Trong các kỳ thi học sinh giỏi Vật lý (HSG Quốc gia, HSG cấp tỉnh), chuyên đề Từ trường và Cảm ứng điện từ luôn là một trong những phần kiến thức trọng tâm, thường xuất hiện trong các bài toán yêu cầu tư duy phân tích cao. Để giải quyết tốt các bài tập từ trường nâng cao, học sinh không chỉ cần nắm vững công thức mà còn phải hiểu sâu sắc bản chất vật lý của hiện tượng.
Nếu như trong tĩnh điện học, định luật cơ bản (thu được từ thực nghiệm) là định luật Coulomb – mô tả tương tác giữa các điện tích điểm; thì khi nghiên cứu từ trường, nền tảng của từ tĩnh học chính là định luật Ampere và định luật Biot-Savart. Các định luật này là chìa khóa để xác định đặc trưng lực của từ trường – véc-tơ cảm ứng từ $\vec{B}$, cũng như tương tác từ giữa các dòng điện.
Bài viết Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý: Từ trường và Cảm ứng điện từ dưới đây sẽ cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh một hệ thống bài tập thực hành đa dạng. Qua việc phân tích các ví dụ cụ thể như tương tác giữa hai dây dẫn, khung dây trong từ trường hay vòng dây siêu dẫn, tài liệu này sẽ giúp các bạn học sinh củng cố vững chắc kỹ năng giải bài tập Vật lý nâng cao.
I. Sơ lược về Từ trường và Cảm ứng điện từ
Như đã biết, định luật cơ bản (và do đó, thu được từ các thực nghiệm) trong tĩnh điện học là định luật Coulomb - định luật tương tác điện của hai điện tích điểm nằm cách nhau một khoảng nào đó. Đặc trưng lực của điện trường là véc-tơ cường độ điện trường $\vec{E}$. (Lưu ý rằng từ định luật Coulomb, ta suy ra được định lý cơ bản của tĩnh điện học - định lý Gauss, thiết lập mối liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín với độ lớn của điện tích nằm bên trong mặt đó.)
Nếu chúng ta tạo ra một sự so sánh tương đồng giữa tĩnh điện học và từ tĩnh học, có thể nói rằng nền tảng của từ tĩnh học chính là định luật Ampere - định luật tương tác từ của hai dòng điện chạy trong các đoạn dây dẫn nhỏ nằm cách nhau một khoảng nào đó. Đặc trưng lực của từ trường là véc-tơ cảm ứng từ $\vec{B}$.
Từ trường, cũng giống như điện trường, là một thực tại khách quan và đồng thời đóng vai trò là phương tiện để mô tả sự tương tác của các hạt mang điện chuyển động. Nếu chúng ta biết độ lớn cảm ứng từ tại một điểm trong không gian ở một thời điểm nhất định, ta sẽ biết được độ lớn và hướng của lực sẽ tác dụng lên một hạt mang điện chuyển động tại điểm không - thời gian đó.
Để xác định cảm ứng từ do một dòng điện tạo ra, ta có thể sử dụng định luật Biot-Savart. Theo định luật này, một đoạn dây dẫn nhỏ $\Delta l$ (Hình 1), có dòng điện $I$ chạy qua (đoạn dây được quy ước có chiều trùng với chiều dòng điện), tạo ra tại điểm $M$ cách nó một khoảng $r$ (với $\Delta l \ll r$), một từ trường có cảm ứng từ bằng: \begin{align} \Delta B = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\Delta l \sin \alpha}{r^{2}} \end{align} Ở đây, $\alpha$ là góc giữa $\Delta\vec{l}$ và bán kính véc-tơ $\vec{r}$ nối từ đoạn dây đến điểm quan sát; $\mu_{0} = 4\pi \cdot 10^{-7}$ H/m là hằng số từ. Hướng của véc-tơ $\Delta\vec{B}$ được xác định bằng quy tắc vặn đinh ốc: nếu vặn đinh ốc tiến theo chiều dòng điện, thì chiều quay của cán đinh ốc sẽ trùng với chiều của cảm ứng từ. Cảm ứng từ toàn phần $\vec{B}$ của từ trường do toàn bộ dây dẫn có dòng điện tạo ra tại điểm $M$ bằng tổng véc-tơ cảm ứng từ từ tất cả các phần tử của dây dẫn.
