Trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh vật lý 11, không thể thiếu các bài toán động lực học hoặc liên quan đến động lực học. Trong các bài toán động lực học, hiện tượng vật lý thường gặp là sự chuyển động của các vật không tự do, chúng được liên kết với những vật khác. Sự liên kết có thể được tạo ra từ các bề mặt cứng, các sợi dây không giãn, các thanh cứng, v.v... Trong các trường hợp đơn giản nhất, chúng ta mặc nhiên đã xét đến các liên kết đó, thậm chí không đề cập đến sự tồn tại của chúng. Ví dụ: Một vật nằm trên mặt phẳng ngang, được tác dụng một lực $\vec{F}$ chếch lên một góc $30^\text{o}$, khi áp dụng định luật II Newton, chúng ta đã mặc nhiên cho rằng vật chuyển động theo phương ngang mà không cần nói đến một điều kiện nào; hay chúng ta coi vận tốc của tàu kéo và sà lan là như nhau (có tính đến sự có mặt của một cáp không giãn); v.v... Tuy nhiên, đôi khi cần phải biểu thị những liên kết này dưới dạng một phương trình mà chúng sẽ được gọi là liên kết động học. Bài viết Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11: Liên kết động học trong các bài toán động lực học này sẽ giúp các bạn có thêm một phần kiến thức quan trọng về động học và động lực học, có thêm kĩ năng để chuẩn bị tốt hơn cho kì thi HSG vật lý 11 mà các bạn đang hướng tới.
Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11: Một số bài toán thí dụ về Liên kết động học trong các bài toán động lực học
Bài toán 1. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Liên kết động học giữa khối lăng trụ và khối lập phương
Tìm gia tốc của một lăng trụ có khối lượng $m_1$ và một khối lập phương có khối lượng $m_2$ như trong hình 1. Khối lăng trụ có một góc bằng $\alpha$. Bỏ qua mọi ma sát.
Do định hướng của sàn nên khối lập phương chỉ chuyển động theo phương ngang, còn tường định hướng cho lăng trụ chỉ chuyển động thẳng đứng. Ta chọn chiều dương cho chuyển động của khối lập phương là từ trái sang phải, chiều dương cho chuyển động của lăng trụ là từ trên xuống dưới. Biểu diễn các lực tác dụng lên các khối như hình 2.
Phương trình định luật II Newton cho các vật
\begin{align}
m_1g-N\sin{\alpha}=m_1a_1 \tag{1.1}\label{https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisv5chrU1MqFV6KMfpoUSIVkidRG0uLI1gUC9W0xToXENI7ZGsdnF4kyRnQeeflyfW2vZEU95F9mEN1jgcsT_wIQ25XxkzBaxZRZSv4ct5noTxA7_K90mGLN8OU-MAuRD0hoCKw5QFm8aG1G40qRwhBIduPOh7CMIeqBgmMnrh9FusrE8mRtT9FdhF/s16000/Optimized-Fig2.png.1}\\
N\cos{\alpha}=m_2a_2\tag{1.2}\label{1.2}
\end{align}
Trong đó $N_{12}=N_{21}=N$, các lực này vuông góc với mặt nêm, điều này được suy ra từ định luật III Newton.
Ta đã có hai phương trình nhưng có đến ba ẩn $N$, $a_1$, $a_2$. Cần thêm một phương trình nữa để giải được. Đó chính là phương trình liên kết động học, liên hệ giữa hai gia tốc $a_1$ và $a_2$. Có nhiều cách thiết lập phương trình này. Ta xét hai cách sau:
Cách 1 là, biểu diễn sự dịch chuyển nhỏ của hệ như hình 3.
