Tam giác vectơ trong chuyển động ném

Như mọi người đều biết, dù là các kỳ thi học sinh giỏi hay kỳ thi tuyển sinh đại học, chuyển động ném gần như luôn là một nội dung bắt buộc ở mức nhập môn của Vật lý. Chỉ cần đã từng học qua Vật lý bồi dưỡng, hẳn ai cũng quen với cách phân tích vận tốc theo hệ trục tọa độ vuông góc rồi giải bài toán bằng các phép biến đổi đại số.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ không đi theo hướng quen thuộc đó. Thay vào đó, tác giả sẽ giới thiệu một cách tiếp cận thuần hình học mang tên tam giác vectơ (Vector Triangle).

Ghi chú
Bài viết này trình bày một phương pháp hình học khá độc đáo để nghiên cứu chuyển động ném. Thay vì sử dụng hệ tọa độ và các phương trình chuyển động, tác giả khai thác các tam giác được tạo thành từ các vectơ vận tốc và vectơ độ dời. Nhờ đó, nhiều bài toán quen thuộc như tầm ném cực đại, chuyển động trên mặt phẳng nghiêng hay chuyển động kết hợp với chuyển động tròn đều có thể được giải bằng các lập luận hình học ngắn gọn và trực quan.

Mục lục

1. Giới thiệu về tam giác vectơ
2. Những tính chất cơ bản
3. Diện tích tam giác vận tốc và bài toán tầm ném lớn nhất
4. Tầm ném trên mặt phẳng nghiêng và định lý góc phân giác
5. Khi chuyển động ném kết hợp với chuyển động tròn
6. Kết luận

---

1. Giới thiệu về tam giác vectơ

Như chúng ta đều biết, vận tốc và độ dời đều là những đại lượng vectơ. Vì vậy, đối với chuyển động ném, chắc chắn phải tồn tại một cách giải mang tính hình học.

Trong trường hợp vật chuyển động trong một trường gia tốc $\vec{g}$ không đổi, vectơ vận tốc của vật tại thời điểm bất kỳ được xác định bởi

(Xem video ở cuối Phần 1 để biết vì sao có các công thức này)

$$ \vec v=\vec v_0+\vec g\,t $$

Hình 1. Tam giác vận tốc.

Trong khi đó, vectơ độ dời của vật được xác định bởi

$$ \vec s=\vec v_0t+\frac12\vec g\,t^2 $$

Hình 2. Tam giác độ dời.

Định nghĩa.

• Tam giác được tạo bởi các vectơ vận tốc được gọi là tam giác vận tốc (Velocity Vector Triangle).
• Tam giác được tạo bởi các vectơ độ dời được gọi là tam giác độ dời (Displacement Vector Triangle).

Đó chính là khái niệm cơ bản của phương pháp tam giác vectơ.

Ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ thấy rằng bản thân hai tam giác này thoạt nhìn dường như không có gì đặc biệt. Tuy nhiên, khi khai thác đúng các quan hệ hình học của chúng, ta sẽ thu được nhiều kết quả rất thú vị và có thể áp dụng trực tiếp để giải các bài toán chuyển động ném.

🎥 Khám phá trực quan: Vì sao lại có tam giác vector này?

Đến đây, có lẽ nhiều bạn sẽ vội vã đóng khung công thức lại để lao vào giải bài tập. Nhưng hãy dừng lại một nhịp! Câu hỏi làm nên tư duy của một người học Vật lý thực thụ là: Tam giác này được sinh ra từ đâu và nó đang phản ánh điều gì về thế giới tự nhiên?

Hãy cùng thực hiện một thí nghiệm tưởng tượng trên không trung qua video dưới đây để lột trần "ảo ảnh" của chuyển động ném nhé!

2. Những tính chất cơ bản

Nếu chỉ quan sát hai tam giác vừa xây dựng, có lẽ bạn sẽ cảm thấy chúng không có gì đặc biệt. Thậm chí, nếu không biết cách khai thác các quan hệ hình học của chúng thì hiệu quả cũng chẳng khác bao nhiêu so với việc giải bài toán bằng phương pháp tọa độ.

