Dạng thứ hai cần nói đến trong bài tập giao thoa sóng cơ là tập hợp các bài toán về số cực đại, cực tiểu giao thoa giữa hai điểm xác định trên măt chất lỏng. Đây là dạng bài tập giao thoa sóng cơ xuất hiện nhiều nhất trong các đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây. Những bài toán mức độ 2, mức độ 3 chỉ là xác định số cực đại giao thoa, số cực tiểu giao thoa giữa hai điểm xác định. Sang mức độ 4, thường là những bài toán ngược, kết hợp phương trình, bất phương trình và tính chất của số nguyên để giải tìm nghiệm. Một số bạn học sinh sử dụng máy tính Casio cũng có thể giải nhanh một số bài dạng này. Tuy nhiên để tiếp cận bài toán một cách chắc chắn và chủ động, chúng ta hay thực hiện đúng phương pháp nhé, bắt đầu ngay thôi.
Bài toán tổng quát và phương pháp giải
Trong thí nghiệm giao thoa sóng cơ trên mặt chất lỏng, bước sóng $\lambda$, hai nguồn dao động cùng pha tại hai điểm A, B cách nhau một khoảng $l$. Tính số cực đại giao thoa, số cực tiểu giao thoa giữa hai điểm M, N. Trong đó khoảng cách từ các điểm M, N đến các nguồn A, B đã biết.
Số cực đại, cực tiểu giao thoa rõ ràng phải liên quan đến bậc của các vân. Chúng ta cần nhớ rằng, mỗi điểm M, N hay bất kì điểm nào khác (kể cả hai nguồn sóng) đều được xem là một cực đại giao thoa, bậc của mỗi điểm đó cùng được tính bằng công thức $$k=\frac{d_1-d_2}{\lambda}$$
- Nếu một điểm là cực đại giao thoa thực thì $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$.
- Nếu một điểm là cực tiểu giao thoa thực thì $k=\pm0.5,\pm1.5,\pm2.5,...$.
- Nếu một điểm không phải thực là cực đại hay cực tiểu thì $k$ là một số thực bất kì.
Ta giả sử M và N là các cực đại giao thoa bậc $k_M$ và $k_N$, khi đó $$k_M=\frac{AM-BM}{\lambda}\\ k_N=\frac{AN-BN}{\lambda}$$ Các cực đại giao thoa giữa M và N sẽ là những số nguyên $k_M\gt k \gt k_N$, số giá trị của $k$ trong khoảng này chính là số cực đại giữa M và N. Tương tự, số cực tiểu giữa M và N là những số bán nguyên $k_\text{bn}$ nằm trong khoảng $k_M\gt k_\text{bn} \gt k_N$, số giá trị của $k_\text{bn}$ trong khoảng này là số cực tiểu giữa M và N.
Các bài tập mẫu về số cực đại, cực tiểu giữa hai điểm xác định trong vùng giao thoa
Bài 1. Số cực đại, cực tiều giữa hai điểm xác định
Bốn điểm A, B, C, D trên mặt nước tạo thành một hình vuông cạnh 20 cm. Đặt tại A và B hai nguồn sóng kết hợp, cùng pha, cùng tần số 20 Hz. Sóng cơ lan truyền trên mặt nước với tốc độ 35 cm/s. Khi các vân giao thoa xuất hiện ổn định trên mặt nước, có bao nhiêu điểm cực đại giao thoa, bao nhiêu điểm cực tiểu giao thoa giữa hai điểm C, D?
Bước sóng
\begin{align}
\lambda&=\frac{v}{f}\\
&=\frac{35}{20}=1.75\ \text{cm}
\end{align}
Giả sử C và D là các cực đại giao thoa bậc $k_C$ và $k_D$, khi đó
\begin{align}
k_C&=\frac{AC-BC}{\lambda}\\
&=\frac{20\sqrt{2}-20}{1.75}=4.73
\end{align}
\begin{align}
k_D&=\frac{AD-BD}{\lambda}\\
&=\frac{20-20\sqrt{2}}{1.75}=-4.73
\end{align}
Các cực đại giao thoa giữa C và D phải có bậc nằm trong khoảng từ $-4.73$ đến $4.73$, đó là $\{-4,-3,...,3,4\}$, có 9 cực đại giao thoa giữa C và D.