Để ý tam giác $\text{ABC}$ có cạnh $AB$ là độ dịch chuyển của nêm, cạnh $BC$ là độ dịch chuyển của khối lập phương. Ta có thể viết $AB=Δx_1$ và $BC=Δx_2$, chúng có mối quan hệ hình học là
\begin{align}
Δx_2=Δx_1\tan{\alpha} \\
\end{align}
Chia cả hai vế cho $Δt$ ta được
\begin{align}
v_2=v_1\tan{\alpha} \\
\end{align}
Phương trình này đúng ở mọi thời điểm nên ta cũng có thể viết
\begin{align}
v_2'=v_1'\tan{\alpha} \\
\end{align}
Tức là
\begin{align}
v_2'-v_2=\left(v_1'-v_1\right)\tan{\alpha} \\
Δv_2=Δv_1\tan{\alpha}
\end{align}
Chia cả hai vế cho $Δt$ ta được
\begin{align}
a_2=a_1\tan{\alpha} \tag{1.3}\label{1.3}\\
\end{align}
Phương trình (\ref{1.3}) gọi là phương trình liên kết động học.
Cách 2 là, sử dụng công thức cộng vận tốc cho vận tốc của nêm đối với đất $\vec{v}_{13}=\vec{v}_1$ thẳng đứng hướng xuống, vận tốc của lập phương đối với đất $\vec{v}_{23}=\vec{v}_2$ nằm ngang từ trái sang phải, vận tốc của lập phương đối với nêm $\vec{v}_{21}$ dọc theo mặt nêm hướng lên (hướng lên, tạo với phương thẳng đứng góc $\alpha$). Phương trình là
\begin{align}
\vec{v}_{23}=\vec{v}_{21}+\vec{v}_{13} \\
\vec{v}_2=\vec{v}_{21}+\vec{v}_1
\end{align}
Từ giản đồ véc tơ ở hình 4, dễ dàng suy ra \begin{align} v_2=v_1\tan{\alpha} \\ \end{align} Và cuối cùng cũng là \begin{align} a_2=a_1\tan{\alpha} \\ \end{align} Bây giờ kết hợp phương trình liên kết động học (\ref{1.3}) với hai phương trình định luật II Newton (\ref{1.1}) và (\ref{1.2}), giải ra ta được nghiệm \begin{align} a_1=\frac{m_1g}{m_1+m_2\tan{\alpha}} \\ a_2=\frac{m_1g\tan{\alpha}}{m_1+m_2\tan^2{\alpha}} \end{align} Trong vấn đề này, phương pháp thứ hai có vẻ hơi giả tạo. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chính việc lựa chọn đúng hệ quy chiếu đã giúp đơn giản hóa đáng kể bài toán liên kết động học. Đây là một ví dụ.
Bài toán 2. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Liên kết động học giữa nêm và vật trượt trên nêm
Một cái nêm có chiều cao $h$ với góc nghiêng $\alpha$ đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn (Hình 5). Khối lượng của nêm là $m_1$. Một vật dạng khối nhỏ khối lượng $m_2$ bắt đầu trượt không ma sát từ đỉnh nêm. Tìm gia tốc của nêm và thời gian trượt của khối nhỏ.
Ta biểu diễn các lực tác dụng lên nêm và các lực tác dụng lên khối nhỏ như hình 6 dưới đây.
Nêm chỉ chuyển động theo phương ngang, ta chọn chiều dương từ trái sang phải. Đối với vật nhỏ ta chưa xác định được hướng chuyển động nên các đại lượng được viết dưới dạng véc tơ. Áp dụng định luật II Newton cho nêm và khối nhỏ:
\begin{align}
N\sin{\alpha}=m_1a_1 \tag{2.1}\label{2.1}\\
\vec{N}_{12}+m_2\vec{g}=m_2\vec{a}_2\tag{2.2}\label{2.2}
\end{align}
Trong đó $N=N_{12}=N_{21}$.
Vận tốc của nêm đối với đất $\vec{v}_1=\vec{v}_{13}$, vận tốc của khối nhỏ đối với đất $\vec{v}_2=\vec{v}_{23}$, vận tốc của khối nhỏ đối với nêm $\vec{v}_{21}$, tuân theo công thức cộng vận tốc
\begin{align}
\vec{v}_{23}=\vec{v}_{21}+\vec{v}_{13}\\
\text{hay}\ \vec{v}_{2}=\vec{v}_{21}+\vec{v}_{1}\tag{2.3}\label{2.3}
\end{align}
Tương tự như ở bài toán 1, phương trình vận tốc đúng cho mọi thời điểm nên cũng suy ra phương trình gia tốc:
\begin{align}
\vec{a}_{2}=\vec{a}_{21}+\vec{a}_{1}\tag{2.4}\label{2.4}
\end{align}
Ta vẽ được giản đồ véc tơ như hình 7 sau đây.
