Trong bài viết này, chúng ta sẽ dừng lại ở các bài toán trong đó hai khí lý tưởng chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái lúc sau bằng cách pha trộn vào nhau . Các bài toán dạng này thường gặp trong hai phần - trong các định luật chất khí và trong nhiệt động lực học . Nếu nhiệt độ ban đầu và lúc sau của các khí được cho trong điều kiện bài toán, thì trong lời giải chỉ sử dụng các định luật chất khí - phương trình trạng thái khí lý tưởng và định luật Dalton cho áp suất riêng phần . Còn nếu để xác định các thông số lúc sau cần đến định luật bảo toàn năng lượng, thì những bài toán đó thuộc về nhiệt động lực học .
Bài toán 1
Cần bơm không khí vào một bình chứa dung tích $10\text{ L}$ dưới áp suất bao nhiêu, để khi nối nó với một bình chứa dung tích $30\text{ L}$ đang chứa không khí ở áp suất $100\text{ kPa}$, thì áp suất chung được thiết lập là $200\text{ kPa}$? Biết nhiệt độ là không đổi .
Bài giải:
Bài toán này có thể được giải bằng hai cách - hoặc thông qua định luật Dalton, cho phép tách các khí ra và theo dõi sự thay đổi trạng thái của từng phần khí riêng biệt, hoặc thông qua phương trình trạng thái Mendeleev-Clapeyron và định luật bảo toàn lượng chất .
Cách 1. Áp suất lúc sau $p'$ bằng tổng các áp suất riêng phần lúc sau $p_1'$ và $p_2'$ của cả hai lượng không khí: $$ p' = p_1' + p_2' $$ mỗi áp suất riêng phần này liên hệ với áp suất ban đầu tương ứng bằng phương trình của quá trình đẳng nhiệt: $$ p_1 V_1 = p_1'(V_1 + V_2) $$ $$ p_2 V_2 = p_2'(V_1 + V_2) $$
Cộng hai phương trình cuối, có tính đến phương trình đầu tiên, ta nhận được: $$ p_1 V_1 + p_2 V_2 = p'(V_1 + V_2) $$ từ đó ta tìm được áp suất cần tính (phương trình 1): $$ p_1 = \frac{p'(V_1 + V_2) - p_2 V_2}{V_1} = 500\text{ kPa} $$
Cách 2. Hãy viết phương trình Mendeleev-Clapeyron cho hai trạng thái ban đầu và cho một trạng thái lúc sau: \begin{align} p_1 V_1 &= \nu_1 RT \\ p_2 V_2 &= \nu_2 RT \\ p'(V_1 + V_2) &= \nu' RT \quad (2) \end{align} Biểu diễn số mol tương ứng từ mỗi phương trình và thay vào định luật bảo toàn lượng chất $$ \nu_1 + \nu_2 = \nu' $$ chúng ta lại nhận được phương trình (1) .
Bài toán 2
Hai bình chứa cùng một loại khí lý tưởng được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa . Ban đầu khóa đóng, bình thứ nhất có dung tích 10 L, áp suất 180 kPa và nhiệt độ 300 K, bình thứ hai có dung tích 20 L, áp suất 150 kPa và nhiệt độ 200 K . Áp suất sẽ bằng bao nhiêu nếu mở khóa và thiết lập nhiệt độ trong các bình là 400 K?
Bài giải:
Bài toán này có thể được giải bằng bất kỳ cách nào trong hai cách đã mô tả ở bài toán trước . Trong cách thứ nhất, thông qua định luật Dalton, đối với mỗi khí không phải viết phương trình của quá trình đẳng nhiệt mà là định luật khí lý tưởng kết hợp . Trong cách thứ hai, cần đặt các nhiệt độ khác nhau vào ba phương trình trạng thái của hệ (2) . Dù giải theo cách nào, thay vì phương trình (1), chúng ta sẽ nhận được phương trình: $$ \frac{p_1 V_1}{T_1} + \frac{p_2 V_2}{T_2} = \frac{p'(V_1 + V_2)}{T'} \quad (3) $$ Thay các dữ liệu bằng số, ta tìm được áp suất thiết lập của hỗn hợp khí: $$ p' = 280 \text{ kPa} $$
Trong một số trường hợp, điều kiện bài toán được phát biểu sao cho nếu không viết phương trình trạng thái thì sẽ không thể giải được .
Bài toán 3
Hai bình chứa được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa . Trong một bình chứa khí có khối lượng 2 g dưới áp suất 400 kPa, trong bình kia chứa cùng loại khí đó với khối lượng 4 g dưới áp suất 200 kPa . Áp suất nào sẽ được thiết lập trong các bình nếu mở khóa? Nhiệt độ của khí trong hai bình là như nhau .
