Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp quy nạp

Mục lục

1. Giới thiệu về phương pháp quy nạp và việc giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp quy nạp
2. Hệ thống các bài toán Vật lý được giải bằng phương pháp quy nạp
• Bài toán 1. Tàu tăng tốc – thời gian toa thứ n
• Bài toán 2. Vật rơi trong khe – số lần va chạm
• Bài toán 3. Bóng nảy trên mặt phẳng nghiêng
• Bài toán 4. Tâm khối thanh gắn dãy khối lượng
• Bài toán 5. Bơm pít-tông – áp suất sau n lần
• Bài toán 6. Mạng điện trở n nút – điện trở tương đương
• Bài toán 7. Nạp tụ nối tiếp – điện áp cực đại
• Bài toán 8. Tường cách âm – độ dày cần thiết
3. Các bài tập tự giải bằng phương pháp quy nạp

Giới thiệu về phương pháp quy nạp và việc giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp quy nạp

Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp quy nạp là cách tiếp cận giúp người học tìm quy luật nhanh, khái quát công thức tổng quát và nâng cao tư duy giải bài tập Vật lý thông qua việc phân tích nhiều trường hợp riêng rồi suy ra kết luận cho trường hợp tổng quát. Trong nghiên cứu khoa học và học tập về thế giới xung quanh, phương pháp dựa trên các suy luận quy nạp được sử dụng rộng rãi. Phương pháp này được gọi là phương pháp quy nạp và thuộc về các phương pháp nghiên cứu khoa học chung. Thuật ngữ «quy nạp» (lat. inductio) có nghĩa là «dẫn đến», còn các kết luận quy nạp là những kết luận được rút ra dựa trên quan sát và thực nghiệm, tức là thu được bằng cách xem xét các trường hợp riêng lẻ và sau đó mở rộng những quy luật đã nhận thấy sang trường hợp tổng quát. Vai trò của phương pháp quy nạp đặc biệt quan trọng trong Vật lý thực nghiệm. Tuy nhiên, phương pháp quy nạp cũng tỏ ra hữu ích khi giải bài tập Vật lý trong chương trình học. Bằng suy luận quy nạp, người ta xác lập được một quy luật hoặc một công thức nào đó trên cơ sở khái quát hóa kết quả của ba hoặc nhiều trường hợp riêng lẻ.

Dưới đây là một số bài toán Vật lý hay mà trong đó quy nạp được xem như một phương pháp heuristic (gợi tìm) để giải, giúp bạn nhận dạng dạng bài, rút gọn lập luận và trình bày lời giải mạch lạc. Không loại trừ khả năng những bài toán này còn có các cách giải khác.

Hệ thống các bài toán Vật lý được giải bằng phương pháp quy nạp

Bài toán 1. Tàu tăng tốc – thời gian toa thứ $n$

Một người quan sát đứng tại mép trước của đoàn tàu điện ngay tại thời điểm bắt đầu chuyển động, nhận thấy rằng toa thứ nhất đi qua ông trong thời gian \( t_1 = 4\,\text{s} \). Hỏi toa thứ mười sẽ đi qua ông trong thời gian bao lâu? Chuyển động được coi là chuyển động nhanh dần đều.

Lời giải (Bài toán 1)

Chiều dài của toa thứ nhất

\[ L = \frac{a t_1^2}{2}, \]

còn của toa thứ hai

\[ L = v_1 t_2 + \frac{a t_2^2}{2}, \]

trong đó

\[ v_1 = a t_1. \]

Ở đây \( v_1 \) là vận tốc của mép trước toa thứ hai khi nó đi ngang qua người quan sát, \( t_2 \) là thời gian mà toa thứ hai đi qua người quan sát. Rõ ràng rằng

\[ \frac{a t_1^2}{2} = a t_1 t_2 + \frac{a t_2^2}{2} \]

và

\[ t_2 = t_1(\sqrt{2} - \sqrt{1}). \]

Đối với toa thứ ba

\[ L = v_2 t_3 + \frac{a t_3^2}{2}, \]

trong đó

\[ v_2 = v_1 + a t_2 = a(t_1 + t_2). \]

Do đó,

\[ t_3^2 + 2(t_1 + t_2)t_3 - t_1^2 = 0, \]

\[ t_3 = t_1(\sqrt{3} - \sqrt{2}). \]

Đối với toa thứ tư, ta nhận được

\[ t_4 = t_1(\sqrt{4} - \sqrt{3}). \]

