Chuyên đề dao động điều hòa: Các bài toán mức độ 4
Biên độ dao động điều hòa
Dao động điều hòa là loại chuyển động cơ quan trọng nhất. Do đó, sẽ rất hữu ích khi chú ý đến một số tính chất đặc biệt của loại chuyển động này.
Chuyên đề dao động điều hòa bắt đầu với những kiến thức cơ bản
Trong quá trình dao động điều hòa, độ dời $x$ của vật khỏi vị trí cân bằng phụ thuộc vào thời gian $t$ theo quy luật $$x=X\cos{\left(\omega t+\varphi\right)}$$ Ở đây $X$ là giá trị của độ dịch chuyển lớn nhất, tức là biên độ dịch chuyển của vật khỏi vị trí cân bằng, $ωt + \varphi$ là pha dao động, $ω$ là tần số góc dao động, $\varphi$ là pha dao động ban đầu. Đạo hàm độ dời $x$ với thời gian $t$ để ta tìm được vận tốc $v$ của vật dao động điều hòa lên trục tọa độ $Ox$: $$v=-\omega X\sin{\left(\omega t+\varphi\right)}$$ Tích của $X$ và $ω$ ở vế phải của phương trình này có nghĩa là vận tốc cực đại $V$, tức là biên độ vận tốc của vật dao động điều hòa. Do đó, các biên độ vận tốc và độ dịch chuyển có quan hệ với nhau bằng quan hệ $$V=\omega X$$ Đạo hàm theo $t$ vận tốc $v$ ta tìm được gia tốc của vật dao động điều hòa trên trục $Ox$: $$a=-\omega^2X\cos{\left(\omega t+\varphi\right)}$$ Tích của các đại lượng $X$ và $ω^2$ ở vế phải của phương trình là giá trị của gia tốc cực đại A, tức là biên độ gia tốc của vật dao động điều hòa. Nói cách khác, biên độ gia tốc và độ dịch chuyển được liên hệ với nhau bởi biểu thức $$A=\omega^2X$$ Khi xét các dao động trong cơ học, thường thuận tiện hơn khi mô tả chúng không phải bằng ngôn ngữ của lực mà bằng ngôn ngữ của năng lượng. Giả sử hệ đang nghiên cứu sao cho thế năng và động năng của nó được mô tả bằng công thức $$W_\text{t}=\frac{1}{2}\alpha x^2, W_\text{đ}=\frac{1}{2}\beta \left(x'\right)^2$$ Trong đó $α$ và $β$ là các hằng số dương (tham số), $х$ và $x′$ là độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng và đạo hàm cấp một của nó, tức là $v$. Định luật bảo toàn năng lượng được viết dưới dạng $$\frac{1}{2}\alpha x^2+\frac{1}{2}\beta \left(x'\right)^2=\text{const}$$ Đạo hàm đẳng thức này theo thời gian, chúng ta thu được phương trình vi phân $$x''+\frac{\alpha}{\beta}x=0$$ Trong đó $x′′$ là đạo hàm cấp hai của $x$ theo thời gian, tức là gia tốc $a$. Bằng cách thay thế trực tiếp, người ta có thể xác minh rằng nghiệm của phương trình này là hàm $$x=X\cos{\left(\omega t+\varphi\right)}$$ Trong đó $$\omega=\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$ Như vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng nếu năng lượng của hệ đang nghiên cứu được mô tả bằng công thức trên thì chuyển động là dao động điều hòa với tần số tuần hoàn xác định theo $\omega$. Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu về một số bài toán cụ thể.
Các bài toán minh họa cho chuyên đề dao động điều hòa
Bài toán 1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo thẳng đứng
Vị trí cân bằng cách vị trí ban đầu của vật một đoạn $X = \frac{mg}{k}$. Dao động của độ dịch chuyển $x$ của vật so với vị trí cân bằng sẽ xảy ra theo định luật $x\left(t\right)= X\cos{ωt}$ (trục $Ox$ thẳng đứng hướng lên), trong đó $ω = \frac{k}{m}$ là tần số góc của dao động.