Bài giải:
Trong bài toán này không cho thể tích mà cho khối lượng của các khí . Để sử dụng phương trình (1), cần dùng phương trình Mendeleev-Clapeyron để tìm tỷ số thể tích $V_1 / V_2$ . Tuy nhiên, một cách tự nhiên hơn là viết lại các phương trình của hệ (2) dưới dạng: \begin{align} p_1 V_1 &= \frac{m_1}{M} RT \\ p_2 V_2 &= \frac{m_2}{M} RT \\ p'(V_1 + V_2) &= \frac{m_1 + m_2}{M} RT \end{align} rút $V_1$ và $V_2$ từ hai phương trình đầu và thay vào phương trình thứ ba . Ta nhận được: $$ p' \left( \frac{m_1}{p_1} + \frac{m_2}{p_2} \right) = m_1 + m_2 $$ từ đó ta tìm được $p'$ = 240 kPa .
Trong một số bài toán, thoạt nhìn việc sử dụng các phương trình Mendeleev-Clapeyron không phải là bắt buộc (trong điều kiện không đề cập đến khối lượng khí, cũng không đề cập đến khối lượng mol của chúng) . Tuy nhiên, sau khi phân tích kỹ, hóa ra là không có chúng thì không thể giải được bài toán .
Bài toán 4
Hai bình giống nhau được nối với nhau bằng một ống nhỏ . Hệ thống chứa đầy khí và đang ở nhiệt độ 27°C . Người ta tăng nhiệt độ của một bình thêm 33°C . Cần phải giảm nhiệt độ của bình kia đi bao nhiêu độ để áp suất trong hệ không thay đổi?
Bài giải:
Khi thay đổi nhiệt độ của các bình, sự cân bằng cơ học giữa các khí trong chúng luôn được duy trì, nghĩa là áp suất trong các bình này luôn luôn cân bằng nhau . Để cân bằng áp suất, khí từ bình bị nung nóng sẽ chuyển sang bình bị làm lạnh, và khi đến đó, nó sẽ nhận nhiệt độ của bình lạnh . Chính vì thế không thể theo dõi sự thay đổi trạng thái của từng phần khí riêng biệt . Tuy nhiên, cách tiếp cận dựa trên sự bảo toàn tổng lượng chất lại hoạt động hoàn hảo .
Hãy viết các phương trình Mendeleev-Clapeyron cho trạng thái ban đầu và cho hai trạng thái lúc sau: \begin{align} p \cdot 2V &= \nu RT \\ p' V &= \nu_1' R T_1' \\ p' V &= \nu_2' R T_2' \end{align} rút lượng chất từ các phương trình trên và thay vào phương trình bảo toàn $$ \nu = \nu_1' + \nu_2' $$ Ta nhận được: $$ \frac{2p}{T} = \frac{p'}{T_1'} + \frac{p'}{T_2'} $$ Vì theo điều kiện $p' = p$, nên: $$ T_2' = \frac{T T_1'}{2T_1' - T} = 273 \text{ K} $$ tức là bình thứ hai cần được làm lạnh đi 27 K (hay 27°C) .
Xếp vào nhóm các bài toán về pha trộn khí cũng có thể kể đến những bài toán trong đó, ở những điều kiện nhất định, xảy ra sự phân ly một phần của chất khí .
Bài toán 5
Khi tăng nhiệt độ của khí nitơ chứa trong một bình kín từ 7°C lên 1407°C, một phần ba số phân tử nitơ đã phân ly thành các nguyên tử . Hỏi khi đó áp suất của khí đã tăng lên gấp bao nhiêu lần?
Bài giải:
Khi phân ly, một phần ba khối lượng nitơ đã biến thành khí đơn nguyên tử, tức là thành một chất khí có khối lượng mol nhỏ hơn một nửa so với khí lưỡng nguyên tử . Ta viết các phương trình trạng thái cho khí ban đầu và cho từng thành phần của hỗn hợp được tạo thành: \begin{align} pV &= \frac{m}{M} RT \\ p_1' V &= \frac{2m/3}{M} R T' \\ p_2' V &= \frac{m/3}{M/2} R T' \end{align} Cộng hai phương trình cuối và lưu ý rằng theo định luật Dalton: $$ p_1' + p_2' = p' $$ ta thu được: $$ p'V = \frac{4m}{3M} R T' $$ hoặc $$ \frac{p'}{p} = \frac{4}{3}\frac{T'}{T} = 8 $$
Tuy nhiên, nếu sử dụng dạng phương trình trạng thái $pV = \nu RT$ và hiểu rằng $\nu$ tương ứng với tổng lượng khí lý tưởng, bất kể thành phần và loại phân tử, thì không khó để nhận ra rằng tổng số phân tử đã tăng lên một phần ba, nghĩa là $\nu' = \frac{4}{3}\nu$ và ta sẽ ngay lập tức nhận được đáp án .
