệu gì thì nên giải bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

Nếu gặp bài toán có dạng sau đây:
Khi $x = x_1$ thì $y = y_1$, khi $x = x_2$ thì $y = y_2$. Tính $X$ và $Y$.
Trong đó $x$, $y$, $X$, $Y$ là các đại lượng vật lí nào đó.
Chúng ta hãy nghĩ ngay đến phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các bước thực hiện phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào khi tiếp cận một bài toán vật lí có dạng trên?

Bước 1: Xác định hiện tượng vật lý liên quan đến các đại lượng $x$ và $y$ mà bài toán đang đề cập đến.
Bước 2: Viết ngay ra các công thức, các phương trình vật lý liên hệ giữa $x$ và $y$.
Bước 3: Chọn một công thức tối ưu nhất và đưa phương trình có dạng tuyến tính sau:

$X.f(x)+Y.g(y)=C$

Trong đó $C$ là hằng số, $f(x)$ và $g(y)$ là các biểu thức chứa $x$ và $y$, $X$ và $Y$ là các hằng số vật lý hoặc một biểu thức chưa các hằng số vật lý chưa biết.
Bước 4: Thay các giá trị $x_1,x_2,y_1,y_2$ vào phương trình tuyến tính ở trên và được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $X$ và $Y$.

$\begin{cases} f(x_1).X+g(y_1).Y=C & \\ f(x_2).X+g(y_2).Y=C \end{cases}$

Bước 5: Dùng máy tính Casio giải nhanh hệ phương trình bậc nhất hai ẩn này.

Các ví dụ về giải toán vật lý bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1
Một vật chuyển động thẳng nhanh dần đều. Ở thời điểm $t = t_1 = 2\ \text{s}$ vật có vận tốc 3 m/s. Khi $t = t_2 = 5\ \text{s}$ vật có vận tốc 4,5 m/s. Tính gia tốc và vận tốc ban đầu của vật.

Phân tích và lời giải

Hai đại lượng cần tìm ở đây là gia tốc $a$ và vận tốc ban đầu $v_0$. Hiện tượng vật lí phải xét ở đây là hiện tượng chuyển động thẳng nhanh dần đều. Phương trình liên hệ $a$ và $v_0$ là

$v=at+v_0$

Phương trình này đã là phương trình tuyến tính, chúng ta không cần biến đổi gì thêm, mà thay ngay các giá trị $v$ và $t$ đã cho vào để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} 2a+v_0=3 & \\ 5a+v_0=4.5 \end{cases}$

Sử dụng máy tính Casio giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $x=a,y=v_0$, nhập các hệ số vào máy:

$a_1=1,b_1=1,c_1=3$
$a_2=5,b_2=1,c_2=4.5$

Enter và có ngay: $x=0.5$ và $y=2$, tức là

$a=0.5\ \text{m/s}^2,v_0=2\ \text{m/s}$


Ví dụ 2
Một chất điểm chuyển động thẳng nhanh dần đều. Kể từ thời điểm ban đầu: khi chất điểm đi được quãng đường 10 m thì vận tốc nó là 5 m/s, khi chất điểm đi được quãng đường 29,5 m thì vận tốc của nó là 8 m/s. Tính gia tốc và vận tốc ban đầu của chất điểm.

Phân tích và lời giải

Cũng như ví dụ 1, hai ẩn cần tìm ở bài toán vật lý này là gia tốc $a$ và vận tốc ban đầu $v_0$. Hiện tượng vật lý vẫn là chuyển động thẳng nhanh dần đều. Tuy nhiên, các giá trị bài toán cho ở đây là quãng đường $s$ và vận tốc tức thời $v$ (không phải $v$ và $t$ như ví dụ 1), nên phương trình cần viết ra ở đây là

$v^2=2as+v_0^2$

Thay các giá trị $v$ và $s$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $(x=a,y=v_0^2)$:

$\begin{cases} 2×10×a+v_0^2=5^2 & \\ 2×29.5×a+v_0^2=8^2 \end{cases}$

Dùng máy tính Casio, bấm các hệ số

$a_1=2×10,b_1=1,c_1=5^2$
$a_2=2×29.5,b_2=1,c_2=8^2$

Kết quả rất nhanh là $x=1,y=5$, tức là

$a=1\ \text{m/s}^2,v_0=\sqrt{5}≈2.236\ \text{m/s}$


Ví dụ 3
Trong một điện trường đều cường độ $E_0$, cố định một điện tích điểm $Q$. Trên một đường sức điện của điện trường đều đi qua $Q$ có 3 điểm M, N, P cách $Q$ lần lượt 2 cm, 6 cm và 12 cm (hình vẽ). Cường độ điện trường tổng hợp tại M và N lần lượt là 50000 V/m và 10000 V/m. Tính cường độ điện trường tại P.