Dựa trên suy luận quy nạp từ các biểu thức đối với \( t_1, t_2, t_3 \) và \( t_4 \), ta tìm được quy luật sau cho \( t_n \):

\[ t_n = t_1(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}). \]

Vậy,

\[ t_{10} = 4\,\text{s}(\sqrt{10} - \sqrt{9}) \approx 0{,}65\,\text{s}. \]

Bài toán 2. Vật rơi trong khe – số lần va chạm

Một vật nhỏ đàn hồi trượt với vận tốc \( v_0 = 10\,\text{m/s} \) trên một mặt phẳng nằm ngang, tiến gần đến một khe hở (xem Hình vẽ 1). Khe được tạo thành bởi hai vách song song thẳng đứng, cách nhau một khoảng \( d = 5\,\text{cm} \). Độ sâu của khe \( H = 1\,\text{m} \). Hãy xác định vật sẽ va chạm vào các vách bao nhiêu lần trước khi chạm đáy. Các va chạm với vách là hoàn toàn đàn hồi. Lấy \( g = 9{,}8\,\text{m/s}^2 \).

Hình vẽ 1

Lời giải (Bài toán 2)

Khi va chạm đàn hồi với các vách của khe, góc phản xạ bằng góc tới, và thời gian bay của vật giữa các vách \( t \) là không đổi và bằng

\[ t = \frac{d}{v_0}. \]

Va chạm thứ nhất xảy ra ở độ sâu

\[ h_1 = v_{y1} t + \frac{g t^2}{2}, \]

va chạm thứ hai — ở độ sâu

\[ h_2 = v_{y2} t + \frac{g t^2}{2} \]

tính từ điểm va chạm thứ nhất,

va chạm thứ ba — ở độ sâu

\[ h_3 = v_3 t + \frac{g t^2}{2} \]

tính từ điểm va chạm thứ hai, v.v. Dựa trên suy luận quy nạp, ta viết các giá trị sau của các thành phần thẳng đứng của vận tốc của vật:

\[ v_1 = 0,\; v_2 = g t,\; v_3 = 2 g t,\; \ldots,\; v_n = (n-1) g t, \]

trong đó \(n\) là số thứ tự của va chạm. Hiển nhiên rằng

\[ h_1 + h_2 + \ldots + h_n = H, \]

hay

\[ (v_1 + v_2 + \ldots + v_n)t + n\frac{g t^2}{2} = H. \]

Tiếp theo, lần lượt ta có

\[ (g + 2 g t + 3 g t + \ldots + (n-1) g t)t + n\frac{g t^2}{2} = H, \]

\[ g t^2(1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1)) + n\frac{g t^2}{2} = H, \]

\[ \ldots \]

\[ \frac{g t^2}{2}n(n-1) + n\frac{g t^2}{2} = H. \]

Từ đó suy ra

\[ n = \sqrt{\frac{2H}{g t^2}} = \frac{v_0}{d}\sqrt{\frac{2H}{g}} \approx 90{,}3. \]

Vì số lần va chạm là một số tự nhiên, nên \(n = 90\). Vật sẽ va vào các vách của khe \(90\) lần.

Bài toán 3. Bóng nảy trên mặt phẳng nghiêng

Quả bóng rơi tự do từ độ cao \( h = 0{,}1\,\text{m} \) xuống một tấm ván nghiêng tạo với phương ngang góc \( \alpha = 30^\circ \). Quả bóng, khi nảy lên, chuyển động dọc theo tấm ván (Hình vẽ 2). Hãy tìm khoảng cách giữa điểm va chạm thứ chín và thứ mười của quả bóng với tấm ván. Các va chạm của bóng với tấm ván là hoàn toàn đàn hồi.

Hình vẽ 2

Lời giải (Bài toán 3)

Ta tìm khoảng cách giữa các điểm va chạm thứ nhất và thứ hai \((L_{1,2})\), thứ hai và thứ ba \((L_{2,3})\), thứ ba và thứ tư \((L_{3,4})\). Để thuận tiện, chọn trục tọa độ dọc theo tấm ván và vuông góc với nó (Hình vẽ 3).