Tiếp nối các bài toán này một cách tự nhiên là các bài toán về sự thay đổi trạng thái của không khí ẩm . Quả thực, các bài toán về độ ẩm theo truyền thống thuộc về nhiệt động lực học, nhưng chúng được giải quyết hoàn toàn bằng các định luật chất khí, có tính đến thực tế là áp suất của hơi nước không thể vượt quá áp suất của hơi bão hòa ở nhiệt độ cho trước .
Bài toán 6
Trong một bình kín ở nhiệt độ $100^\circ\text{C}$ có chứa không khí ẩm dưới áp suất $1,5\text{ atm}$ . Sau khi thể tích bình giảm đi $3$ lần trong quá trình đẳng nhiệt, áp suất tăng lên thành $4,3\text{ atm}$ . Độ ẩm tương đối ban đầu bằng bao nhiêu? Bỏ qua thể tích của nước ngưng tụ .
Bài giải:
Khi phân tích sự thay đổi trạng thái của không khí ẩm, cần phải tưởng tượng chia nó thành hai thành phần — hơi nước (tức là khí của các phân tử nước) và không khí khô (tức là khí của tất cả các phân tử còn lại) . Không khí khô tuân theo các định luật chất khí thông thường, còn áp suất của hơi nước không thể lớn hơn áp suất hơi bão hòa $p_{\text{bh}}$ ở nhiệt độ cho trước . Nếu áp suất hơi tính ra lớn hơn, thì phải đặt áp suất hơi lúc sau bằng $p_{\text{bh}}$ (khi đạt đến áp suất này, sự ngưng tụ bắt đầu xảy ra và áp suất ngừng tăng) .
Trong trường hợp này, bằng phương pháp phản chứng, ta có thể xác định ngay lập tức rằng trong quá trình nén, nước đã ngưng tụ, tức là ở trạng thái lúc sau, bình chứa hơi bão hòa cân bằng với một lượng nước ngưng tụ . Nếu không, áp suất của toàn bộ lượng khí trong quá trình đẳng nhiệt sẽ tăng gấp $3$ lần và bằng $4,5\text{ atm}$ .
Vì áp suất thiết lập trong bình bằng tổng áp suất không khí và áp suất hơi: $$ p_2 = p_{\text{kk}2} + p_{\text{h2}} = p_{\text{kk}2} + p_{\text{bh}} $$ và ở $100^\circ\text{C}$ áp suất hơi $p_{\text{bh}} = 1\text{ atm}$, nên áp suất lúc sau của không khí khô là $p_{\text{kk}2} = 3,3\text{ atm}$ . Áp dụng phương trình quá trình đẳng nhiệt $p_{\text{kk}1} V_1 = p_{\text{kk}2} V_2$ cho không khí khô, ta tìm được áp suất ban đầu của không khí là $p_{\text{kk}1} = 1,1\text{ atm}$, và áp suất ban đầu của hơi là $p_{\text{h}1} = p_1 - p_{\text{kk}1} = 0,4\text{ atm}$ .
Do đó, độ ẩm tương đối ở trạng thái ban đầu là: $$ \varphi = \frac{p_{\text{h}1}}{p_{\text{bh}}} \cdot 100\% = 40\% $$
Trong các bài toán nhiệt động lực học, điều kiện bài toán thường cung cấp các thông tin cần thiết để viết định luật bảo toàn năng lượng . Thông thường nhất, bài toán chỉ ra rằng hệ được cách nhiệt, tức là không trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh . Ngược lại, trong một số bài toán, lượng nhiệt truyền cho hệ (hoặc lấy đi từ hệ) được cho chính xác .
Nhắc lại rằng nội năng của khí lý tưởng đơn nguyên tử (heli, argon) bằng: $$ U = \frac{3}{2}\nu RT = \frac{3}{2}pV \quad (4) $$
Bài toán 7
Trong hai bình cách nhiệt được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa, chứa khí heli với số lượng lần lượt là $2\text{ mol}$ và $3\text{ mol}$ ở nhiệt độ tương ứng là $300\text{ K}$ và $400\text{ K}$ . Nhiệt độ sẽ bằng bao nhiêu sau khi mở khóa và thiết lập cân bằng nhiệt?