Từ phương trình (\ref{2.4}) rút ra $\vec{a}_2$ và thay vào (\ref{2.2}), sau đó chiếu lên phương dọc theo mặt nêm và phương vuông góc với nó, ta được
\begin{align}
m_2g\sin{\alpha}=m_2\left(a_{21}-a_1\cos{\alpha}\right)\tag{2.5}\label{2.5}\\
N-m_2g\cos{\alpha}=-m_2a_1\sin{\alpha}\tag{2.6}\label{2.6}
\end{align}
Kết hợp 3 phương trình (\ref{2.1}), (\ref{2.5}), (\ref{2.6}), ta tính được
\begin{align}
a_1=\frac{m_2 \sin{\alpha} \cos{ \alpha}}{m_1+m_2 \sin^2{ \alpha}} g, \\
a_{21}=\frac{\left(m_1+m_2\right) \sin {\alpha}}{m_1+m_2 \sin^2{ \alpha}} g .
\end{align}
Để trả lời câu hỏi thứ hai của bài toán, chúng ta không cần tìm $a_2$, vì thời gian trượt được biểu thị chính xác theo $a_{21}$ dọc theo mặt nêm:
\begin{align}
\frac{a_{21}t^2}{2}=\frac{h}{\sin{\alpha}}
\end{align}
Suy ra thời gian trượt
\begin{align}
t=\sqrt{\frac{2 h}{a_{21} \sin{\alpha}}}=\sqrt{\frac{2 h\left(m_1+m_2 \sin ^2 {\alpha}\right)}{g\left(m_1+m_2\right) \sin ^2{\alpha}}}
\end{align}
Như đã đề cập, giới hạn chuyển động có thể được xác định không chỉ bởi sự tiếp xúc trực tiếp của các vật thể đang được xem xét mà còn bởi sự hiện diện của các phần tử kết nối trong hệ như thanh cứng, sợi dây không dãn, v.v... được chỉ định trong điều kiện, các phần tử kết nối được coi là lý tưởng, tức là các sợi không giãn, mảnh và không trọng lượng, và các thanh cứng hoàn toàn; đối với các ròng rọc, ngoài việc không trọng lượng, việc không có ma sát trên trục cũng được giả định. (Thực ra từ “không trọng lượng” có nghĩa là khối lượng của phần tử đã cho nhỏ không đáng kể so với khối lượng của các vật thể khác trong hệ, từ “không dãn” có nghĩa là độ dãn dài của phần tử nhỏ so với độ dịch chuyển của các cơ quan trong hệ thống, v.v. ...). Trước khi phân tích các ví dụ cụ thể, chúng ta hãy tìm hiểu xem tính lý tưởng của các phần tử kết nối dẫn đến điều gì. Chúng ta hãy xem xét ba trường hợp đặc biệt.
1. Sự không trọng lượng của một sợi dây
Hãy viết định luật II Newton cho một đoạn dây có khối lượng $Δm$ (Hình 8):
$$T-T'=Δma$$ Với điều kiện $Δm = 0$ thì $T=T'$, tức là lực căng dây không thay đổi dọc theo sợi dây.
2. Ròng rọc chuyển động không trọng lượng và không có ma sát trên trục của nó
Xét một ròng rọc với một sợi dây vắt qua như hình 9.
Nếu bỏ qua ma sát, chỉ có lực căng hai đầu dây vắt qua ròng rọc gây ra moment làm quay ròng rọc. Phương trình động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc là
$$(T-T')R=I\gamma$$
Trong đó $\gamma$ là gia tốc góc, $I$ là moment quán tính, $I\text{~}m$ nên khi khối lượng $m$ của ròng rọc không đáng kể thì $I=0$, $=T'$. Tức là lực căng của cùng một sợi dây ở cả hai bên của ròng rọc là như nhau.