Tại thời điểm ban đầu, lò xo không bị biến dạng do đó lúc này gia tốc của vật bằng gia tốc tự do: $a = -g$ và có độ lớn cực đại. Tốc độ cực đại đạt được khi vật qua vị trí cân bằng. Biên độ $V$ của vận tốc dao động tốc độ liên hệ với biên độ $A$ của gia tốc bằng quan hệ $V = \frac{A}{ω}$. Từ đây
$$V=g\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Sau khi đi qua vị trí cân bằng, gia tốc của vật hướng lên, có độ lớn và đạt giá trị cực đại $a = g$ khi dừng lại. Từ định luật II Newton $ma = F + mg$ ta tìm được giá trị cực đại của lực đàn hồi của lò xo là:
$$F=mg-\left(-mg\right)=2mg$$
Bài toán 2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo thẳng đứng
Hãy tìm giá trị của tốc độ mà quả cầu có được ngay sau va chạm đàn hồi tuyệt đối với nhánh âm thoa bằng lập luận như sau: Ban đầu quả cầu đứng yên còn nhánh âm thoa đang chuyển động qua vị trí cân bằng với vận tốc $\vec{V}$. Vì khối lượng nhánh âm thoa rất lớn so với quả cầu nên sự va chạm này giống như quả cầu đập vào bức tường (quả cầu đứng yên và bức tường chuyển động với vận tốc $\vec{V}$ cũng giống như bức tường đứng yên còn quả cầu chuyển động với vận tốc $-\vec{V}$. Kết quả của một va chạm đàn hồi tuyệt đối, vận tốc tương đối của quả cầu thay đổi dấu và trở nên bằng $\vec{V}$. Khi đó tốc độ của quả cầu trong hệ quy chiếu cố định bằng tổng vectơ của tốc độ nhánh và tốc độ tương đối của quả cầu, sẽ bằng $2\vec{V}$. Độ cao mà quả cầu đạt được với tốc độ ban đầu cực đại bằng $Xω$ đối với nhánh âm thoa và bằng $2Xω$ đối với mặt đất. Theo định luật bảo toàn cơ năng, $$\frac{1}{2}m\left(2X\omega\right)^2=mgH$$ Với $m$ là khối lượng của quả cầu. Từ đây, xét quan hệ $ω = 2πf$, ta tìm được biên độ dao động mong muốn: $$X=\frac{1}{2\pi f}\sqrt{\frac{gH}{2}}$$
Bài toán 3. Dao động điều hòa của cân lò xo
Sau khi vật khối lượng $m_2$ rời khỏi hệ, vị trí cân bằng mới của hệ sẽ dịch chuyển lên trên một đoạn $X = \frac{m_2g}{k}$, với $k$ là độ cứng của lò xo. Dao động của độ dời $x$ của đĩa cân so với vị trí cân bằng mới sẽ xảy ra theo định luật điều hòa $x\left(t\right)=X\cos{ωt}$ với tần số góc $ω=\sqrt{\frac{k}{m_1}}$ (trục $OX$ hướng thẳng đứng xuống dưới). Trong quá trình nâng đĩa cân có vật nhỏ sau khi qua vị trí cân bằng thì gia tốc hướng xuống dưới, có độ lớn và đạt giá trị cực đại. $$A=\omega^2X=\frac{kX}{m_1}=\frac{m_2g}{m_1}$$ Nếu $A\lt g$, tức là $m_2\lt m_1$, khi đĩa chuyển động đi xuống thì khối lượng vẫn nằm trên nó. Nếu $A\gt g$, tức là $m_2\gt m_1$ thì vật nhỏ sẽ văng ra khỏi đĩa (trước khi đĩa dừng lại).