Các cực tiểu giao thoa là những số bán nguyên cũng nằm trong khoảng này, đó là $\{-4.5,-3.5,...,3.5,4.5\}$, có 10 cực tiểu giao thoa giữa C và D.
Bài 2. Tổng số cực đại, cực tiểu trên mặt nước
Hai nguồn sóng trên mặt nước tại hai điểm A, B dao động cùng pha, có bước sóng 1,6 cm. Khoảng cách giữa hai nguồn $AB=17\ \text{cm}$. Có thể quan sát thấy bao nhiêu vân cực đại, bao nhiêu vân cực tiểu trên mặt nước?
Thực ra, các vân giao thoa chỉ tồn tại giữa hai nguồn A và B mà thôi. Để tính số vân giao thoa, ta chỉ cần tính số cực đại, cực tiểu giữa hai điểm A và B, cũng bằng việc tính bậc của chúng.
\begin{align}
k_A&=\frac{AA-BA}{\lambda}\\
&=\frac{0-17}{1.6}=10.6
\end{align}
\begin{align}
k_B&=\frac{AB-BB}{\lambda}\\
&=\frac{20-0}{1.6}=-10.6
\end{align}
Các vân cực đại trên mặt nước có bậc $\{-10,-9,...,9,10\}$, có 21 vân.
Các vân cực tiểu trên mặt nước có bậc $\{-10.5,-9.5,...,9.5,10.5\}$, có 22 vân.
Bài 3. Số cực đại, cực tiểu trên các cạnh hình vuông
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình thang cân trên mặt nước, hai điểm M, N trên đoạn thẳng AB sao cho CM và DN cùng vuông góc với AB. Đáy lớn AB = 22 cm, đáy bé CD = 11 cm, chiều cao CM = DN = 11 cm. Đặt tại A và B các nguồn sóng kết hợp cùng pha, tạo ra sóng cơ có bước sóng 1,4 cm trên mặt nước. Hãy tính tổng số điểm cực đại giao thoa trên các cạnh của hình vuông CDNM.
Ta tính số cực đại trên mỗi cạnh rồi lấy tổng trên các cạnh là xong.
\begin{align}
k_M&=\frac{AM-BM}{\lambda}\\
&=\frac{16.5-5.5}{1.4}=7.9
\end{align}
\begin{align}
k_N&=\frac{AN-BN}{\lambda}\\
&=\frac{5.5-16.5}{1.4}=-7.9
\end{align}
\begin{align}
k_C&=\frac{AC-BC}{\lambda}\\
&=\frac{\sqrt{11^2+16.5^2}-\sqrt{11^2+5.5^2}}{1.4}=5.4
\end{align}
\begin{align}
k_D&=\frac{AD-BD}{\lambda}\\
&=\frac{\sqrt{11^2+5.5^2}-\sqrt{11^2+16.5^2}}{1.4}=-5.4
\end{align}
Các cực đại trên MN là $\{-7,-6,...,6,7\}$, có 15 điểm.
Các cực đại trên CD là $\{-5,-4,...,4,5\}$, có 9 điểm.
Các cực đại trên CN là $\{-7,-6,...,4,5\}$, có 13 điểm.
Các cực đại trên DM là $\{-5,-4,...,6,7\}$, có 13 điểm.
Tổng trên các cạnh có $15+9+2\times13=50$ cực đại giao thoa.
Bài 4 (Đề minh họa 2018). Số cực đại tối đa giữa hai nguồn sóng
Ở mặt nước, tại hai điểm A và B có hai nguồn kết hợp dao động cùng pha theo phương thẳng đứng. ABCD là hình vuông nằm ngang. Biết trên CD có 3 vị trí mà ở đó các phần tử dao động với biên độ cực đại. Trên AB có tối đa bao nhiêu vị trí mà phần tử ở đó dao động với biên độ cực đại?
Trên CD có 3 cực đại giao thoa tức là C phải nằm giữa vân cực đại bậc 1 và vân cực đại bậc 2. Hay nói cách khác bậc của C là $k_C$ phải thỏa mãn điều kiện
$$1\lt k_C \lt2\\
1\lt \frac{AC-BC}{\lambda} \lt2\\
1\lt \frac{a\left(\sqrt{2}-1\right)}{\lambda} \lt2
$$
Trong đó $a$ là cạnh hình vuông ABCD.
Số cực đại trên AB lại được tính thông qua bậc của B là $k_B$
$$k_B=\frac{AB-BB}{\lambda}=\frac{a}{\lambda}$$
(Vì BB = 0)
Theo bất phương trình đã có ở trên thì
$$\frac{a}{\lambda}\lt \frac{2}{\sqrt{2}-1}\\
k_B\lt \frac{2}{\sqrt{2}-1}=4.8$$
Số cực đại trên AB lớn nhất bằng $4\times2+1=9$.
Bài 5. Độ chênh lệch số cực đại, cực tiểu giao thoa giữa hai vùng
Trong thí nghiệm giao thoa sóng cơ mặt nước với hai nguồn A, B cùng pha, có một điểm C trên mặt nước. Số cực đại giao thoa trên đoạn AC và số cực đại giao thoa trên đoạn BC hơn kém nhau bao nhiêu nếu
a) điểm C nằm giữa vân bậc $k$ và vân bậc $k+1$?
b) điểm C thuộc vân cực đại bậc $k$?
Giả sử bậc cao nhất của các vân cực đại là $k_m$ và C nằm gần B hơn so với A.
Trường hợp điểm C nằm giữa hai vân $k$ và $k+1$ thì số vân cực đại giữa B và C là
$$n_{BC}=k_m-k$$
Và số vân cực đại giữa A và C là
$$n_{AC}=k_m+1+k$$
Độ chênh lệch giữa số cực đại trên AC và trên BC bằng
$$\Delta n=n_{AC}-n_{BC}=2k+1$$
Trường hợp điểm C thuộc vân cực đại bậc $k$ thì số vân cực đại trên BC là
$$n_{BC}=k_m-k+1$$
Và số cực đại trên đoạn AC bằng
$$n_{AC}=k_m+1+k$$
Độ chênh lệch giữa số cực đại trên AC và trên BC bằng
$$\Delta n=n_{AC}-n_{BC}=2k$$
Như vậy, độ chênh lệch số vân giữa AC và BC chẳng phụ thuộc gì vào tổng số vân trên mặt nước, nó chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm C mà thôi.
Bài 6 (Đề minh họa 2020). Áp dụng độ chênh lệch số cực đại, cực tiểu giao thoa giữa hai vùng
Trong thí nghiệm về giao thoa sóng ở mặt chất lỏng, tại hai điểm A, và B, có hai nguồn dao động cùng pha theo phương thẳng đứng phát ra hai sóng kết hợp với tần số 20 Hz. Ở mặt chất lỏng, tại điểm M cách A và B lần lượt là 8 cm và 15 cm có cực tiểu giao thoa. Biết số cực đại giao thoa trên các đoạn thẳng MA và MB, lần lượt là $m$ và $m + 7$. Tốc độ truyền sóng ở mặt chất lỏng bằng bao nhiêu?