Bài giải:
Ta viết định luật bảo toàn năng lượng cho hệ hai chất khí, biểu diễn nội năng qua nhiệt độ (xem phương trình (4)): $$ \frac{3}{2}\nu_1 RT_1 + \frac{3}{2}\nu_2 RT_2 = \frac{3}{2}\nu' RT' $$
Sử dụng định luật bảo toàn lượng chất: $$ \nu_1 + \nu_2 = \nu' $$ ta tìm được nhiệt độ thiết lập: $$ T' = \frac{\nu_1 T_1 + \nu_2 T_2}{\nu_1 + \nu_2} = 360\text{ K} $$
Lưu ý rằng nhiệt độ lúc sau không phụ thuộc vào áp suất ban đầu của các khí .
Bài toán 8
Trong hai bình cách nhiệt có dung tích $2\text{ L}$ và $6\text{ L}$, được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa, chứa khí heli dưới áp suất tương ứng là $30\text{ kPa}$ và $16\text{ kPa}$, nhưng ở các nhiệt độ khác nhau . Áp suất sẽ bằng bao nhiêu sau khi mở khóa và thiết lập cân bằng nhiệt?
Bài giải:
Trong trường hợp này, ta sử dụng công thức tính nội năng (4) biểu diễn qua thể tích và áp suất vào định luật bảo toàn năng lượng: $$ \frac{3}{2}p_1 V_1 + \frac{3}{2}p_2 V_2 = \frac{3}{2}p'(V_1 + V_2) $$
Từ đó ta tìm được: $$ p' = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2} = 20\text{ kPa} $$
Lưu ý rằng với các áp suất ban đầu đã cho, áp suất lúc sau không phụ thuộc vào nhiệt độ của các khí được pha trộn .
Điều thú vị là định luật bảo toàn năng lượng đối với sự pha trộn các khí trong các bình cách nhiệt luôn dẫn đến cùng một kết quả như đối với sự pha trộn đẳng nhiệt, bất kể nhiệt độ ban đầu của các khí (xem công thức (1)) .
Bài toán 9
Trong hai bình cách nhiệt có dung tích $10\text{ L}$ và $20\text{ L}$, được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa, chứa khí heli dưới áp suất $180\text{ kPa}$ và $150\text{ kPa}$ ở nhiệt độ tương ứng là $100\text{ K}$ và $500\text{ K}$ . Nhiệt độ sẽ bằng bao nhiêu sau khi mở khóa và thiết lập cân bằng nhiệt?
Bài giải:
Như chúng ta đã thấy ở bài toán 8, áp suất lúc sau có thể được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng: $$ \frac{3}{2}p_1 V_1 + \frac{3}{2}p_2 V_2 = \frac{3}{2}p'(V_1 + V_2) $$ trong đó các nhiệt độ ban đầu không nằm trong đáp số .
Để tìm nhiệt độ lúc sau, ta viết định luật bảo toàn lượng chất dưới dạng (xem công thức (3)): $$ \frac{p_1 V_1}{T_1} + \frac{p_2 V_2}{T_2} = \frac{p'(V_1 + V_2)}{T'} $$
Cuối cùng, đối với nhiệt độ thiết lập ta nhận được: $$ T' = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{\frac{p_1 V_1}{T_1} + \frac{p_2 V_2}{T_2}} = 200\text{ K} $$
Bài tập tự giải
- Bài 1: Ba bình giống nhau, được nối với nhau bằng các ống nhỏ, chứa đầy khí heli ở nhiệt độ $40\text{ K}$ . Sau đó, một bình được nung nóng đến $100\text{ K}$, bình khác đến $400\text{ K}$, còn nhiệt độ của bình thứ ba giữ nguyên . Hỏi áp suất trong hệ đã tăng lên gấp bao nhiêu lần?
- Bài 2: Trong một bình ở nhiệt độ $100^\circ\text{C}$ có chứa không khí ẩm với độ ẩm tương đối là $90\%$ dưới áp suất $1\text{ atm}$ . Thể tích của bình bị giảm đi $2$ lần trong quá trình đẳng nhiệt . Thay vì giảm thể tích, cần phải tăng nhiệt độ tuyệt đối của không khí lên bao nhiêu phần trăm để thu được cùng một áp suất lúc sau như vậy? Bỏ qua thể tích của nước ngưng tụ .
- Bài 3: Hai bình cách nhiệt có cùng dung tích được nối với nhau bằng một ống nhỏ có khóa . Trong một bình chứa khí heli ở nhiệt độ $200\text{ K}$, còn trong bình kia chứa khí heli ở nhiệt độ $400\text{ K}$ và dưới áp suất lớn gấp $3$ lần so với bình thứ nhất . Nhiệt độ (tính bằng Kelvin) của khí sẽ bằng bao nhiêu sau khi mở khóa và thiết lập cân bằng nhiệt?