Hãy minh họa điều vừa phân tích bằng một ví dụ. Tìm cảm ứng từ của một dây dẫn thẳng dài có dòng điện $I$ tại khoảng cách $a$ tính từ dây dẫn. Chiều dài dây dẫn được coi là lớn hơn rất nhiều so với $a$.
Để xác định cảm ứng từ gần dây dẫn, ta sử dụng định luật Biot-Savart. Trên hình 2, một dây dẫn thẳng dài vô hạn có dòng điện $I$ được đặt dọc theo trục $Z$. Tại khoảng cách $z$ từ gốc tọa độ, ta chọn một đoạn dây nhỏ có chiều dài $dz$ và viết biểu thức tính độ lớn cảm ứng từ tại điểm $A$ do phần tử dòng điện $dz$ sinh ra: \begin{align} dB& = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I dz \sin \alpha}{r^{2}}\\ &= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I \cos \beta \cdot dz}{r^{2}} \end{align}
Tiến hành đổi biến: chuyển từ biến $z$ sang $\beta$. Vì $z/a = \tan \beta$, nên khi lấy vi phân hai vế của đẳng thức này, ta được $dz = a \frac{d\beta}{\cos^{2} \beta}$. Sau khi thay thế biến số, ta tìm được cảm ứng từ tại điểm $A$ bằng cách lấy tích phân dọc theo toàn bộ dây dẫn: \begin{align} B &= 2\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mu_{0}I \cos \beta \cdot a d\beta}{4\pi r^{2}\cos^{2}\beta}\\ &= \frac{\mu_{0}I}{2\pi a}\int_{0}^{\pi/2} \cos\beta d\beta \\ &= \frac{\mu_{0}I}{2\pi a} \tag{*} \end{align} Véc-tơ cảm ứng từ $\vec{B}$ tại điểm $A$ hướng từ ngoài vào trong, vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (hướng ra xa chúng ta). Các đường sức từ là một họ các đường tròn đồng tâm, đối xứng xung quanh dây dẫn.
Kết quả thu được vẫn đúng cho dây dẫn thẳng dài vô hạn ở bất kỳ khoảng cách $a$ hữu hạn nào, hoặc cho dây dẫn có chiều dài hữu hạn nhưng với điều kiện khoảng cách $a$ phải nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài dây dẫn. Nếu dây dẫn mang dòng điện không phải là đường thẳng, công thức tính $B$ vẫn đúng với điều kiện khoảng cách $a$ phải rất nhỏ so với bán kính cong của dây dẫn.
Và bây giờ chúng ta hãy cùng phân tích một vài bài toán cụ thể.
II. Một số bài toán vè Từ trường và Cảm ứng điện từ
Bài toán 1. Tương tác từ và tĩnh điện giữa hai dây dẫn mang dòng điện
Hai dây đồng dài, song song có đường kính $d = 2$ mm được đặt cách nhau một khoảng $L = 5$ cm. Trong cả hai dây đều có các dòng điện như nhau chạy qua với tốc độ trôi trung bình của các electron dẫn là $v = 0,1$ cm/s. Khối lượng nguyên tử của đồng $A = 63,6$ g/mol, khối lượng riêng của đồng $\rho = 8,9 \text{ g/cm}^3$, hằng số Avogadro $N_A = 6 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$. Có thể coi mỗi nguyên tử đồng đóng góp một electron tự do.
Hãy xác định lực Ampere tác dụng lên một phần tử dây dẫn mang dòng điện có chiều dài $l = 1$ m. Tính lực tĩnh điện sẽ tác dụng lên các electron dẫn trong đoạn dây dài $l = 1$ m do các electron dẫn của dây kia gây ra mà không xét đến các ion dương, và so sánh nó với lực Ampere.
Gợi ý: Cường độ điện trường gần một sợi dây tích điện dài vô hạn là: $$ E = \frac{1}{2\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{r} $$ trong đó $q$ là điện tích trên một đơn vị chiều dài của dây, $r$ là khoảng cách đến dây.