Phương trình định luật I Newton cho chuyển động tịnh tiến của ròng rọc
$$T_0-T-T'=ma$$
Nếu $m=0$ thì $T_0=2T$, mặc dù ròng rọc có thể có gia tốc thì các lực tác dụng lên nó cũng cân bằng nhau.
3. Thanh cứng không trọng lượng
Điều kiện này có nghĩa là tổng lực và tổng momen của các lực tác dụng lên thanh bằng không. Ví dụ, nếu hai lực tác dụng lên thanh thì chúng bằng nhau về giá trị tuyệt đối, ngược chiều và tác dụng dọc theo thanh (Hình 10). (Không giống như một sợi chỉ, một thanh không chỉ có thể ở trạng thái kéo dài mà còn ở trạng thái nén).
Tính không thể kéo dài và độ cứng của thanh và thanh dẫn đến sự xuất hiện của quan hệ động học mà chúng ta sẽ phân tích riêng trong các bài toán sau.
Bài toán 3. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Sợi dây liên kết giữa các vật bị đứt đột ngột
Hai vật khối lượng $m_1$ và $m_2$ được kết nối với nhau bằng các sợi dây và ròng rọc lí tưởng như hình 11. Hệ đang cân bằng thì cắt đứt sợi dây nối vật $m_1$ với giá treo. Tìm gia tốc của các vật ngay sau khi cắt đứt sợi dây.
Các lực tác dụng lên các vật ngay sau khi dây đứt được biểu diễn trong hình 12. Trong đó, như phân tích ở trên, lực căng hai đầu dây vắt qua ròng rọc có độ lớn bằng nhau $T$, các lực tác dụng lên ròng rọc cân bằng nhau cho dù ròng rọc có gia tốc $T'=2T$.
Chúng ta hãy chọn chiều dương của trục thẳng đứng hướng xuống dưới và viết định luật II Newton cho cả hai vật:
\begin{align}
T+m_1g=m_1a_1\tag{3.1}\label{3.1}\\
m_2g-2T=m_2a_2\tag{3.2}\label{3.2}
\end{align}
Để tìm mối liên kết động học giữa $a_1$ và $a_2$ tất nhiên chúng ta phải xét đến yếu tố kết nối giữa các vật, đó chính là sợi dây. Đặc điểm cần khai thác ở đây chính là tính không biến dạng của sợi dây. Tức là chiều dài sợi dây không đổi. Biểu thức liên hệ giữa tọa độ của các vật với chiều dài sợi dây như sau:
\begin{align}
l=x_2+\pi R+(x_2-x_1)\tag{3.3}\label{3.3}
\end{align}
Trong đó $\pi R$ là độ dài đoạn dây vòng qua nửa ròng rọc bán kính $R$.
Suy luận tương tự những bài toán trên, ta đưa đến các biểu thức liên hệ động học.
\begin{align}
2Δx_2-Δx_1=0\\
2v_2-v_1=0\\
2a_2-a_1=0\tag{3.4}\label{3.4}
\end{align}
Thực ra chỉ cần đạo hàm hai lần theo thời gian hai vế (\ref{3.3}) là ta có ngay (\ref{3.4}).
Bây giờ, kết hợp (\ref{3.1}), (\ref{3.2}), (\ref{3.4}), ta suy ra được
\begin{equation}
a_1=2 a_2=\frac{2\left(m_2+2 m_1\right)}{m_2+4 m_1} g .
\end{equation}
Hãy để ý rằng $a_1\gt g$. Bạn có thể tự suy nghĩ về điều này nhé.
Bài toán 4. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Hai vật được liên kết bằng một thanh nhẹ
Một thanh không trọng lượng hai đầu được gắn hai vật giống hệt nhau khối lượng $m$, thanh có một trục cố định nằm ngang đi qua thanh, chia chiều dài của nó theo tỷ lệ 2:1 (Hình 13).
Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang và được thả ra tại một thời điểm nào đó. Tìm gia tốc của các vật ngay sau đó và cả áp lực của thanh lên trục tại thời điểm này.
Các lực tác dụng lên các vật ở hai đầu thanh, tại thời điểm ngay sau khi thả, được biểu diễn như hình 14 dưới đây.
Phương trình định luật II Newton cho các vật là
\begin{align}
mg-N_1=m a_1\tag{4.1}\label{4.1}\\
-mg+N_2=ma_2\tag{4.2}\label{4.2}
\end{align}
Đối với thanh, các lực do các vật tác dụng lên hai đầu của nó cũng có độ lớn $N_1$ và $N_2$ nhưng theo hướng ngược lại (theo định luật III Newton). Các lực này tạo ra các moment lực (đối với trục quay $\text{O}$) có độ lớn tương ứng
$$M_1=N_1 \frac{2}{3}l\\
M_2=N_2\frac{1}{3}l$$
nhưng có tác dụng làm thanh quay theo hai chiều ngược nhau.
Như đã phân tích ở trên, do thanh nhẹ nên các moment lực tác dụng lên nó luôn cân bằng nhau, tức là
\begin{align}
N_1 \frac{2}{3}l=N_2\frac{1}{3}l\\
N_2=2N_1\tag{4.3}\label{4.3}
\end{align}
Bây giờ chúng ta phải tìm phương trình liên kết động học, tức là mối liên hệ giữa $a_1$ và $a_2$. Cũng trong hình 14, hình ảnh thanh mờ là vị trí của thanh sau thời gian $Δt$ rất nhỏ, tại đó các vật có các tọa độ $x_1$ và $x_2$. Từ các tam giác đồng dạng ta suy ra hệ thức
$$x_1=2x_2$$
Suy luận tương tự như các bài toán trên ta lần lượt có
\begin{align}
v_1=2v_2\\
a_1=2a_2\tag{4.4}\label{4.4}
\end{align}
Kết hợp bốn phương trình (\ref{4.1}), (\ref{4.2}), (\ref{4.3}), (\ref{4.4}) ta suy ra được
\begin{equation}
\begin{aligned}
& a_1=2 a_2=\frac{2}{5} g \text {, } \\
& N_2=2 N_1=\frac{6}{5} \mathrm{mg} \\
&
\end{aligned}
\end{equation}
Vì tổng các lực tác dụng lên một thanh không trọng lượng bằng 0 nên phản lực của trục bằng
$$N=N_1+N_2=\frac{9}{5}mg$$
Trong nhiều bài toán được thiết kế để áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, người ta yêu cầu tìm vận tốc của các vật tại một thời điểm nhất định. Trong trường hợp này, cần phải thiết lập các kết nối động học không phải giữa các gia tốc mà giữa các vận tốc của các vật. Khi giải quyết các vấn đề như vậy, sẽ rất hữu ích khi sử dụng thực tế là tổng công được thực hiện bởi bất kỳ phần tử kết nối lý tưởng nào đều bằng không. Lý do vật lý cho điều này là không có năng lượng nào có thể được lưu trữ trong một phần tử như vậy, cả động năng (khối lượng của nó bằng không), và thế năng (phần tử không bị biến dạng).
Bài toán 5. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Sợi dây liên kết các vật có lực căng luôn thay đổi
Hai vật giống nhau khối lượng $m$ được nối vào hai đầu một sợi dây, một vật khối lượng $M$ được gắn vào chính giữa sợi dây đó. Sợi dây được vắt qua hai ròng rọc cố định để treo hai vật giống nhau. Ban đầu, vật có khối lượng $M$ được giữ ở cùng độ cao với các ròng rọc (đoạn dây giữa hai ròng rọc nằm ngang), vật $M$ cách đều các ròng rọc với khoảng cách $l$, sau đó thả nhẹ để hệ chuyển động (Hình 15).
Coi các ròng rọc và sợi dây là lý tưởng, kích thước của các ròng rọc rất nhỏ so với khoảng cách $2l$ giữa chúng, khoảng cách ban đầu từ các vật $m$ đến ròng rọc phía trên chúng đủ lớn để không có va chạm giữa các vật với các ròng rọc. Hãy tìm tốc độ của các vật khi đoạn dây giữa vật $M$ với một ròng rọc tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng. Kiểm tra kết quả mà bạn đã tìm được.
Vào thời điểm đang xét, độ cao của vật khối lượng $M$ đã giảm đi một lượng $H=l\cot{\alpha}$, và mỗi vật khối lượng $m$ đã tăng độ cao thêm $h=\frac{l}{\sin{\alpha}}-l$. Theo định luật bảo toàn năng lượng, \begin{align} \frac{MV^2}{2}+2\frac{mv^2}{2}-MgH+2mgh=0\tag{5.1}\label{5.1} \end{align} Để tìm mối liên kết giữa $v$ và $V$, ta có thể áp dụng phương pháp trực tiếp. Trong hình 15, đặt chiều dài đoạn dây từ vật $M$ đến ròng rọc là $L$, ta rút ra \begin{align} l^2+H^2=L^2\tag{5.2}\label{5.2} \end{align} Từ vị trí đang xét, sau một khoảng thời gian $Δt$ rất nhỏ vật $M$ dịch chuyển xuống một khoảng bằng $ΔH$, các vật $m$ dịch chuyển lên một khoảng bằng $Δh=ΔL$, thì \begin{align} l^2+\left(H+ΔH\right)^2=\left(L+Δh\right)^2\\ l^2+H^2+2H.ΔH+\left(ΔH\right)^2=L^2+2L.Δh+\left(Δh\right)^2 \end{align} Kết hợp với (\ref{5.1}), đồng thời bỏ đi vô cùng bé bậc hai $\left(ΔH\right)^2$ và $\left(Δh\right)^2$, ta còn lại \begin{align} 2H.ΔH=2L.Δh \end{align} Và chú ý rằng, trong hình 15, tỉ số $$\cos{\alpha}=\frac{H}{L}$$ Tức là \begin{align} ΔH.\cos{\alpha}=Δh \end{align} Chia cả hai vế cho $Δt$ ta được \begin{align} V.\cos{\alpha}=v\tag{5.3}\label{5.3} \end{align} Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn để có được mối quan hệ này từ những cân nhắc sau đây. Do khoảng cách $L$ từ vật có khối lượng $M$ đến ròng rọc tại thời điểm đang xét tăng theo tốc độ $v$ (sợi chỉ được kéo ra với tốc độ như vậy), nên hình chiếu của vận tốc $\vec{V}$ của vật này theo hướng của sợi dây phải bằng $v$. Trong khi vận tốc $\vec{V}$ của $M$ được có phương thẳng đứng, điều này được biểu diễn ở hình 16 dưới đây.
Từ hình 16 dễ dàng suy ra được (\ref{5.3}).
Kết hợp (\ref{5.1}) và (\ref{5.3}) ta được
\begin{equation}
V=\sqrt{2gl\frac{M\cos{\alpha}+2m(\sin{\alpha}-1)}{\sin{\alpha}\left(M+2m \cos^2{\alpha}\right)}}
\end{equation}
Hãy tìm hiểu xem độ cao của vật $M$ sẽ luôn giảm (chúng tôi coi các sợi dây rất dài) hay tại một thời điểm nào đó, nó sẽ dừng lại và bắt đầu tăng lên. Để vật dừng lại thì $V=0$, ta đưa điều kiện này về
$$\tan{\frac{\alpha}{2}}=\frac{2m-M}{2m+M}$$
Tức là vật dừng lại và chuyển động ngược lên chỉ xảy ra nếu $M \lt 2m$. Nếu $M\gt 2m$ thì vận tốc của vật ở giữa sẽ lớn hơn không mọi thời điểm và tốc độ của nó sẽ tăng vô hạn ($V\rightarrow ∞$ với $a\rightarrow 0$ - bạn tự kiểm tra). Nếu $M =2m$, thì khi vật ở giữa được hạ xuống, hệ thống ngày càng tiến gần đến trạng thái cân bằng, gia tốc của các vật có xu hướng bằng $0$ và vận tốc của chúng có xu hướng đạt đến giá trị giới hạn $V_∞=\sqrt{gl}$ (bạn tự xem).