Vậy điều gì khiến tam giác vectơ trở thành một công cụ đáng để nghiên cứu?

Hãy quan sát kỹ hai tam giác ở Hình 1 và Hình 2 (ta đã gom 2 hình này lại thành Hình 3 dưới đây).

Hình 3. Sau khi lấy trung điểm của đoạn $v_0t$, xuất hiện hai tam giác đồng dạng.

Ta nhận thấy rằng các cạnh tương ứng của chúng luôn song song với nhau:

• $\vec v_0$ song song với $\vec v_0t$;
• $\vec g$ song song với $\dfrac12\vec g\,t^2$;

Do đó, hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau. Tuy nhiên, hai tam giác này có vẻ không đồng dạng. Nếu kéo dài vector vận tốc $\vec{v}$ của tam gác vector vận tốc để nó cắt một điểm trên cạnh $\vec{v}_0t$ của tam giác vector độ dời thì chúng ta mới được hai tam giác đồng dạng. Điều quan trọng là điểm cắt có vị trí như thế nào trên cạnh $\vec{v}_0t$?
Ta lập tỉ số các cạnh của tamgiacs vận tốc, rồi thêm $t$ vào cả tử cả mẫu: $$ \frac{gt}{v_0}=\frac{gt\cdot t}{v_0\cdot t}=\frac{gt^2}{v_0t}=\frac{\frac{1}{2}gt^2}{\frac{1}{2}v_0t} $$ Như vậy, hai tam giác đồng dạng với các cặp cạnh tương ứng: $gt$ của tam giác vận tốc với $\frac{1}{2}gt^2$ của tam giác độ dời; $v_0$ của tam giác vận tốc với $\frac{1}{2}v_0t$. Điều này cho ta biết điểm cắt trên cạnh $v_0t$ là trung điểm của cạnh này

Từ tính chất đồng dạng này, ta thu được một kết luận rất quan trọng về tính chất cơ bản của tam giác vectơ.:

Đường kéo dài của vectơ vận tốc tức thời luôn đi qua trung điểm của đoạn biểu diễn vectơ $v_0t$.

Đây chính là tính chất quan trọng nhất của phương pháp tam giác vectơ và cũng là nền tảng cho hầu hết các ứng dụng sẽ được trình bày ở những phần tiếp theo.

Nhận xét. Trong chương trình Vật lý phổ thông, nhiều học sinh đã từng biết đến một kết quả quen thuộc: "Trong chuyển động ném ngang, nếu kéo dài vectơ vận tốc tại điểm chạm đất thì đường thẳng đó đi qua trung điểm của quãng đường theo phương ngang." Kết quả trên thực chất chỉ là một trường hợp riêng của định lý tổng quát vừa được chứng minh bằng phương pháp tam giác vectơ.

Một ưu điểm nổi bật của phương pháp này là toàn bộ lập luận chỉ dựa trên các quan hệ hình học đơn giản. Không cần thiết lập hệ trục tọa độ hay phân tích các thành phần của vận tốc, ta vẫn có thể thu được một kết quả rất mạnh, đồng thời mở đường cho việc giải quyết nhiều bài toán chuyển động ném phức tạp hơn. Sau đây chúng ta áp dụng tính chất quan trọng này để giải một số bài toán ném xiên.

Bài toán 1
Ném một hòn đá từ điểm O trên mặt đất, sau một giây nó đến điểm B. Biết rằng véctơ vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu. Hãy xác định khoảng cách OB. Bỏ qua sức cản của không khí. Lấy $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$.