Đầu tiên, ta tính mật độ electron dẫn trong đồng: $$ n = \frac{\rho N_{A}}{A} = 0,84 \cdot 10^{29} \text{ m}^{-3} $$ và cường độ dòng điện trong các dây: $$ I = \frac{\pi d^{2}}{4}nev = 42,2 \text{ A} $$ (ở đây $e$ là điện tích của electron). Bây giờ, sử dụng công thức (*), ta tìm được độ lớn của cảm ứng từ do dòng điện của một trong hai dây tạo ra tại vị trí của dây thứ hai: $$ B = \frac{\mu_{0}I}{2\pi L} = 1,7 \cdot 10^{-4} \text{ T} $$
Hình 3: biểu diễn một trong những đường sức từ của từ trường dây dẫn. Lực Ampere tác dụng lên một phần tử dây dẫn bằng: \begin{align} F_{A} = BIl &= \frac{\mu_{0}I^{2}l}{2\pi L}\\ &= 7,13 \cdot 10^{-3} \text{ N} \end{align}
Để tính lực tĩnh điện, ta tìm điện tích $q$ của các electron chứa trong một đoạn dây dẫn có chiều dài đơn vị ($l = 1 \text{ m}$): $$ q = \frac{\pi d^{2}}{4}ne = 4,22 \cdot 10^{4} \text{ C} $$ Cường độ điện trường do các electron phân bố dọc theo dây dẫn tạo ra ở khoảng cách $L$ tính từ dây bằng: $$ E = \frac{q}{2\pi\epsilon_{0}L} = 1,5 \cdot 10^{16} \text{ V/m} $$ và lực đẩy tĩnh điện tác dụng lên phần tử dây dẫn chiều dài đơn vị mang các electron dẫn là: $$ F_{\text{đ}} = qE = 6,3 \cdot 10^{20} \text{ N} $$
(Tạp chí KVANT 2001/Số 4)
Tỷ số giữa lực tương tác từ và lực tĩnh điện trong giới hạn sai số tính toán cho kết quả:
$$ \frac{F_{A}}{F_{\text{đ}}} = 1,1 \cdot 10^{-23} $$
Bài toán 2. Điều kiện nhấc bổng khung dây hình vuông trong từ trường
Trên mặt bàn nằm ngang không dẫn điện có một khung dây cứng, mảnh, dẫn điện được uốn từ một đoạn dây đồng chất thành hình tam giác đều cạnh $a$. Khung dây được đặt trong một từ trường đều nằm ngang, có các đường sức từ vuông góc với một trong các cạnh của khung. Khối lượng của khung là $m$, độ lớn cảm ứng từ là $B$.
Cần phải cho dòng điện bao nhiêu chạy qua khung (ngược chiều kim đồng hồ) để khung bắt đầu bị nhấc lên quay quanh một trong các đỉnh của tam giác?
Giả sử có dòng điện $I$ chạy qua mạch ngược chiều kim đồng hồ (Hình 4). Rõ ràng là trên cả ba cạnh của tam giác sẽ có các lực Ampere tác dụng, với điểm đặt lực là trung điểm của các cạnh $AC$, $CD$ và $DA$. Tại giao điểm của ba đường trung tuyến (trọng tâm $O$) có đặt trọng lực bằng $mg$ hướng từ ngoài vào trong, vuông góc với mặt phẳng hình vẽ (coi mặt phẳng hình vẽ là mặt bàn nhìn từ trên xuống).
Ta tìm tổng mô-men của các lực Ampere tác dụng lên ba cạnh của tam giác đối với trục $PP'$. Lực $\vec{F}_{AC}$ có độ lớn $F_{AC} = IaB$ và hướng về phía chúng ta (từ trong ra ngoài), các lực $\vec{F}_{AD}$ và $\vec{F}_{DC}$ có độ lớn: \begin{align} F_{AD} = F_{DC}& = IaB \sin(\alpha/2)\\ &= IaB/2 \end{align} (bởi vì $\alpha = 60^\circ$) và hướng từ ngoài vào trong. Tổng mô-men của cả ba lực Ampere đối với trục $PP'$ bằng: \begin{align} M_{A} &= IaB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a - \frac{IaB}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a - \frac{IaB}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a\\ &= \frac{\sqrt{3}}{4}Ia^{2}B \end{align}
Có thể thấy rằng khi dòng điện tăng, mô-men của các lực Ampere cũng tăng và đến một thời điểm nào đó sẽ có khả năng nâng khung lên quay quanh đỉnh $D$, bởi vì lực cản trở sự nâng này là mô-men không đổi của trọng lực: $$ M_{g} = mg \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} $$ Khung sẽ bắt đầu bị nhấc lên quay quanh đỉnh $D$ khi: \begin{align} M_{A}& \ge M_{g}\\ \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}Ia^{2}B& \ge mg\frac{a}{\sqrt{3}} \end{align} Từ đó suy ra: $$ I \ge \frac{4mg}{3aB} $$
Bài toán 3. Từ trường của hình trụ kim loại mang điện quay
Trên mặt bàn nằm ngang không dẫn điện có một khung dây cứng, mảnh, dẫn điện hình vuông được làm từ một đoạn dây đồng chất cạnh $a$. Khung được đặt trong từ trường của một dây dẫn thẳng dài mang dòng điện đặt nằm ngang, đối xứng phía trên khung (Hình 5). Khối lượng của khung là $m$, cảm ứng từ tại vị trí các cạnh bên 1 và 2 của khung là $B$, hệ số ma sát trượt giữa khung và mặt bàn là $\mu$ (với $\mu < 1/3$).