Giả sử điểm M thuộc vân cực tiểu nằm giữa vân cực đại bậc $k$ và vân cực đại bậc $k+1$, tức là $$\frac{AM-BM}{\lambda}=k+0.5$$ Với AM = 8 cm, BN = 15 cm ta có $$\lambda=\frac{-7}{k+0.5}\ \text{cm}$$ Theo bài ra thì số cực đại trên AM ít hơn 7 vân so với số cực đại trên BM. Theo kết quả Bài 5 thì $2k+1=-7$, suy ra $k=-4$, ta tính được bước sóng $$\lambda=\frac{-7}{-4+0.5}=2\ \text{cm}$$ Tốc độ truyền sóng là $$v=\lambda f=40\ \text{cm}$$
Bài 7 (Đề thi TNTHPT 2022). Số cực tiểu giao thoa tối thiểu giữa hai nguồn sóng
Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt chất lỏng, hai nguồn kết hợp tại A và B, dao động cùng pha theo phuơng thẳng đứng. Trên đọan thẳng AB quan sát thấy số điểm cực đại giao thoa nhiều hơn số điểm cực tiểu giao thoa. Trên mặt chất lỏng, trên đường tròn đường kính AB, điểm cực tiểu giao thoa gần A nhât cách A một đoạn 1.4 cm, điểm cực tiểu giao thoa xa A nhất cách A một đoạn 8.4 cm. Trên đoạn thẳng AB có thể có tối thiểu bao nhiêu điểm cực đại giao thoa?
Vẽ hình và kí hiệu bậc của các vân như dưới đây:
$$k=\frac{8\text{,}4-1\text{,}4}{\lambda}=\frac{7}{\lambda}\\ \Rightarrow \lambda=\frac{7}{k}$$ $$AB=\sqrt{8\text{,}4^2+1\text{,}4^2}=8\text{,}5$$ Điểm B nằm ngay bên ngoài vân cực đại $k+0\text{,}5$ nên $$AB\gt \left(k+0\text{,}5\right)\lambda=\left(k+0\text{,}5\right)\frac{7}{k}\\ k\gt 2\text{,}7\\ k_\text{min}=3\text{,}5$$ Mỗi bên có 4 cực đại, cả hai bên cộng vân trung tâm là 9 vân.
Bài 8 (Đề thi TNTHPT 2021). Số cực tiểu giao thoa tối thiểu giữa hai nguồn sóng
Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước, hai nguồn kết hợp đặt tại hai điểm A và B, dao động cùng pha theo phương thẳng đứng, phát ra hai sóng lan truyền trên mặt nước với bước sóng $λ$. Ở mặt nước, C và D là hai điểm sao cho ABCD là hình vuông. Trên cạnh BC có 6 điểm cực đại giao thoa và 7 điểm cực tiểu giao thoa, trong đó có P là điểm cực tiểu giao thoa gần B nhất và Q là điểm cực tiểu giao thoa gần C nhất. Khoảng cách xa nhất có thể giữa hai điểm P và Q bằng bao nhiêu lần $λ$?
Từ hình vẽ ta thấy B phải nằm giữa $k+0.5$ và $k+1$, C nằm giữa $k-6$ và $k-5.5$, tức là $$k+0.5\lt k_B\lt k+1\\ k-6 \lt k_C \lt k-5.5 $$ Với $$k_B=\frac{AB-BB}{\lambda}\\ k_C=\frac{AC-BC}{\lambda}$$ Đặt $AB=a=m\lambda$ thì $$k+0.5\lt m\lt k+1\\ k-6 \lt \left(\sqrt{2}-1\right)m \lt k-5.5$$ Suy ra $$9.7\lt k \lt 10.9\ \text{và}\ 10.2\lt m\lt 11.9$$ Vì $k$ thuộc số nguyên nên $$k=10, m\lt 11.9$$ Khoảng cách giữa cực đại bậc $k_1$ và cực đại bậc $k_2$ trên BC là $$\Delta x =\frac{\lambda}{2}\left(k_2-k_1\right)\left(\frac{m^2}{k_1k_2}+1 \right)$$ Ở đây, P ứng với $k+0.5=10.5$ và Q ứng với $k-5=5$, và \begin{align} \Delta x& =\frac{\lambda}{2}\left(10.5-5\right)\left(\frac{{11.9}^2}{10.5\times5}+1 \right)\\ &=10.16\lambda \end{align}