Bài toán 4. Thay đổi dao động điều hòa của con lắc đơn bằng cách thay đổi tuần hoàn chiều dài sợi dây
Khi con lắc qua vị trí cân bằng thì ngoại lực nâng quả nặng thêm $∆L$ và thực hiện công $$\left(\frac{mV^2}{L}+mg\right)\Delta L$$ với $m$ là khối lượng của quả nặng, $V$ là tốc độ cực đại của nó. Ở những vị trí cực hạn mà góc lệch của sợi chỉ so với phương thẳng đứng là $± A$ thì chiều dài con lắc tăng thêm $∆L$. Trong trường hợp này, công của ngoại lực là $-mg∆L\cos{A}$. Trong mỗi khoảng thời gian, chiều dài của con lắc tăng và giảm hai lần. Như vậy, tổng năng lượng của con lắc trong thời gian dao động là $$ \Delta W=2\left(\frac{m V^{2}}{L}+m g(1-\cos A)\right) \Delta L $$ Vận tốc cực đại $V$ được xác định với biên độ góc $LA$ bằng quan hệ $V = ωLA$, trong đó $ω = \sqrt{\frac{g}{L}}$ là tần số dao động tròn đều của con lắc, từ đó $$ \Delta W=6 \frac{\Delta L}{L} \frac{m V^{2}}{2}=6 \frac{\Delta L}{L} m g L \frac{A^{2}}{2} $$ Năng lượng của con lắc là $$ W=\frac{m V^{2}}{2}=m g L \frac{A^{2}}{2} $$ vì vậy công thức cho $∆W$ trở thành $$ \Delta W=6 \frac{\Delta L}{L} W $$ Do đó, năng lượng của con lắc sẽ tăng lên một cách có hệ thống, nhận được một gia số nhỏ trong mỗi chu kỳ, tỷ lệ với năng lượng $W$ của chính nó và giá trị $\frac{∆L}{L}$. Do đó, đối với sự gia tăng tương đối của năng lượng, chúng ta thu được $$ \frac{\Delta W}{W}=6 \frac{\Delta L}{L} $$ Bây giờ, hãy tính đến biểu thức cho năng lượng của con lắc $$W=mgL \frac{A^2}{2}$$ Ta tìm thấy $$ \Delta W=\frac{m g L}{2} 2 A \Delta A\ \text {và}\ \frac{\Delta W}{W}=2 \frac{\Delta A}{A} $$ So sánh hai biểu thức cho $\frac{∆W}{W}$, khi biên độ góc tăng tương đối trong khoảng thời gian, ta thu được $$ \frac{\Delta A}{A}=3 \frac{\Delta L}{L} $$
Bài toán 5. Dao động điều hòa của một hạt dọc theo một thanh nhờ lực hấp dẫn
Gắn trục $Ox$ với thanh, gốc O tại trọng tâm của thanh, chiều dương như hình vẽ.
Tại thời điểm $t$, khi hạt ở tọa độ $x$, lực hấp dẫn tác dụng lên hạt và thanh lần lượt là $$F_\text{hạt}=-G\frac{m.\left(\frac{M}{L}2x\right)}{\left(\frac{L}{2}\right)^2}\\ F_\text{thanh}=G\frac{m.\left(\frac{M}{L}2x\right)}{\left(\frac{L}{2}\right)^2}$$
Nếu bạn chưa hiểu hai công thức tính lực hấp dẫn trên thì hãy tham khảo bài viết này nhé: Lực hấp dẫn giữa một chất điểm và một vật có kích thước đáng kể
Gia tốc của thanh đối với hệ quy chiếu đứng yên là $$a_\text{thanh}=\frac{F_\text{thanh}}{M}=\frac{8Gm}{L^3}x$$ Gia tốc của hạt trong hệ quy chiếu gắn với thanh là $$a_\text{hạt}=\frac{F_\text{hạt}+F_\text{q}}{m}$$ Trong đó $F_\text{q}$ là lực quán tính, nó bằng $$F_\text{q}=-ma_\text{thanh}=-\frac{8Gm^2}{L^3}x$$ Thay vào và rút gọn ta được $$a_\text{hạt}=-\frac{8G\left(m+M\right)}{L^3}x$$ Hay $$x''=-\frac{8G\left(m+M\right)}{L^3}x$$ Đây là dao động điều hòa, tần số góc bằng $$\omega=\sqrt{\frac{8G\left(m+M\right)}{L^3}}\approx 0\text{,}77.10^{-6}\ \text{rad/s}$$ Thời gian từ lúc vận tốc bằng không (ở biên) đến khi hạt đi qua trọng tâm của thanh (vị trí cân bằng) là một phần tư chu kì dao động, nó bằng $$\tau=\frac{1}{4}\frac{2\pi}{\omega}\approx 2.10^6\ \text{s}$$ Vận tốc khi qua vị trí cân bằng có độ lớn $$V=\omega d\approx 0\text{,}77.10^{-8}\ \text{m/s}$$