Điện tích điểm trong điện trường đều

Phân tích và lời giải

Bài toán vật lý này có thể viết lại cho đúng với dạng tổng quát như sau:
Nếu khoảng cách đến $Q$ bằng 2 cm thì cường độ điện trường tổng hợp bằng 50000 V/m, nếu khoảng cách đến $Q$ bằng 6 cm thì cường độ điện trường tổng hợp bằng 10000 V/m. Nếu khoảng cách đến $Q$ bằng 12 cm thì cường độ điện trường tổng hợp bằng bao nhiêu?
Đây chính là một bài toán vật lí có thể giải bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta phải viết được phương trình liên hệ giữa cường độ điện trường tổng hợp $E$ và khoảng cách $r$ đến điện tích điểm $Q$. Muốn có được phương trình liên hệ, chúng ta hãy phân tích hiện tượng vật lí.
Nhìn vào hình vẽ và đọc kĩ đề bài ta thấy, hiện tượng vật lí ở đây là sự chồng chất hai điện trường tại một điểm. Tại các điểm M, N, P đều có hai điện trường: $\vec{E}_0$ và $\vec{E}_Q$ ($\vec{E}_Q$ do điện tích điểm $Q$ gây ra, nó có độ lớn $E_Q=k\times\frac{Q}{r^2}$). Ta viết tổng quát

$\vec{E}=\vec{E}_0+\vec{E}_Q$

Vì $Q \gt 0$ nên cường độ điện trường $E_Q$ do $Q$ gây ra tại cả 3 điểm M, N, P cùng hướng với $\vec{E}_0$, tức là cường độ điện trường tổng hợp có độ lớn bằng

$E=E_0+k\times\frac{Q}{r^2}$

Thay các cặp giá trị $r=r_1=0.02\ \text{m},E=E_1=50000\ \text{V/m}$ và $r=r_2=0.06 \ \text{m},E=E_2=10000 \ \text{V/m}$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $x=E_0$ và $y=kQ$

$\begin{cases} E_0+\frac{1}{0.02^2}\times kQ=50000 & \\ E_0+\frac{1}{0.06^2}\times kQ=10000 \end{cases}$

Dùng máy tính Casio dễ dàng giải tìm được

$x=E_0=5000 \ \text{V/m},y=kQ=18$

Bây giờ ta tính được cường độ điện trường tổng hợp tại P

$E_P=5000+\frac{18}{0.12^2}$
$=6250 \ \text{V/m}$


Ví dụ 4
Cho mạch điện như hình vẽ. Một nguồn điện có suất điện động không đổi $E_0$ và điện trở trong không đổi, một nguồn điện có suất điện động $E$ thay đổi được và điện trở trong không đổi. Một điện trở không đổi $R_0$ và một biến trở $R$. Người ta thay đổi $E$ và $R$ sao cho hiệu điện thế hai đầu A, B không đổi. Khi $R = R_1 = 28\ \text{Ω}$ thì $E = E_1 = 12\ \text{V}$. Khi $R = R_2 = 35\ \text{Ω}$ thì $E = E_2 = 10.8\ \text{V}$. Nếu điều chỉnh biến trở đến $R = 42\ \text{Ω}$ thì phải điều chỉnh $E$ đến giá trị nào?

Mạch điện một chiều

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí mà bài toán này đề cập đến là dòng điện một chiều trong một mạch kín có hai nguồn mắc nối tiếp. Phương trình liên hệ $R$ và $E$ chính là định luật Ôm cho toàn mạch:

$I=\frac{E+E_0}{R+R_0+r_1+r_2}$

Ngoài ra, đọc kĩ đề ta còn thấy một chi tiết nữa rất quan trọng, đó là hiệu điện thế hai đầu A, B không đổi, ta đặt là $U$. Khi đó

$U=IR$
$=\frac{(E+E_0)R}{R+R_0+r_1+r_2}$

Để đưa về phương trình bậc nhất, ta tách $R$ và $E$ ra

$U=\frac{E+E_0}{1+\frac{R_0+r_1+r_2}{R}}$

Rồi gom các đại lượng chưa biết ($U, E_0, R_0, r_1, r_2$) thành hai cụm

$\frac{1}{R}×(R_0+r_1+r_2 )U+(U-E_0 )=E$

Hai cụm này ta đặt làm hai ẩn

$x=(R_0+r_1+r_2 )U,y=U-E_0$

Thay các giá trị $R_1, E_1$ và $R_2, E_2$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} \frac{1}{28}x+y=12 & \\ \frac{1}{35} x+y=10.8 \end{cases}$

Giải hệ phương trình này bằng máy tính Casio ta được

$x=168,y=6$

Bây giờ dễ dàng tính được $E$ với $R = 42\ \text{Ω}$

$E=\frac{1}{42}×168+6=10 \ \text{V}$


Ví dụ 5
Một thấu kính hội tụ tạo ảnh thật S’ của điểm sáng S đặt trên trục chính. Khi dời S lại gần thấu kính thêm 5 cm so với ban đầu thì ảnh dời 10 cm. Khi dời S ra xa thấu kính thêm 40 cm so với ban đầu thì ảnh dời 8 cm. Tính tiêu cự của thấu kính.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí trong bài toán này là: Khi dời vị trí của vật thì ảnh của nó qua thấu kính dời theo. Quy luật diễn ra hiện tượng này là
+ Vật và ảnh luôn chuyển động cùng chiều, tức là vật lại gần thấu kính thì ảnh thật ra xa thấu kính và ngược lại.
+ Công thức Niu-tơn:

$xy=f^2$

Trong đó $x$ là khoảng cách từ vật đến tiêu điểm vật, $y$ là khoảng cách từ ảnh đến tiêu điểm ảnh, $f$ là tiêu cự của thấu kính.
Bài toán nói đến độ dời ảnh và độ dời vật, ta đặt chúng lần lượt là $Δx$ và $Δy$. Với sự phân tích ở trên, ta có thể viết:

$(x±Δx)(y∓Δy)=f^2$

Để đưa phương trình này về dạng bậc nhất, ta phân tích

$xy±yΔx∓xΔy-ΔxΔy=f^2$

Ngay ở trên ta đã có $xy=f^2$, tức là

$±yΔx∓xΔy=ΔxΔy$

Thay các giá trị $Δx_1,Δy_1$ và $Δx_2,Δy_2$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} 10x-5y=5×10 & \\ -8x+40y=8×40 \end{cases}$

Giải hệ phương trình này bằng máy tính Casio ta được

$x=10 \ \text{cm},y=10 \ \text{cm}$

Suy ra

$f=\sqrt{xy}=10 \ \text{cm}$


Ví dụ 6
Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ độ cứng $k$ và vật nhỏ A có khối lượng $m$. Nếu treo thêm vào A một quả cân khối lượng 50 g thì chu kì dao động của con lắc là 1 s. Nếu thay quả cân 50 g bằng quả cân khối lượng 290 g thì chu kì của con lắc là 1,4 s. Tính $m$ và $k$.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí cơ bản trong bài toán này là sự phụ thuộc của chu kì dao động của con lắc lò xo vào tổng khối lượng vật treo vào nó $m + Δm$ và độ cứng $k$ của lò xo:

$T=2π\sqrt{\frac{m+Δm}{k}}$

Đưa về phương trình bậc nhất

$T^2\times\frac{k}{4π^2}-m=Δm$

Thay các cặp giá trị $T, Δm$ vào để có được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $x=\frac{k}{4π^2},y=m$:

$\begin{cases} 1^2 x-y=0.05 & \\ 1.4^2 x-y=0.29 \end{cases}$

Giải hệ phương trình này bằng máy tính Casio ta có nhanh kết quả

$x=0.25,y=0.2$

$m=y=0.2 \ \text{kg}$

$k=4π^2x\times≈10 \ \text{N/m}$


Ví dụ 7
Một sợi dây đàn hồi rất dài, căng ngang, trên dây có hai điểm M, N cách nhau 24 cm. Cho sóng cơ truyền trên sợi dây với bước sóng 48 cm, làm cho các phần tử sợi dây tại M và N dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với cùng biên độ. Khi phần tử tại M có li độ 2,4 cm thì phần tử tại N có tốc độ 216 cm/s. Khi phần tử tại M có li độ 1,8 cm thì phần tử tại N có tốc độ 288 cm/s. Xác định biên độ của sóng và tốc độ truyền sóng trên sợi dây.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí trong bài toán này là sóng cơ, mà cụ thể hơn là sự dao động điều hòa cùng biên độ, cùng tần số của hai phần tử. Bài toán đề cập đến mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của hai dao động này. Để có được phương trình liên hệ giữa chúng, ta phải tìm độ lệch pha dao động giữa hai phần tử