Tôi muốn lưu ý rằng khi sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, lực căng của sợi dây hoàn toàn không được đưa vào tính toán.
Ví dụ cuối cùng minh họa các phương pháp để đạt được các liên kết động học trong quá trình chuyển động của các thanh đặc (hoặc các liên kết rắn khác). Hãy nhớ lại rằng khi một vật rắn chuyển động, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không thay đổi.
Bài toán 6. Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11 - Liên kết động học giữa các vật trên một thanh nhẹ chuyển động
Một thanh không trọng lượng có chiều dài $l$ với các vật nặng khối lượng $m$ gắn ở hai đầu thanh, trượt dọc theo các cạnh của một góc nhị diện vuông (Hình 17).
Tìm vận tốc của các quả nặng tại thời điểm thanh tạo một góc $\alpha$ với phương ngang. Bỏ qua mọi ma sát. Ban đầu thanh ở vị trí thẳng đứng.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng \begin{align} mg\left(l-y\right)=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{mv_2^2}{2}\tag{6.1}\label{6.1} \end{align} trong đó $y=l\sin{\alpha}$ là tọa độ của vật thứ hai tại thời điểm đang xét. Để có phương trình liên kết động học, bạn có thể áp dụng phương pháp trực tiếp, như đã thực hiện trong bài toán trước (tự làm). Liên kết động học nhanh hơn và rõ ràng hơn thu được từ những suy nghĩ như vậy. Vì khoảng cách giữa các quả nặng không thay đổi, nên tại mỗi thời điểm, tốc độ mà quả nặng thứ nhất “ra” khỏi quả thứ hai bằng với tốc độ quả nặng thứ hai “tiến lại gần” quả thứ nhất. Nói cách khác, các hình chiếu vận tốc của vật lên thanh tại bất kỳ thời điểm nào cũng như nhau (xem hình 18):
\begin{align} v_1\cos{\alpha}=v_2\sin{\alpha}\tag{6.2}\label{6.2} \end{align} Kết hợp (\ref{6.1}) và (\ref{6.2}) rút ra được $$v_1=\sqrt{2gl\sin^2{\alpha}\left(1-\sin{\alpha}\right)}\\ v_2=\sqrt{2gl\cos^2{\alpha}\left(1-\sin{\alpha}\right)} $$ Trong động học của vật rắn, người ta thường sử dụng phép “phân tách” chuyển động phức tạp thành tịnh tiến và quay. Để chứng minh phương pháp này, chúng ta áp dụng nó để thu được giới hạn động học (\ref{6.2}). Trong hệ quy chiếu gắn với vật thứ nhất, thanh thực hiện chuyển động quay thuần túy. Do đó, trong hệ quy chiếu này, tốc độ của vật thứ hai $\vec{v}_{21}$ hướng vuông góc với thanh. Áp dụng công thức cộng vận tốc $\vec{v}_2=\vec{v}_{21}+\vec{v}_1$ (xem hình 19), ta cũng thu được hệ thức (\ref{6.2}).
Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi vật lý 11: Một số bài tập tự giải về Liên kết động học trong các bài toán động lực học
Bài tập 1
Tìm gia tốc của thanh và nêm như trong hình 20. Bỏ qua ma sát.
Bài tập 2
Tìm lực căng của sợi dây trong hệ thống như hình 21. Trong đó sợi dây và các ròng rọc là lí tưởng.
Bài tập 3
Gia tốc của vật trong hệ thống được mô tả trong hình 22 bằng bao nhiêu?
Bài tập 4
Tìm gia tốc của nêm trong hình 23. Bỏ qua ma sát. Chỉ dẫn: Áp dụng phương pháp đã sử dụng vào giải bài toán 2 trong bài viết.