Bài toán 6. Dao động điều hòa của một nguyên tử trong mạng tinh thể
Để xác định tần số góc $ω$ của dao động của nguyên tử, ta chuyển sang dao động điều hòa của một vật khối lượng $m$ vào một lò xo có độ cứng $k$, nằm trên mặt phẳng ngang nhẵn. Khi dịch chuyển một đoạn $x$ khỏi vị trí cân bằng, thì thế năng của vật là $\frac{1}{2}kx^2$, động năng của nó là $\frac{1}{2}mv^2$ và tần số góc của dao động là $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$. Chúng ta hãy trở lại vấn đề của chúng ta và phân tích biểu thức cho thế năng của một nguyên tử trong một tinh thể. Lưu ý rằng tại $r = r_0$ thì thế năng đạt cực tiểu (tự kiểm tra). Khi đó tại các vị trí có độ dịch chuyển nhỏ $δr$ ($δr\ll r$) so với vị trí cân bằng, độ tăng của thế năng có thể được coi là tỷ lệ thuận với bình phương độ dời: $$ \Delta U=U\left(r_{0}+\delta r\right)-U\left(r_{0}\right)=k(\delta r)^{2} / 2 $$ Chúng ta hãy tìm hệ số tỉ lệ $k$. Đối với $x$ nhỏ, công thức gần đúng là $$ \begin{gathered} (1+x)^{n}=1+n x+n(n-1) x^{2} \\ 1 /(1+x)=1-x \end{gathered} $$ và độ tăng của thế năng khi dịch chuyển nhỏ $δr$ khỏi vị trí cân bằng có dạng $$ \begin{aligned} &\Delta U=U\left(r_{0}+\delta r\right)- \\ &-U\left(r_{0}\right)=\left(36 U_{0} / r_{0}^{2}\right)(\delta r)^{2} \end{aligned} $$ Từ đây chúng nhận được $$ k=\frac{72 U_{0}}{r_{0}^{2}}\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{6}{r_{0}} \sqrt{\frac{2 U_{0}}{m}} $$ Biên độ yêu cầu $X_0$ có thể được tìm thấy từ điều kiện lượng tử hóa dao động: $$ E_{0}=h \mathrm{v} / 2=k X_{0}^{2} / 2 $$ $$ \begin{aligned} X_{0}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{h}{m v}} &=\\ &=\sqrt{\frac{h r_{0}}{12 \pi \sqrt{2 m U_{0}}}}=0,06\ \mathrm{nm} \end{aligned} $$
Chúng ta đã cùng tham gia giải 6 bài toán về dao động điều hòa. Không chỉ là con lắc lò xo, con lắc đơn quen thuộc mà còn có sự dao động điều hòa của những liên kết khác trong thự tế. Và tất nhiên, ở đâu có cân bằng bền thì ở đó có thể có dao động điều hòa nếu vật bị dịch chuyển một đoạn nhỏ khỏi vị trí cân bằng bền đó. Nếu là một giáo viên vật lí, bạn nên tìm những cơ hệ có một vị trí cân bằng bền và tạo ra các bài toán dao động điều hòa nhỏ để dạy cho học sinh của bạn nhé. Nhưng cần chú ý, để đi đến được phương trình dao động điều hòa, các bạn phải sử dụng một số công thức tính gần đúng, biết bỏ qua một cách hợp lí các vô cùng bé. Còn ngay sau đây, xin giới thiệu với các bạn một số bài toán tương tự để chúng ta tự giải.
Các bài toán tự giải trong chuyên đề dao động điều hòa
Bài 1. Con lắc lò xo dao động điều hòa với tốc độ cực đại lớn nhất
Một vật có khối lượng $m = 10\ \text{kg}$ đang nằm yên trên mặt phẳng nằm ngang và được gắn bởi lò xo có độ cứng $k = 4.10^3\ \text{N/m}$ vào tường thẳng đứng (Hình vẽ) thì chịu tác dụng của một lực có độ lớn $F$ và hướng không đổi trong một thời gian $τ$. Với những giá trị nào của $τ$ thì sau khi ngừng tác dụng lực, tốc độ cực đại của vật sẽ có giá trị lớn nhất?