Hình vẽ 3

Trong trường hợp này, các hình chiếu gia tốc của quả bóng lên các trục \(x\) và \(y\) sẽ lần lượt bằng

\[ a_x = g_x = g\sin\alpha \quad \text{và} \quad a_y = g_y = -g\cos\alpha. \]

Vận tốc của bóng tại thời điểm va chạm đầu tiên với tấm ván bằng

\[ v_0 = \sqrt{2gh}. \]

Vận tốc ban đầu của bóng sau va chạm thứ nhất bằng \(v_0\) và tạo với trục \(y\) một góc \(\alpha\), còn các hình chiếu của vận tốc của bóng bằng

\[ v_{0x} = v_0\sin\alpha \quad \text{và} \quad v_{0y} = v_0\cos\alpha. \]

Khoảng cách giữa các điểm va chạm thứ nhất và thứ hai của bóng với tấm ván bằng

\[ L_{1,2} = (v_0\sin\alpha)t_1 + \frac{(g\sin\alpha)t_1^2}{2}, \]

trong đó \(t_1\) là thời gian bay của bóng. Thời gian này được xác định bởi phương trình

\[ (v_0\cos\alpha)t_1 - \frac{(g\cos\alpha)t_1^2}{2} = 0. \]

Từ đó

\[ t_1 = \frac{2v_0}{g} \quad \text{và} \quad L_{1,2} = 8h\sin\alpha. \]

Vận tốc của bóng tại thời điểm va chạm thứ hai được xác định bởi các đẳng thức

\[ v_{1x} = v_{0x} + a_x t_1 = v_0\sin\alpha + (g\sin\alpha)t_1 = 3v_0\sin\alpha, \]

\[ v_{1y} = v_{0y} + a_y t_1 = v_0\cos\alpha - (g\cos\alpha)t_1 = -v_0\cos\alpha. \]

Sau va chạm thứ hai, các vận tốc này bằng

\[ v_{2x} = v_{1x}, \quad v_{2y} = -v_{1y} = v_0\cos\alpha = v_{0y}. \]

Khoảng cách giữa các điểm va chạm thứ hai và thứ ba bằng

\[ L_{2,3} = (3v_0\sin\alpha)t_2 + \frac{(g\sin\alpha)t_2^2}{2}, \]

trong đó \(t_2\) là thời gian bay. Vì vận tốc ban đầu theo trục \(y\) giống như ở va chạm thứ nhất, nên \(t_2 = t_1\). Do đó

\[ L_{2,3} = 16h\sin\alpha. \]

Tương tự có thể chỉ ra rằng

\[ L_{3,4} = 24h\sin\alpha. \]

Dựa trên phương pháp quy nạp, ta viết

\[ L_{n,n+1} = 8nh\sin\alpha. \]

Suy ra,

\[ L_{9,10} = 8\cdot 9\cdot 0{,}1\,\text{m}\cdot \sin 30^\circ = 3{,}6\,\text{m}. \]

Bài toán 4. Tâm khối thanh gắn dãy khối lượng

Hãy tìm vị trí của tâm khối của một thanh không trọng lượng với các quả cầu gắn trên nó (xem Hình vẽ 4).

Hình vẽ 4

Lời giải (Bài toán 4)

… với các quả cầu (xem Hình vẽ 4). Khoảng cách giữa các tâm của các quả cầu là

\[ d = 10\,\text{cm}, \]

khối lượng các quả cầu tạo thành một cấp số cộng

\[ 1,\;2,\;3,\;\ldots,\;100\,\text{kg}. \]

Trước hết xét hai quả cầu có khối lượng \(1\,\text{kg}\) và \(2\,\text{kg}\). Tâm khối của hệ như vậy nằm cách đầu nhẹ của thanh một khoảng bằng hai phần ba chiều dài thanh:

\[ L_2=\frac{2}{3}d. \]

Tiếp theo, tính vị trí tâm khối đối với ba quả cầu có khối lượng \(1\,\text{kg}\), \(2\,\text{kg}\) và \(3\,\text{kg}\):

\[ L_3=\frac{4}{3}d \]

và đối với bốn quả cầu có khối lượng \(1\,\text{kg}\), \(2\,\text{kg}\), \(3\,\text{kg}\) và \(4\,\text{kg}\):

\[ L_4=\frac{6}{3}d. \]

Dựa trên phương pháp quy nạp, đối với \(n\) quả cầu ta viết vị trí tâm khối của thanh dưới dạng tổng quát:

\[ x_n=\frac{2(n-1)}{3}d. \]

Do đó, vị trí tâm khối của thanh không trọng lượng với \(100\) quả cầu gắn trên nó nằm tại điểm có tọa độ

\[ L_{100}=\frac{2\cdot 99}{3}\cdot 10\,\text{cm} = 660\,\text{cm}. \]

Bài toán 5. Bơm pít-tông – áp suất sau $n$ lần

Một bơm pít-tông, trong mỗi lần bơm, hút vào một thể tích không khí \(V_0\). Khi pít-tông bắt đầu chuyển động từ trái sang phải, van \(a\) mở và một phần khối lượng không khí đi vào xi lanh của pít-tông. Khi chuyển động từ phải sang trái, van \(a\) đóng và van \(b\) mở, qua đó khí đi vào hệ thống.

Hình vẽ 5

Khi bơm bằng bơm này, không khí từ bình có thể tích \(V\) đã được bơm \(n\) lần. Hãy tìm áp suất thiết lập trong bình, trong đó áp suất ban đầu trong bình là \(p_0\). Quá trình là đẳng nhiệt.

Lời giải (Bài toán 5)

Sau một lần bơm, áp suất trong bình sẽ bằng

\[ p_1=\frac{p_0V}{V+V_0}, \]

sau lần bơm thứ hai

\[ p_1V=p_2(V+V_0) \]

và do đó,

\[ p_2=\frac{p_0V}{(V+V_0)^2}, \]

sau lần thứ ba, áp suất sẽ là

\[ p_3=\frac{p_0V}{(V+V_0)^3}. \]

Sau \(n\) lần bơm, áp suất trong bình sẽ là

\[ p_n=\frac{p_0V}{(V+V_0)^n}. \]

Bài toán 6. Mạng điện trở n nút – điện trở tương đương

Có \(20\) kẹp, mỗi kẹp được nối với tất cả các kẹp còn lại thông qua các điện trở giống nhau, điện trở của mỗi cái bằng \(10\,\text{Ohm}\). Hãy tìm điện trở giữa bất kỳ hai kẹp nào.

Lời giải (Bài toán 6)

Ban đầu lấy hai kẹp, tức là \(n=2\) (Hình vẽ 6,a). Điện trở giữa chúng

\[ R_2=R. \]

Tiếp theo lấy ba kẹp (Hình vẽ 6,b). Điện trở giữa các kẹp \(1\) và \(2\) bằng

\[ R_3=\frac{2R}{3}. \]

Hình vẽ 6

Lấy bốn kẹp (Hình vẽ 6,c). Nối nguồn dòng điện vào các kẹp \(1\) và \(2\). Vì tại các điểm \(3\) và \(4\) các thế là như nhau, nên qua điện trở nối hai kẹp này sẽ không có dòng điện chạy. Do đó, có thể bỏ nó đi. Như vậy,

\[ R_4=\frac{R}{2}=\frac{2R}{4}. \]

Kết quả tổng quát (Bài toán 6)

\[ R_2=\frac{2R}{2},\quad R_3=\frac{2R}{3},\quad R_4=\frac{2R}{4}, \]

ta tìm được công thức tổng quát cho điện trở giữa bất kỳ hai kẹp nào:

\[ R_n=\frac{2R}{n}\quad (n>2). \]

Vậy,

\[ R_{20}=\frac{2\cdot 10\,\text{Ohm}}{20}=1\,\text{Ohm}. \]

Bài toán 7. Nạp tụ nối tiếp – điện áp cực đại

Một tụ điện có điện dung \( C_0=20\,\text{mkF} \) được nạp đến hiệu điện thế \( U_0=400\,\text{V} \) và nối với một tụ điện có điện dung \( C=1\,\text{mkF} \), kết quả là tụ sau được nạp điện. Ngắt tụ này ra, rồi nạp tụ thứ hai theo cách tương tự (cũng có điện dung \( C=1\,\text{mkF} \)), tụ thứ ba, v.v. Sau đó nối các tụ điện lại nối tiếp. Hỏi có thể thu được hiệu điện thế cực đại nào theo cách này?