Cần cho dòng điện bao nhiêu chạy qua khung để nó bắt đầu trượt trên bàn mà không bị nhấc lên khỏi mặt bàn?
Giả sử có dòng điện $I$ chạy qua khung hình vuông theo chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống. Các cạnh bên của khung sẽ chịu tác dụng của các lực Ampere $\vec{F}_{1}$ và sẽ chịu tác dụng của các lực Ampere $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ (Hình 6), với $F_1 = F_2 = IaB$ .
Nhìn chung, khi tăng dòng điện qua khung, có hai trường hợp có thể xảy ra: hoặc khung sẽ bắt đầu bị nhấc lên quay quanh cạnh 2, hoặc nó sẽ bắt đầu trượt mà không bị tách khỏi mặt bàn .
Giả sử hệ số ma sát trượt đủ lớn để khung có thể bị nhấc lên trước khi xảy ra sự trượt . Ta viết điều kiện để cạnh 1 bị nhấc lên: $$ F_1 a \frac{\sqrt{3}}{2} - mg \frac{a}{2} \ge 0 $$ Từ đó suy ra dòng điện làm cho khung bị nhấc lên phải thỏa mãn điều kiện: $$ I_n \ge \frac{mg}{\sqrt{3}aB} $$
Bây giờ ta xét trường hợp khung bắt đầu trượt trước . Hợp lực dọc theo trục ngang bằng: $$ F_2 \cos \alpha + F_1 \cos \alpha = IaB \cdot 2 \cos \alpha $$ Phản lực của mặt bàn bằng trọng lượng của khung là $mg$ . Ta viết điều kiện trượt: $$ 2 IaB \cos \alpha \ge \mu mg $$ Từ đó, đối với dòng điện tương ứng để xảy ra sự trượt, ta nhận được: $$ I_{\text{trượt}} \ge \frac{\mu mg}{aB} $$
So sánh các dòng điện $I_n$ và $I_{\text{trượt}}$, ta thấy rằng sự trượt của khung sẽ xảy ra trước khi dòng điện đạt giá trị: $$ I_{\text{trượt}} \ge \frac{\mu mg}{aB} $$
Bài toán 4. Vòng dây siêu dẫn trong từ trường
Trong một vòng dây siêu dẫn mỏng có bán kính $R$, độ tự cảm $L$ và khối lượng $m$, có một dòng điện cảm ứng $I_0$ chạy qua . Vòng dây được treo trên một sợi dây mảnh không dãn, được hạ xuống một vùng có từ trường đều nằm ngang với cảm ứng từ $\vec{B}$ . Ở vị trí cân bằng bền, góc giữa véc-tơ $\vec{B}$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng của vòng dây bằng $\alpha$ .
Hãy xác định sự phụ thuộc của góc $\alpha$ vào dòng điện ban đầu $I_0$ trong vòng dây và vẽ đồ thị $\alpha = \alpha(I_0)$ . Tìm sự phụ thuộc của dòng điện xác lập $I_{\text{xl}}$ trong vòng dây vào độ lớn của dòng điện ban đầu $I_0$ và vẽ đồ thị $I_{\text{xl}} = I_{\text{xl}}(I_0)$ .
Nếu vòng dây nằm trong từ trường đều $\vec{B}$ và có dòng điện $I_{\text{xl}}$ chạy qua, thì vị trí cân bằng bền duy nhất là vị trí mà $\alpha = \pi/2$ và véc-tơ cảm ứng từ của từ trường riêng do vòng dây sinh ra tại tâm của nó hướng dọc theo véc-tơ $\vec{B}$ . Khi đó, theo định luật bảo toàn từ thông qua vòng dây siêu dẫn: $$ LI_0 = LI_{\text{xl}} + B\pi R^2 $$ Từ đây: $$ I_{\text{xl}} = I_0 - \frac{B\pi R^2}{L} $$
Từ điều kiện $I_{\text{xl}} > 0$ suy ra $I_0 > \pi R^2 B/L$, đồng thời $\alpha = \pi/2$ . Nếu $I_0 \lt \pi R^2 B/L$, thì sẽ không có vị trí cân bằng bền nào với dòng điện $I_{\text{xl}} \ne 0$, do đó vị trí cân bằng bền trong trường hợp này sẽ ứng với $I_{\text{xl}} = 0$; khi đó $\alpha \ne \pi/2$ . Theo định luật bảo toàn từ thông: $$ LI_0 = \pi R^2 B \sin \alpha $$ Từ đây: $$ \alpha = \arcsin\left(\frac{LI_0}{\pi R^2 B}\right) $$
Đồ thị của các hàm phụ thuộc $\alpha(I_0)$ và $I_{\text{xl}}(I_0)$ được biểu diễn tương ứng trên các hình 7 và 8 .
Bài toán 5*. Từ trường của hình trụ điện môi quay
Dọc theo trục của một hình trụ điện môi rỗng dài ($\epsilon = 3$) người ta căng một sợi dây mang điện, điện tích trên mỗi đơn vị chiều dài của dây là $q = 10^{-7}\text{ C/m}$ (Hình 9) . Hình trụ quay quanh trục của nó với tốc độ góc $\omega = 10^3\text{ s}^{-1}$ .
Hãy xác định cảm ứng từ của từ trường bên trong khối điện môi, trong khoảng trống (khoang rỗng) của hình trụ và trong không gian bên ngoài ở xa các đầu mút của hình trụ . Bỏ qua các hiệu ứng ly tâm .
Gợi ý: Sử dụng công thức tính cảm ứng từ trong ống dây (solenoid): $B = \mu_0 NI/L$, trong đó $N$ là số vòng dây của solenoid, $L$ là chiều dài của ống dây, $I$ là dòng điện chạy trong ống dây .
Dưới tác dụng của điện trường do các điện tích trên sợi dây sinh ra, sự phân cực của hình trụ điện môi xảy ra: trên mặt trong của hình trụ xuất hiện các điện tích phân cực âm với mật độ bề mặt $\sigma_1$, còn trên mặt ngoài của hình trụ là các điện tích dương với mật độ $\sigma_2$ . Cường độ điện trường gần sợi dây tích điện trong chân không, ở khoảng cách rất nhỏ so với chiều dài của dây, bằng (xem phần gợi ý ở bài toán 1): $$ E = \frac{q}{2\pi \epsilon_0 r} $$
Rõ ràng là, cường độ điện trường bên trong khối điện môi sẽ nhỏ hơn $\epsilon$ lần: $$ E = \frac{q}{2\pi \epsilon_0 \epsilon r} $$
Mặt khác, ta có thể sử dụng công thức trước đó để tìm trường trong điện môi: $$ E = \frac{q - \sigma_1 \cdot 2\pi R_1}{2\pi \epsilon_0 r} $$ trong đó $R_1$ là bán kính mặt trong của hình trụ. Cho hai biểu thức cuối bằng nhau, ta được: $$ \sigma_1 = \frac{(\epsilon - 1)q}{2\pi \epsilon R_1} $$
Do khối điện môi trung hòa về điện, nên: $$ 2\pi R_2 \sigma_2 - 2\pi R_1 \sigma_1 = 0 $$ trong đó $R_2$ là bán kính mặt ngoài của hình trụ. Từ đây suy ra: $$ \sigma_2 = \sigma_1 \frac{R_1}{R_2} = \frac{(\epsilon - 1)q}{2\pi \epsilon R_2} $$
Sự quay của các điện tích phân cực tương đương với dòng điện trong một ống dây (solenoid). Ở khoảng cách $r_n \le r \le R_1$ (với $r_n$ là bán kính của sợi dây mang điện), tổng từ trường của hai "ống dây tương đương" có bán kính $R_1$ và $R_2$ bằng không do tính trung hòa điện của điện môi.
Bây giờ xét không gian bên trong khối điện môi khi $R_1 \lt r \lt R_2$. Cảm ứng từ do các điện tích quay với mật độ $\sigma_1$ tạo ra rõ ràng bằng không, còn các điện tích quay với mật độ $\sigma_2$ tạo ra một từ trường đều. Trong công thức tính cảm ứng từ của ống dây có chứa đại lượng $NI/L$ — đây là độ lớn của dòng điện mặt trên một đơn vị chiều dài ống dây. Đại lượng tương đương đối với các điện tích phân cực quay có mật độ $\sigma_2$ là: $$ \frac{\omega}{2\pi} \cdot 2\pi R_2 \sigma_2 = \omega R_2 \sigma_2 = \frac{\omega(\epsilon - 1)q}{2\pi \epsilon} $$
Biểu thức cuối cùng cho độ lớn cảm ứng từ sẽ là: $$ B = \frac{\mu_0 \omega(\epsilon - 1)q}{2\pi \epsilon} = 1,33 \cdot 10^{-11} \text{ T} $$ Cảm ứng từ bên trong điện môi song song với sợi dây và hướng thẳng đứng lên trên. Trong không gian bên ngoài, cảm ứng từ của từ trường bằng không.
Bài toán 6*. Hai thanh kim loại trượt trên thanh ray trong từ trường
Trên hai thanh ray song song, nằm ngang và dẫn điện, khoảng cách giữa hai thanh ray là $l$, có đặt hai thanh kim loại dẫn điện cách nhau một khoảng $b$, mỗi thanh có khối lượng $m$. Điện trở thuần của mỗi thanh là $R$, điện trở thuần của các thanh ray có thể bỏ qua.
Sau khi bật một từ trường ngoài đều với cảm ứng từ $\vec{B}$, hai thanh kim loại sẽ cách nhau một khoảng bằng bao nhiêu? Véc-tơ cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng chứa các thanh kim loại và thanh ray.
Trước tiên, ta thảo luận về quá trình thiết lập từ trường, quá trình này diễn ra nhanh chóng nhưng trong một khoảng thời gian hữu hạn. Hãy xét một thời điểm bất kỳ khi cảm ứng từ của từ trường vẫn đang tăng. Sự tăng của từ trường dẫn đến sự xuất hiện của điện trường xoáy. Nếu từ trường đối xứng qua tâm của hình chữ nhật tạo bởi các thanh ray và thanh kim loại, thì các đường sức của điện trường xoáy sẽ có dạng các đường tròn đồng tâm (Hình 10). Công dịch chuyển một điện tích dương đơn vị trong trường xoáy dọc theo một đường cong kín bằng suất điện động cảm ứng: $$ \mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt} = -lb \frac{dB}{dt} $$
Trong mạch của chúng ta sẽ có một dòng điện chạy qua: $$ I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{2R} = \frac{lb}{2R} \frac{dB}{dt} $$ Lực tác dụng lên mỗi thanh bằng: $$ F = IlB = \frac{l^2 b}{2R} B \frac{dB}{dt} = \frac{l^2 b}{4R} \frac{d(B^2)}{dt} $$
Phương trình chuyển động của mỗi thanh có dạng: $$ m\frac{dv}{dt} = \frac{l^2 b}{4R} \frac{d(B^2)}{dt} $$ hay $$ dv = \frac{l^2 b}{4mR} d(B^2) $$
Chúng ta đã tìm được mối liên hệ giữa sự thay đổi vô cùng nhỏ của vận tốc thanh với độ gia tăng vô cùng nhỏ của bình phương cảm ứng từ. Đối với toàn bộ độ gia tăng, ta có: $$ \int_0^{v_0} dv = \int_0^{B_0} \frac{l^2 b}{4mR} d(B^2) $$ Từ đây ta tìm được vận tốc cuối cùng của các thanh: $$ v_0 = \frac{l^2 b B_0^2}{4mR} $$
Bây giờ ta xét giai đoạn thứ hai, khi ta đã có một từ trường đều dừng với cảm ứng từ $B_0$. Tại thời điểm ban đầu, hai thanh cách nhau một khoảng $b$ và có vận tốc ban đầu bằng $v_0$ hướng ngược chiều nhau (tiến lại gần nhau). Hình 11 vẽ các thanh ở một thời điểm bất kỳ khi tọa độ của chúng là $x_1$ và $x_2$.
Giả sử tại thời điểm này trong mạch có dòng điện $I$ chạy theo chiều kim đồng hồ. Ta viết các phương trình chuyển động của các thanh: $$ m x_1'' = IlB_0 $$ $$ m x_2'' = -IlB_0 $$ Sơ đồ điện tương đương của mạch được biểu diễn trên hình 12, trong đó $\mathcal{E}_{i1} = -x_1' l B_0$ là suất điện động cảm ứng suất điện động cảm ứng sinh ra trong thanh có tọa độ $x_1$; $\mathcal{E}_{i2} = x_2' l B_0$ là suất điện động cảm ứng trong thanh thứ hai, $R$ là điện trở trong của chúng[cite: 5]. Định luật Ohm cho mạch này có dạng: $$ x_2' l B_0 - x_1' l B_0 = 2IR $$
Kết hợp ba phương trình cuối, ta được: $$ x_2'' - x_1'' = -\frac{(l B_0)^2}{mR}(x_2' - x_1') $$ hoặc, đặt $x_2 - x_1 = z$, ta có: $$ z'' + \frac{(l B_0)^2}{mR} z' = 0 $$
Sau khi lấy tích phân, ta viết được: $$ z' + \frac{(l B_0)^2}{mR} z = \text{const} $$
Từ các điều kiện ban đầu suy ra: $$ \text{const} = \frac{(l B_0)^2}{mR} b - 2v_0 $$
Khi $t \rightarrow \infty$, $z' \rightarrow 0$, do đó đối với khoảng cách cuối cùng giữa các thanh ta tìm được: $$ b_k = b - \frac{2v_0 m R}{(l B_0)^2} = \frac{b}{2} $$
III. Bài tập tự giải về Từ trường và Cảm ứng điện từ
Bài tập 1
Cảm ứng từ do một electron quay trên quỹ đạo tròn bán kính $r = 0,53 \cdot 10^{-8}\text{ cm}$ quanh một proton tạo ra bằng bao nhiêu ? Điện tích electron $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ C}$, khối lượng $m = 9,1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$ .
Gợi ý: Cảm ứng từ tại tâm của một vòng dây tròn có dòng điện $I$ chạy qua bằng $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$, trong đó $R$ là bán kính vòng dây .
Bài tập 2
Trên một mặt bàn nằm ngang không dẫn điện có đặt một khung dây dẫn điện cứng, mảnh, hình vuông được làm từ một đoạn dây đồng chất cạnh $a$ . Khung được đặt trong một từ trường đều nằm ngang, các đường sức từ của nó song song với một trong các đường chéo của khung hình vuông . Khối lượng khung là $m$, độ lớn cảm ứng từ là $B$ . Cần phải cho dòng điện bao nhiêu chạy qua khung để nó bắt đầu bị nhấc lên quay quanh một trong các đỉnh của hình vuông ?
Bài tập 3
Dọc theo trục của một hình trụ kim loại dài, người ta căng một sợi dây mang điện, với điện tích trên mỗi đơn vị chiều dài là $q = 10^{-7}\text{ C/m}$ . Hình trụ quay quanh trục của nó với tốc độ góc $\omega = 10^3\text{ s}^{-1}$ . Bỏ qua các hiệu ứng ly tâm, hãy xác định cảm ứng từ của từ trường bên trong kim loại, trong khoang rỗng của hình trụ và trong không gian bên ngoài ở xa các đầu mút của hình trụ .
Gợi ý: Cảm ứng từ bên trong một ống dây (solenoid) dài có số vòng dây $N$ và chiều dài $L$ bằng $B = \mu_0 NI/L$, trong đó $I$ là dòng điện trong ống dây .
Bài tập 4*
Một hạt có điện tích $q$ và khối lượng $m$ bay vào một môi trường nhớt với vận tốc ban đầu $v_0$, trong đó có một từ trường đều nằm ngang với cảm ứng từ $B$ . Lực ma sát nhớt tỉ lệ thuận với vận tốc của hạt: $\vec{F}_{\text{ms}} = -\alpha\vec{v}$ . Hạt sẽ dừng lại ở khoảng cách bao xa tính từ điểm ban đầu (điểm hạt bay vào môi trường) ?
0 nhận xét:
Đăng nhận xét