Bài 2. Va chạm với đạn làm con lắc lò xo ngừng dao động điều hòa
Một vật khối lượng $m_1$, dưới tác dụng của lò xo, thực hiện dao động điều hòa trên mặt bàn nhẵn với biên độ $X$ và chu kì $T$. Một viên đạn khối lượng $m_2$ bay dọc theo phương chuyển động của vật đến va chạm vào nó. Kết quả là, các dao động dừng lại. Xác định giá trị $V$ của vận tốc của viên đạn. Coi rằng thời gian giảm tốc của viên đạn trong vật là rất nhỏ so với chu kỳ dao động.
Bài 3. Cân đĩa lò xo ngừng dao động điều hòa khi lấy bớt quả cân khỏi đĩa
Cân đĩa lò xo với quả nặng (Hình 7) thực hiện dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ $X$ và chu kỳ $T$. Tổng khối lượng của đĩa và các quả nặng là $m_1$. Phải lấy một quả nặng khối lượng $m_2$ bằng bao nhiêu ra khỏi đĩa cân tại thời điểm nó ở vị trí cao nhất để dao động dừng lại?
Bài 4. Tăng biên độ dao động điều hòa của con lắc đơn bằng cách rút ngắn và kéo dài thêm sợi dây
Một quả cầu nhỏ trên sợi dây có chiều dài $L$ dao động điều hòa trên mặt phẳng thẳng đứng với biên độ góc nhỏ. Để tăng biên độ dao động, người ta cắt ngắn sợi chỉ một giá trị $∆L = 3\ \text{mm}$ rất nhỏ so với $L$ khi mỗi lần đi qua vị trí cân bằng, bằng cách kéo sợi dây qua một lỗ hẹp ở nơi treo (xem hình của Bài toán 4 ở trên), và trong mỗi vị trí biên sợi chỉ được kéo dài thêm một đoạn bằng cùng một giá trị của $∆L$, rồi thả nó ra. Sợi được kéo dài và rút ngắn theo cách mà trong một lần thay đổi chiều dài, lực kéo không đổi về độ lớn. Tìm chu kỳ $T$ của dao động nếu cứ mỗi chu kỳ biên độ dao động tốc độ tăng $δ = 0\text{,}5 %$. Gia tốc rơi tự do $g = 10\ \text{m/s}^2$.
Bài 5. Con lắc đơn dao động điều hòa trên xe goòng
Trên một ô tô khối lượng $m_1$, đặt trên ray nằm ngang, người ta gắn một con lắc đơn - một quả cầu khối lượng $m_2$ trên một sợi dây có chiều dài $L$. Tìm chu kỳ $T$ của dao động nhỏ của con lắc đơn mà nó thực hiện được nếu nó bị lệch dọc theo đường ray một góc nhỏ và sau đó được thả đồng thời với việc đẩy xe với một tốc độ ban đầu chưa biết.
Bài 6. Dao động điều hòa của nguyên tử trong phân tử nitơ
Hình vẽ dưới đây cho thấy một phần của đồ thị năng lượng tương tác $U\ \text{(eV)}$ của các nguyên tử trong phân tử nitơ trên khoảng cách giữa các nguyên tử $r\text{(nm)}$. Giả sử rằng sự phụ thuộc này được mô tả gần đúng bằng công thức $U(r)= U_0 + \frac{1}{2}k\left(r-r_0\right)^2$, hãy tìm tần số góc $ω$ của dao động nhỏ của các nguyên tử trong phân tử nitơ. Theo thuyết lượng tử, năng lượng của dao động với tần số góc $ω = 2πf$ có thể nhận các giá trị $E_n = hf\left(n+\frac{1}{2}\right)$, $n = 0, 1, 2, ...$, trong đó $h = 6\text{,}625.10^{−34}\ \text{Js}$ là hằng số Planck. Một phân tử nitơ chưa bị kích thích hấp thụ một lượng tử ánh sáng có tần số $ω$ và chuyển từ trạng thái có $n = 0$ sang trạng thái kích thích với $n = 1$. Hãy ước lượng biên độ $X_1$ của dao động điều hòa của các nguyên tử trong phân tử ở trạng thái này. Khối lượng của nguyên tử nitơ $m = 2\text{,}3.10^{−23}\ \text{g}$.
Không có nhận xét nào: