Năm 2009, sau hai năm
kể từ kì thi đại học với hình thức trắc nghiệm khách quan triển khai, tôi đã
nghĩ ra một hệ trục tọa độ để khảo sát các đại lượng trong một hệ dao động điều
hòa, dùng để “dạy thêm” theo giáo trình của tôi. Chẳng biết gọi tên hệ trục đó
là gì, nên tôi đặt nó là hệ tọa độ 1000 kg, là tên của tôi. Bài viết này
xin chia sẻ cùng các bạn hệ tọa độ thú vị này và ưu điểm của nó qua một số bài
toán về dao động điều hòa.
Đường tròn lượng giác
và đường tròn pha
Ta gọi số đo của cung AM là φ thì đường
tròn lượng giác được vẽ như hình dưới đây
Trong dao động điều hòa ta có những đại lượng biến
thiên điều hòa như li độ x, vận tốc v, gia tốc a, lực hồi
phục F, …. Chúng ta viết thành Đến đây tôi nghĩ đến
việc đưa vào đường tròn lượng giác các trục xx, vx, ax và đường tròn lượng giác bây giờ tôi gọi là đường tròn pha,
nó như hình dưới đây:
Trạng thái của một dao
động điều hòa được xác định bởi điểm pha M có pha dao động bằng ωt + φ.
Một số bài toán áp dụng hệ tọa
độ 1000 kg
Bài toán 1. Một vật dao
động điều hòa trên trục Ox với phương trình x = 10cos(2πt + π/6) cm. Khi vật
qua vị trí cách vị trí cân bằng 5 cm lần thứ 2 (kể từ khi t = 0) thì vận tốc và
gia tốc của vật bằng bao nhiêu?
Vật cách vị trí cân bằng 5 cm tức
là x = ±5 cm hay xx = ±1/2, bằng +1/2 hay -1/2 đều được,
miễn là lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
+ Pha ban đầu π/6 ta vẽ
được điểm pha ban đầu M0.
+ Lần thứ nhất ứng với điểm pha M1, lần
thứ hai ứng với điểm pha M2 như hình
vẽ dưới đây.
Tại đó
Bài toán 2.
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T. Tại thời điểm t =
t1 chất điểm cách vị trí cân bằng 5 cm, đến thời điểm t = t2
= t1 + T/4 chất điểm có tốc độ 60 cm/s. Xác định giá trị của T.
Thời điểm t1
được biểu diễn bằng điểm pha M1, do không có dữ kiện rõ ràng nên ta
lấy một điểm bất kì trên đường tròn pha và hoành độ có độ x*.
Điểm pha M2 (có tung độ v*) thì phải xác định theo
M1.
Thời gian T/4 ứng với một cung π/2 trên đường
tròn pha. Tức là cung M1M2 bằng 1 vuông. Hai tam giác gạch
chéo bằng nhau.
Tức là ta có thể viết |v*|
= |x*|


Bài toán 3. Hai vật M1 và
M2 dao động điều hòa cùng tần số. Hình dưới đây là đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của li độ x1 của M1 và
vận tốc v2 của M2
theo thời gian t. Xác định độ lệc pha giữa hai dao động của M2 và
M1.
Chọn hai thời điểm t1
và t2 trên đồ thị như hình. Mỗi độ chia theo trục t
bằng T/12, nên t2 = t1 + T/6.
Tại thời điểm t1
vận tốc v2 cực đại ứng với điểm M2(t1)
trên đường tròn.
Tại thời điểm t2 li độ x1 đạt cực tiểu
ứng với điểm M1(t2) trên đường tròn.
Vì t1 và t2
lệch nhau T/6 nên M1(t2) và M1(t1)
lệch nhau một cung π/3.
Độ lệch pha giữa hai dao động phải được so sánh giữa hai điểm pha ở cùng
thời điểm, tức là hai điểm M2(t1) và M1(t1),
độ lệch đó là
Bài toán 4. Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng
O. Tại thời điểm t1, vật đi qua vị trí cân bằng. Trong khoảng thời
gian từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 = t1 + 1/6
(s), vật không đổi chiều chuyển động và tốc độ của vật giảm còn một nửa. Trong
khoảng thời gian từ thời điểm t2 đến thời điểm t3 = t2
+ 1/6 (s), vật đi được quãng đường 6 cm. Tốc độ cực đại của vật trong quá trình
dao động bằng bao nhiêu?
Ta
phân tích sự chuyển động như mô tả trong đề bài như hình vẽ dưới đây.
Trên đó, cung M1M2 bằng cung M2M3
và bằng π/3



Trên đây là một số ví dụ áp dụng hệ tọa độ pha trong dao động điều hòa.
Hệ tọa độ này không chỉ áp dụng trong dao động cơ mà còn vận dụng rất hiệu quả
trong dao động điện từ.
Rất mong sự chia sẻ này
giúp ích phần nào với các bạn.