$Δφ=2π\frac{d}{λ}=2π\frac{24}{48}=π$

Tức là ngược pha nhau.
Nếu hai dao động điều hòa ngược pha nhau thì li độ của phần tử này vuông pha với vận tốc của phần tử kia, chúng có phương trình liên hệ

$\frac{x{_M^2}}{A^2} +\frac{v{_N^2}}{(ωA)^2} =1$

Ta cũng đưa về phương trình tuyến tính

$A^2-v{_N^2}\frac{1}{ω^2} =x{_M^2}$

Thay các cặp giá trị x_M và v_N vào ta được phương trình bậc nhất hai ẩn $x=A^2$ và $y=\frac{1}{ω^2}$

$\begin{cases} x-216^2 y=2.4^2 & \\ x-288^2 y=1.8^2 \end{cases}$

Bấm máy Casio ta có ngay

$x=9,y=6.94×10^{-5}$

$A=\sqrt{x}=3 \ \text{cm}$

$ω=\sqrt{\frac{1}{y}}=120 \ \text{rad/s}$

Tốc độ truyền sóng

$v=λf=λ \frac{ω}{2π}=4.8×\frac{120}{2π}=904.78 \ \text{cm/s}$


Với những bài tập vật lí ở mức độ thấp thì phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể xác định được ngay đại lượng vật lí cần tìm. Nhưng với những bài toán vật lí ở mức độ cao, phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ giải quyết được một phần của bài toán vật lí. Chúng ta phải kết hợp với nhiều phương pháp khác nữa. Như ở ví dụ 6 này, việc phân tích hiện tượng vật lí để đưa đến được phương trình bậc nhất là rất quan trọng. Những bài toán vật lí sau đây, chúng ta sẽ phân tích kĩ hơn về công việc này.


Ví dụ 8
Một máy phát điện xoay chiều một pha có 4 cặp cực, phần ứng có 8 cuộn dây hoàn toàn giống nhau, mỗi cuộn có 200 vòng. Khi từ thông qua mỗi vòng dây có độ lớn 1 mWb hoặc 0.6 mWb thì suất điện động của máy tương ứng là 200 V hoặc 256 V. Tính tốc độ quay của rôto.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí của bài toán này chính là hiện tượng cảm ứng điện từ trong máy phát điện xoay chiều một pha. Hai đại lượng được liên hệ với nhau trong đó là từ thông $ϕ$ và suất điện động cảm ứng $e$. Đây là hai đại lượng biến thiên điều hòa cùng tần số và vuông pha với nhau, nên công thức liên hệ là

$\frac{e^2}{E{_0^2}}+\frac{ϕ^2}{Φ{_0^2}}=1$

Yêu cầu của bài toán là tìm tốc độ quay $n$ của roto, nó trong công thức tần số

$f=np$

Mà tần số liên quan đến $ω=2πf$, còn $ω$ thì liên hệ với $E_0$ và $Φ_0$.
Nói tóm lại, phương trình trên đủ để giải bài toán này.
Với $e$ và $ϕ$ đã biết, thì $E_0$ và $Φ_0$ được đưa vào ẩn trong hệ phương trình. Nhưng chú ý rằng phương trình là bậc nhất nên phải đặt ẩn như sau: $x=\frac{1}{E{_0^2}}$ và $y=\frac{1}{Φ{_0^2}}$, khi đó phương trình tuyến tính là

$e^2 x+ϕ^2 y=1$

Thay các cặp giá trị của $e$ và $ϕ$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} 200^2 x+1^2 y=1 & \\ 256^2 x+0.6^2 y=1 \end{cases}$

Sử dụng máy tính Casio giải ra ngay

$x=1.25×10^{-5},y=0.5$

$E_0=\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{1}{1.25×10^{-5}}}=282.8\ \text{V}$