Lời giải (Bài toán 7)

Điện tích ban đầu của tụ ban đầu

\[ q_0=C_0U_0. \]

Sau khi nối tụ thứ nhất, điện tích \(q_0\) sẽ phân bố giữa hai tụ có điện dung \(C_0\) và \(C\). Sau khi tách ra, trên cả hai tụ sẽ thiết lập hiệu điện thế

\[ U_1=\frac{q_0}{C_0+C}=\frac{C_0U_0}{C_0+C}. \]

Điện tích còn lại trên tụ có điện dung \(C_0\) bằng

\[ q_1=C_0U_1=\frac{C_0^2U_0}{C_0+C}. \]

Khi nạp tụ thứ hai, điện áp trên cả hai tụ (có điện dung \(C_0\) và \(C\)) trở thành

\[ U_2=\frac{q_1}{C_0+C}=U_0\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^2, \]

và sau khi nối tụ thứ ba —

\[ U_3=U_0\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^3. \]

Rõ ràng,

\[ U_n=U_0\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^n. \]

Tiếp theo, ta viết công thức cho hiệu điện thế cực đại dưới dạng tổng vô hạn của một cấp số nhân giảm:

\[ U=U_1+U_2+U_3+\ldots+U_n= \]

\[ =U_0\left(\frac{C_0}{C_0+C}+\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^2+\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^3+\ldots+\left(\frac{C_0}{C_0+C}\right)^n\right). \]

Cộng cấp số nhân này, ta được

\[ U=\frac{C_0U_0}{C}=8000\,\text{V}. \]

Bài toán 8. Tường cách âm – độ dày cần thiết

Cường độ âm thanh (tiếng ồn) phía sau bức tường là \(10\,\text{W/m}^2\) (ngưỡng gây cảm giác đau). Tường được làm bằng vật liệu hấp thụ âm. Tường phải dày bao nhiêu để trong phòng còn lại mức cường độ âm cho phép là \(10^{-10}\,\text{W/m}^2\), nếu cường độ âm qua mỗi \(1\,\text{mm}\) vật liệu giảm đi \(10\%\)?

Lời giải (Bài toán 8)

Hãy tưởng tượng chia tường thành các lớp dày \(1\,\text{mm}\). Sau khi đi qua lớp thứ nhất, cường độ âm là

\[ I_1=I_0(1-\beta), \]

trong đó

\[ I_0=10\,\text{W/m}^2,\quad \beta=0{,}1. \]

Tương tự, sau khi đi qua lớp thứ hai

\[ I_2=I_1(1-\beta)=I_0(1-\beta)^2, \]

sau khi đi qua lớp thứ ba

\[ I_3=I_2(1-\beta)=I_0(1-\beta)^3. \]

Khi đó đối với lớp thứ \(n\)

\[ I_n=I_0(1-\beta)^n. \]

Từ đây

\[ n=\frac{\lg\left(\frac{I_n}{I_0}\right)}{\lg(1-\beta)}=\frac{\lg 10^{-11}}{\lg(1-0{,}1)}\approx 240. \]

Như vậy, độ dày cần tìm của bức tường bằng

\[ 240\,\text{mm}. \]

Các bài tập tự giải bằng phương pháp quy nạp

1. Trong thời gian bao lâu một vật rơi tự do không có vận tốc ban đầu đi hết mét thứ mười của quãng đường rơi?
2. Có một mạch điện chứa \(10\) tiếp điểm. Mỗi cặp tiếp điểm được nối với nhau qua một tụ điện có điện dung \(10\,\text{mkF}\). Khi đo giữa hai tiếp điểm bất kỳ, sẽ phát hiện điện dung tương đương bằng bao nhiêu?

Lời kết

Qua loạt ví dụ trên, bạn có thể thấy Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp quy nạp không chỉ là một “mẹo giải nhanh”, mà còn là cách rèn tư duy tìm quy luật, khái quát công thức tổng quát và nhìn ra cấu trúc của bài toán từ vài trường hợp đầu. Khi đã quen, bạn sẽ xử lý tốt nhiều dạng bài quen thuộc như chuyển động nhanh dần đều, va chạm đàn hồi, tâm khối, mạch điện đối xứng, cấp số nhân trong tụ điện và cả suy giảm cường độ âm.

Nếu bạn muốn mình phát triển bài viết này thành một “chuỗi” dễ học hơn, hãy để lại bình luận: bạn thấy Bài toán số mấy hay/khó nhất? và bạn muốn thêm dạng bài nào (cơ học, điện xoay chiều, quang học, nhiệt học…). Mình cũng có thể làm thêm phần bài tập tự luyện + đáp án theo đúng tinh thần quy nạp để bạn luyện kỹ năng nhận dạng quy luật.

Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè đang học Vật lý và lưu lại để dùng khi ôn thi. Bạn có câu hỏi nào cần mình giải theo phương pháp quy nạp không? Cứ gửi đề ngay dưới phần bình luận nhé!

↑ Lên đầu trang