Tại B, vecto vận tốc $\vec{v}$ vuông góc với vận tốc ban đầu $\vec{v}_0$ tức là đường phân giác bây giờ là đường cao, tam giác độ dời bây giờ là tam giác cân. Hai cạnh bằng nhau \begin{align} OB=s&=\frac{1}{2}gt^2\\ &=\frac{1}{2}10\cdot 1^2\\ &=5\ \text{m} \end{align}

Bài toán 2 (Olympic Vật lí toàn Nga 2012)
Vận tốc của một hòn đá được ném ở góc $\varphi = 60^\text{o}$ so với phương ngang giảm đi một nửa trong khoảng thời gian $\Delta t = 1\ \text{s}$. Tìm độ lớn của độ dịch chuyển $s$ mà hòn đá đã thực hiện trong khoảng thời gian này. Lấy gia tốc trọng trường là $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$.

Chúng ta vẽ ngay các tam giác vector một cách tổng quát (Hình 4). Góc ném là $60^\text{o}$ thì góc nhọn trên sẽ là $30^\text{o}$. Đặt góc nhọn dưới là $\gamma$ và nhớ rằng $v=\dfrac{v_0}{2}$.

Hình 4. Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác vector của chuyển động ném.

Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác vận tốc: \begin{align} \frac{v_0}{\sin{30^\text{o}}}&=\frac{\frac{v_0}{2}}{\sin{\gamma}}\\ \Rightarrow \gamma&=90^\text{o} \end{align} Suy ra vận tốc $\vec{v}$ có phương nằm ngang, đường phân giác MI bây giờ là đường trung bình trong tam giác độ dời (Hình 5).

Hình 5. Vận tốc tại M có phương nằm ngang.

Bây giờ ta có \begin{align} MB&=\frac{1}{2}gt^2\\ OB&=\frac{gt^2}{\sqrt{3}}\\ s&=\sqrt{MB^2+OB^2}\\ &=\sqrt{MB^2+OB^2}\\ &\approx 7\text{,}64\ \text{m} \end{align}

3. Diện tích tam giác vận tốc và bài toán tầm xa cực đại

Sau khi đã xây dựng được tam giác vận tốc và chứng minh các tính chất hình học cơ bản của nó, chúng ta bắt đầu áp dụng công cụ này để giải các bài toán cụ thể.

Ứng dụng đầu tiên là bài toán rất quen thuộc: xác định tầm xa cực đại của chuyển động ném xiên. Trong cách giải truyền thống, bài toán thường được xử lý bằng cách phân tích vận tốc theo hai trục tọa độ, lập phương trình chuyển động rồi khảo sát biểu thức của tầm ném. Tuy nhiên, với tam giác vectơ, lời giải trở nên trực quan hơn nhiều.

3.1. Xét tầm xa của một vật khi điểm rơi có cùng độ cao với điểm ném

Hình 6. Tam giác vận tốc của chuyển động ném xiên trên mặt phẳng ngang.

Khi vật rơi trở lại đúng độ cao ban đầu, theo định luật bảo toàn cơ năng, độ lớn của vận tốc cuối bằng đúng độ lớn của vận tốc đầu:

$$ v=v_0. $$

Như vậy, tam giác vận tốc là một tam giác cân với hai cạnh đều có độ dài bằng $v_0$, các góc $\beta=\alpha$. Khi đó diện tích tam giác vận tốc bằng

\begin{align} S&=\frac{1}{2}v_0\cos{\alpha}\cdot v_0\sin{\alpha}\\ &=\frac12v_0^2\sin{\left(2\alpha\right)}. \end{align}

Mặt khác, cạnh đáy của tam giác cũng chính là vectơ $\vec{g}t$, còn đường cao chúng ta vẫn tính bằng $v_0\cos{\alpha}$, và diện tích tam giác vận tốc có thể tính bằng biểu thức khác

\begin{align} S&=\frac{1}{2}v_0\cos{\alpha}\cdot gt\\ &=\frac{1}{2}v_0t\cos{\alpha}\cdot g\\ &=\frac{1}{2}xg \end{align} (Theo phương ngang vận tốc của vật luôn bằng $v_0\cos{\alpha}$ nên tầm xa được tính bằng $x=v_0\cos{\alpha}$)

Bây giờ có thể viết $$ \frac12v_0^2\sin(2\alpha)=\frac{1}{2}xg $$ Suy ra tầm xa $$ x=\frac{v_0^2}{g}\sin{(2\alpha)} $$ Tầm xa cực đại khi $\sin{2\alpha}=1$, tức là $\alpha=45^\text{o}$, và $$ x_\text{max}=\frac{v_0^2}{g} $$ Kết quả là vậy, nhưng chúng ta để ý một chút trong quá trình giải bài toán. Đó là chúng ta đã có $S=\dfrac{1}{2}xg$, tức là tầm xa cực đại khi diện tích tam giác vận tốc cực đại. Ở tình huống này tam giác cân nên diện tích cự đại khi nó là tam giác vuông.

Kết quả quan trọng:
Đối với chuyển động ném mà điểm rơi và điểm ném ở cùng độ cao, tầm xa càng lớn thì diện tích của tam giác vận tốc càng lớn.

---

3.2. Xét tầm xa của một vật khi điểm rơi không cùng độ cao với điểm ném

Phương pháp trên không chỉ áp dụng cho trường hợp điểm phóng và điểm rơi ở cùng độ cao mà còn đúng khi hai điểm nằm ở các độ cao khác nhau.

Hình 7. Chuyển động ném giữa hai điểm có độ cao khác nhau.

Trong trường hợp này, độ lớn vận tốc cuối không còn bằng vận tốc đầu nữa. Theo định luật bảo toàn cơ năng,

$$ v=\sqrt{v_0^2+2g\Delta h}, $$

trong đó $\Delta h$ là độ chênh cao giữa điểm đầu và điểm cuối.

Lúc này, hai cạnh của tam giác vận tốc vẫn có độ dài xác định. Diện tích của tam giác là

$$ S=\frac12v_0v\sin\varphi. $$

Vì $v_0$ và $v$ đều là các đại lượng không đổi nên diện tích tam giác vẫn đạt giá trị lớn nhất khi

$$ \boxed{\varphi=90^\circ.} $$

Bên cạnh đó, sau một vài biến đổi lượng giác đơn giản, ta cũng dễ dàng suy ra được góc phóng tương ứng với tầm ném cực đại này thỏa mãn hệ thức:

$$ \tan\theta_{\max} = \frac{v_0}{v} $$

Nhận xét. Kết quả này cho thấy điều kiện cực trị hoàn toàn không phụ thuộc vào việc điểm đầu và điểm cuối có cùng độ cao hay không. Chỉ cần độ lớn của hai vectơ vận tốc được xác định, bài toán luôn quy về việc tìm diện tích lớn nhất của một tam giác có hai cạnh cố định.

Đến đây, chúng ta đã thấy ưu thế đầu tiên của phương pháp tam giác vectơ: một bài toán cực trị vốn cần nhiều phép biến đổi đại số lại có thể được giải chỉ bằng một lập luận hình học đơn giản.

4. Tầm ném lớn nhất trên mặt phẳng nghiêng và định lý góc phân giác

Sau khi khảo sát các bài toán trên mặt phẳng ngang bằng tam giác vận tốc, bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu tam giác độ dời. Công cụ này đặc biệt hiệu quả khi giải các bài toán chuyển động ném trên mặt phẳng nghiêng.

Giả sử vật được phóng với vận tốc ban đầu $v_0$ từ một điểm nằm trên mặt phẳng nghiêng hợp với phương ngang góc $\theta$. Góc hợp giữa vectơ vận tốc ban đầu và mặt phẳng nghiêng là $\alpha$.

Hình 8. Chuyển động ném trên mặt phẳng nghiêng.

Theo biểu thức của vectơ độ dời,

$$ \vec s = \vec v_0t + \frac12\vec g t^2, $$

ta có thể dựng được tam giác độ dời giống như ở phần trước. Tuy nhiên, để khai thác thuận lợi hơn, tác giả tiến hành đổi góc như minh họa dưới đây.

Hình 9. Sau khi đổi góc, tam giác độ dời trở thành một tam giác rất thuận lợi để áp dụng định lý sin.

Trong tam giác trên, áp dụng định lý sin ta có

$$ \frac{x}{\sin2\alpha} = \frac{\frac12gt^2} {\cos(\alpha+\theta)}. $$

Trong khi đó, thời gian chuyển động được xác định từ phương trình chuyển động theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng:

$$ t = \frac{2v_0\sin\alpha} {g\cos\theta}. $$

Thay biểu thức của $t$ vào công thức trên, thu được

$$ x = \frac{ 2v_0^2 \sin\alpha \cos(\alpha+\theta) } { g\cos^2\theta }. $$

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

$$ 2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B), $$

ta suy ra

$$ x = \frac{ v_0^2 \left[ \sin(2\alpha+\theta) - \sin\theta \right] } { g\cos^2\theta }. $$

Đây chính là biểu thức của tầm ném trên mặt phẳng nghiêng.

Định lý.

Khi vận tốc ban đầu và góc nghiêng của mặt phẳng được giữ không đổi, tầm ném chỉ còn phụ thuộc vào giá trị của $$ \sin(2\alpha+\theta). $$

Do

$$ \sin(2\alpha+\theta) \le1, $$

nên tầm ném đạt giá trị lớn nhất khi

$$ 2\alpha+\theta = 90^\circ. $$

Suy ra

$$ \boxed{ \alpha = \frac{90^\circ-\theta}{2} } $$

Thay điều kiện trên trở lại biểu thức của $x$, ta thu được

$$ \boxed{ x_{\max} = \frac{ v_0^2 (1-\sin\theta) } { g\cos^2\theta } } $$

Điều kiện cực trị này có thể diễn giải bằng một kết quả hình học rất đẹp.

Hình 10. Minh họa điều kiện để tầm ném đạt giá trị lớn nhất.

Định lý góc phân giác.

Tầm ném trên mặt phẳng nghiêng đạt giá trị lớn nhất khi vectơ vận tốc ban đầu nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi mặt phẳng nghiêng và phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng.

Giải thích. Từ điều kiện $$ 2\alpha+\theta=90^\circ, $$ suy ra $$ \alpha = \frac{90^\circ-\theta}{2}. $$ Nhưng $$ 90^\circ-\theta $$ chính là góc hợp giữa mặt phẳng nghiêng và phương pháp tuyến của nó. Do đó, khi góc phóng bằng một nửa góc này thì vectơ vận tốc ban đầu chính là đường phân giác của góc tạo bởi hai phương nói trên.

Nhận xét. Nếu giải bằng phương pháp tọa độ, bài toán này thường đòi hỏi khá nhiều phép biến đổi lượng giác trước khi khảo sát cực trị. Với phương pháp tam giác vectơ, toàn bộ kết quả cuối cùng chỉ còn là một nhận xét hình học rất trực quan: góc phóng tối ưu chính là góc phân giác.

Đến đây, chúng ta đã thấy rằng cả tam giác vận tốc lẫn tam giác độ dời đều có thể được sử dụng như những công cụ hình học mạnh mẽ để giải quyết các bài toán chuyển động ném. Tuy nhiên, khả năng của phương pháp này vẫn chưa dừng lại ở đó.

Trong phần tiếp theo, tác giả sẽ xét một tình huống phức tạp hơn nhiều: chuyển động ném kết hợp với chuyển động tròn. Đây cũng là phần đặc sắc nhất của toàn bộ bài viết.

5. Khi chuyển động ném kết hợp với chuyển động tròn

Đến đây, chúng ta đã sử dụng tam giác vectơ để giải quyết khá nhiều bài toán chuyển động ném. Tuy nhiên, sức mạnh của phương pháp này vẫn chưa dừng lại ở đó.

Một tình huống rất quen thuộc trong các bài toán Vật lý là một vật đang chuyển động trên quỹ đạo tròn thì rời khỏi quỹ đạo và chuyển sang chuyển động ném. Nếu giải bằng phương pháp thông thường, ta phải lập và giải hệ phương trình phức tạp. Tuy nhiên, bằng phương pháp hình học, chúng ta có thể làm đơn giản hóa bài toán.

5.1. Điều kiện rời quỹ đạo tròn

Để sử dụng được phương pháp tam giác vectơ, trước hết ta phải chuyển đổi các điều kiện ràng buộc động học của vật lý thành ngôn ngữ hình học.

Hình 11. Minh họa vật rời khỏi quỹ đạo tròn.

Như chúng ta đều biết, điều kiện để vật rời khỏi quỹ đạo chuyển động tròn (áp lực vòng dây hoặc mặt tiếp xúc bằng 0) là:

$$ \frac{v^2}{R} = g\cos\theta $$

Trong đó $R$ là bán kính đường tròn, $\theta$ là góc xác định vị trí điểm vật rời quỹ đạo so với phương thẳng đứng hướng xuống (như hình vẽ).

Chúng ta biến đổi điều kiện này một chút:

$$ v^2 = g\cos\theta \cdot R $$ $$ \Rightarrow v^2 \cdot t^2 = g\cos\theta \cdot R \cdot t^2 $$ $$ \Rightarrow (vt)^2 = 2\left(\frac{1}{2}gt^2\right)\cos\theta \cdot R $$

Bạn có nhận ra không? Các đại lượng $vt$ và $\frac{1}{2}gt^2$ xuất hiện trong biểu thức cuối cùng chính là các cạnh của tam giác độ dời! Vậy là chúng ta đã chuyển đổi thành công điều kiện ràng buộc vật lý thành điều kiện hình học.

5.2. Thử nghiệm: Bài toán "va đụng đinh"

Có một dạng bài tập yêu cầu tìm điều kiện để một con lắc đơn sau khi chuyển động vướng vào một chiếc đinh có thể quay một vòng chạm vào chính chiếc đinh đó. Mặc dù có thể lập phương trình đại số, nhưng dùng hình học sẽ cho ta kết quả "giải quyết trong một nốt nhạc".

Hình 10. Áp dụng tam giác vectơ độ dời cho bài toán con lắc chạm đinh.

Để đơn giản, đặt độ dời dọc theo phương tiếp tuyến là $vt = a$ và độ rơi theo phương thẳng đứng là $\frac{1}{2}gt^2 = b$. Từ điều kiện vừa chứng minh ở phần trên, ta có:

$$ a^2 = 2b R \cos\theta $$

Kết hợp với các tỉ lệ hình học trên hình khi vật chạm đúng đỉnh đinh, ta dễ dàng thiết lập được phương trình:

$$ \tan\theta = \sqrt{2} $$

Suy ra:

$$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Đây chính là điều kiện góc độ lý tưởng cần tìm để vật có thể chạm được vào đinh.

5.3. Kết quả quan trọng nhất: Quan hệ góc gấp ba

Hai ví dụ trên mới chỉ là những ứng dụng tương đối đơn giản của tam giác độ dời. Phần thú vị nhất của bài viết bắt đầu từ đây.

Trong các bài toán vật chuyển động trên quỹ đạo tròn rồi rời khỏi quỹ đạo, ngoài việc xác định điều kiện rời quỹ đạo, người ta thường còn phải xác định vị trí vật rơi sau khi chuyển sang chuyển động ném.

Nếu giải bằng phương pháp thông thường, ta phải lập và giải hệ phương trình chuyển động. Tuy nhiên, bằng phương pháp hình học, tác giả chỉ ra một kết quả rất đẹp:

Hình 13. Cấu hình hình học dùng để chứng minh quan hệ góc gấp ba.

Kết quả cần chứng minh

$$ \boxed{\beta=3\alpha} $$

Làm thế nào để khai thác điều kiện hình học

$$ a^2=2bR\cos\alpha $$

đã thu được ở phần trước?

Do biểu thức chứa bình phương nên tác giả liên tưởng ngay tới định lý về lực của điểm đối với đường tròn (phương tích của một điểm với đường tròn - Power of a Point).

Để thuận tiện cho việc chứng minh, kéo dài tia tạo với phương ngang góc $\alpha$ cho cắt đường thẳng chứa cạnh $b$ tại điểm $J$.

Hình 14. Kéo dài các cạnh để chuẩn bị áp dụng định lý phương tích.

Khi đó, từ định lý về phương tích của điểm đối với đường tròn ta có

$$ AG^2=GH\cdot GD. $$

Suy ra

$$ GD=2R\cos\alpha. $$

Đến đây, tác giả bổ sung thêm một số đường phụ như hình dưới.

Hình 15. Các đường phụ dùng trong chứng minh.

Qua điểm $D$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $AG$ tại $K$.

Qua điểm $G$ kẻ đường vuông góc với $GJ$, lần lượt cắt các đường phụ tại các điểm thích hợp như trên hình.

Nhờ cách dựng này, điều kiện

$$ GD=2R\cos\alpha $$

được chuyển thành

$$ GE=AC. $$

Tiếp theo, nối các đoạn thẳng cần thiết như trên hình. Dựa vào cấu hình hình học vừa dựng, ta bắt đầu quá trình chứng minh chi tiết như sau:

Do $ED \parallel AC$ và $ED = AC$ nên tứ giác $EDCA$ là hình bình hành. Suy ra $DB \parallel AE$.

Mặt khác, ta có $\angle EAD = \angle ADE$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Lại có $ED \parallel AB$ và $GA \perp AB$, suy ra $ED \perp AG$.

Áp dụng hệ thức lượng (định lý hình chiếu) cho hai tam giác vuông tương ứng, ta thu được:

$$ GK^2 = EK \cdot KD = AK^2 $$

Do đó $GK = AK$. Điều này chứng tỏ $KD$ là đường trung bình của tam giác vuông $GAJ$, vì vậy $DA = JD$.

Tiếp tục sử dụng các tính chất của đường tròn, ta xét hai tam giác đồng dạng $\triangle HBJ \sim \triangle ADJ$. Từ đó suy ra tỉ số:

$$ \frac{BH}{BJ} = \frac{DA}{DJ} = 1 $$

Cuối cùng, dựa vào tính chất góc ngoài của tam giác, ta có $\angle ACH = 2\angle HBC = 4\angle J$. Mà $\angle J = \alpha$, nên ta có phương trình:

$$ \alpha + \beta = 4\alpha $$

Suy ra:

$$ \boxed{\beta = 3\alpha} $$

Q.E.D.

Kết luận. Trong bài toán vật rời khỏi quỹ đạo tròn rồi chuyển sang chuyển động ném, góc rơi và góc rời quỹ đạo luôn thỏa mãn quan hệ

$$ \boxed{\beta=3\alpha.} $$

Đây là một kết quả hình học rất đẹp và có thể dùng để xác định ngay vị trí rơi của vật mà không cần giải hệ phương trình chuyển động.

Kết luận

Mặc dù phương pháp tam giác vectơ rất hiệu quả, nhưng nó cũng chỉ thích hợp với một số dạng bài toán nhất định. Chẳng hạn, trong một số bài toán của các kỳ thi Vật lý, việc thiết lập phương trình và tính toán trực tiếp vẫn là lựa chọn thuận tiện hơn.

Tuy nhiên, điều đó không làm giảm giá trị của phương pháp này. Ngược lại, tam giác vectơ mang đến một góc nhìn hoàn toàn mới đối với chuyển động ném, giúp nhiều bài toán tưởng như phức tạp trở nên trực quan và giàu ý nghĩa hình học.

Nói như tác giả:

"Có thêm một phương pháp luôn tốt hơn là chỉ biết một phương pháp."

---

Read More