$Φ_0=\sqrt{\frac{1}{0.5}}=1.41\ \text{mWb}$

Đến đây còn một phần nữa rất quan trọng, nếu không để ý, bài toán sẽ bị giải sai. Vì công thức

$ω=\frac{E_0}{Φ_0}$

phải hiểu đúng là: trong đó $E_0$ và $Φ_0$ phải cùng của 1 vòng dây, hay cùng một cuộn dây hoặc cùng là của máy. Trong khi đề bài cho suất điện động của mỗi cuộn còn từ thông của mỗi vòng dây. Nên ta phải kí hiệu thật rõ ràng cho những đại lượng đã tìm được ở trên như sau:

$E_{0_\text{máy}}=8E_{0_\text{cuộn}}$

$=8×200E_{0_\text{vòng}}=7439.8\ \text{V}$

$Φ_{0_\text{vòng}}=1.41\ \text{mWb}$

$=1.41×10^{-3}\ \text{Wb}$

$2πnp=\frac{282.8}{8×200×1.41×10^{-3}}$

$=125.35\ \text{rad/s}$

$n=\frac{125.35}{2π×4}$

$≈5 \ \text{vòng/s}$


Ví dụ 9
Đặt vào hai đầu mạch điện $RLC$ một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số thay đổi được. Điều chỉnh tần số góc $ω$ và đo tổng trở $Z$ của mạch. Người ta thấy rằng, nếu tần số góc ở giá trị $ω = ω_1$ cho giá trị tổng trở bằng $Z$ thì sẽ có một giá trị khác của tần số góc là $ω = ω_2$ cũng cho tổng trở bằng $Z$. Đặt $Δω = |ω_1 – ω_2|$. Khi $Δω = 157.5\ \text{rad/s}$ thì $Z = 145\ \text{Ω}$, khi $Δω = 360\ \text{rad/s}$ thì $Z = 260\ \text{Ω}$. Tính $R$ và $L$.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lí trong bài toán này là sự phụ thuộc của tổng trở vào tần số điện áp. Biểu thức liên hệ được tất cả các đại lượng bài toán cho và các đại lượng bài toán hỏi là

$Z^2=R^2+(ωL-\frac{1}{ωC})^2$

Dấu hiệu của bài toán cũng khá rõ ràng, cần phải giải bài toán vật lí này bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ta phải sử dụng một công thức quen thuộc sau đây

$ω_1 ω_2=ω{_0^2}=\frac{1}{LC}$

Đưa phương trình về dạng sau

$Z^2=R^2+L^2 (ω-\frac{1}{ωLC})^2$

Khi $ω=ω_1$ thì

$Z^2=R^2+L^2 (ω_1-\frac{ω{_0^2}}{ω_1})^2$

$=R^2+L^2 (ω_1-ω_2 )^2$

Đến đây thì có thể đặt $x=R^2$, $y=L^2$ và có phương trình bậc nhất

$x+(Δω)^2 y=Z^2$

Thay các cặp giá trị $Δω$ và $Z$ vào ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} x+157.5^2 y=145^2 & \\ x+360^2 y=260^2 \end{cases}$

Lại sử dụng máy tính Casio giải nhanh ta được

$x=10000,y=\frac{4}{9}$

Tức là

$R=\sqrt{x}=100\ \text{Ω},L=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3} \ \text{H}$


Ví dụ 10
Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, ánh sáng được chiếu vào hai khe là ánh sáng đơn sắc. Ban đầu khoảng cách giữa hai khe là $a$, khoảng cách từ hai khe đến màn là $D$. Trong quá trình làm thí nghiệm, nếu cố định khoảng cách giữa hai khe đồng thời dịch chuyển tịnh tiến màn ra xa hai khe một khoảng $ΔD$ so với ban đầu, hoặc cố định màn đồng thời thay đổi khoảng cách giữa hai khe một khoảng $Δa$ so với ban đầu, thì khoảng vân trong hai trường hợp bằng nhau. Thí nghiệm cho thấy: nếu $ΔD = 0.50\ \text{m}$ thì $Δa = 0.160 \ \text{mm}$; nếu $ΔD = 0.56\ \text{m}$ thì $Δa = 0.175\ \text{mm}$. Tính $D$ và $a$.

Phân tích và lời giải

Hiện tượng vật lý trong bài toán này là hiện tượng giao thoa ánh sáng trong thí nghiệm Y-âng. Khoảng vân bằng nhau với hai cách dịch chuyển. Biểu thức phải viết ở đây là

$\frac{λ(D+ΔD)}{a}=\frac{λD}{a-Δa}$

Trong đó, do màn ra xa hai khe nên ta viết $D+ΔD$. Khi đó khoảng vân tăng nên vế còn lại phải viết là $a-Δa$.
Đă về phương trình tuyến tính:

$aD+aΔD-DΔa-ΔD.Δa=aD$

$ΔD×a-Δa×D=Δa×ΔD$

Bài toán cho các giá trị Δa và $ΔD$ nên ẩn ở đây là $x=a$ và $y=D$. Thay các cặp giá trị đã cho ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} 0.5x-0.16y=0.5×0.16 & \\ 0.56x-0.175y=0.56×0.175 \end{cases}$

Bấm nhanh máy tính Casio ta được

$x=0.8, y=2$

Tức là $a=0,8 \ \text{mm}$ và $D=2\ \text{m}.$


Ví dụ 11
Một mẫu đá được tìm thấy có chứa nhiều chất, trong đó có ${_{92}^{238}}\text{U}$ (là chất phóng xạ) và ${_{82}^{206}}\text{Pb}$. Trong đó chì là chất được tạo thành từ một chuỗi phóng xạ của ${_{92}^{238}}\text{U}$, với chu kì bán rã $4.47×10^9$ năm. Các chất khác trong mẫu đá là các chất bền (ta gọi là tạp chất). Tổng khối lượng mẫu đá khi tìm thấy là 5,848 g. Qua nghiên cứu, người ta biết được tuổi của mẫu đá là $2.8×10^9$ năm, và biết thêm rằng cách đây $1.2×10^9$ năm tổng khối lượng mẫu đá là 5,905 g. Giả sử ban đầu trong mẫu đá không có chì. Tính khối lượng tạp chất và khối lượng urani ban đầu.

Phân tích và lời giải

Bài toán có thể viết lại cho đúng với dạng tổng quát như sau: Ban đầu trong mẫu đá chỉ có khối lượng tạp chất $m’$ và khối lượng urani nguyên chất $m_0$. Sau thời gian $1.6×10^9$ năm khối lượng mẫu đá bằng 5,905 g, sau thời gian $2.8×10^9$ năm khối lượng mẫu đá là 5,848 g. Tính $m_0$ và $m’$.
Hiện tượng vật lý trong bài toán này là hiện tượng phóng xạ, ngoài công thức liên hệ những đại lượng đã cho

$m=m'+m_U+m_Pb$

Ta cần phải viết các công thức liên quan đến định luật phóng xạ

$m_U=m_0 2^{-\frac{t}{T}}$

$\frac{m_Pb}{m_U} =\frac{206}{238}(2^{\frac{t}{T}}-1)$

Gom 3 phương trình trên làm một

$m=m'+m_0 (\frac{206}{238}+\frac{16}{119}×2^{-\frac{t}{T}})$

Trong phương trình bậc nhất này $m, T$ và $t$ đã biết, ta đặt các ẩn $x=m',y=m_0$, thay các số liệu vào để có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\begin{cases} x+(\frac{206}{238}+\frac{16}{119}×2^{-\frac{1.6}{4.47}})y=5.905 & \\ x+(\frac{206}{238}+\frac{16}{119}×2^{-\frac{2.8}{4.47}})y=5.848 \end{cases}$

Đã có máy tính giải nhanh cho hệ phương trình này, nó cho ta

$x=2.8, y=3.2$

Tức là

$m'=2.8 \ \text{g}, m_0=32\ \text{g}$

Lời kết

Trên đây là 11 bài tập vật lý được giải bằng phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Không những chúng được sắp xếp từ dễ đến khó, mà kiến thức vật lý trong các bài toán được trải từ lớp 10 đến lớp 12. Tôi muốn nói rằng, phương pháp lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ áp dụng riêng cho phần kiến thức vật lý nào. Bất kì một bài tập vật lý có dấu hiệu như đã nêu ở phần đầu bài viết, chúng ta đều có thể suy nghĩ giải quyết theo hướng của phương pháp này.
Ý tưởng của bài viết và những bài toán trong bài viết này hoàn toàn do tôi "phịa" ra, thậm chí cả cái ảnh đại diện bài viết cũng do tôi chế ra. Nên chắc chắn không khỏi sai sót và dở hơi. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành các bạn.

Không có nhận xét nào: