Một số bài toán thú vị về Định luật bảo toàn cơ năng

MỘT SỐ BÀI TOÁN THÚ VỊ

ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

Những bài toán về định luật bảo toàn cơ năng thú vị dưới đây đã được chọn theo các tiêu chí nào?

1. 1. Làm nổi bật các phương pháp giải độc đáo định luật bảo toàn cơ năng
2. 2. Có chứa "hương vị" hoặc thủ thuật vật lý đẹp, khiến chúng nổi bật trong số các bài toán định luật bảo toàn cơ năng tương tự.
3. 3. Mức độ phức tạp của các bài toán được lựa chọn không làm người đọc chán nản (dù chúng là những bài toán nâng cao), thậm chí là những bài toán dùng để thi học sinh giỏi vật lí.

Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về một chủ đề quan trọng và không hề nhỏ đó là định luật bảo toàn cơ năng.

Sự thú vị đầu tiên nằm ở bốn ví dụ đầu, đó là việc không nhìn thấy các dữ kiện ẩn trong nội dung bài toán có thể dẫn đến kết quả sai. Chúng ta tập trung vào việc phân tích các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với các mối quan hệ khác nhau giữa các dữ kiện bài toán Định luật bảo toàn cơ năng.

Ví dụ 1
Một vật có khối lượng $m = 1\text{,}6\ \text{kg}$ được treo trên trần nhà bởi một sợi dây cao su đàn hồi có hệ số đàn hồi $k = 250\ \text{N/m}$. Truyền cho vật vận tốc ban đầu $v_0 = 1\ \text{m/s}$ hướng thẳng đứng lên trên. Độ cao tối đa (tính từ điểm xuất phát) mà vật đạt tới là bao nhiêu?

Phân tích và lời giải

Sự thú vị ở đây chính là sợi dây cao su. Đa phần chúng ta giải bài toán này khi coi sợi dây cao su tương đương với một lò xo, những vật có tính đàn hồi thường thấy.

Tuy nhiên, một sợi dây cao su chỉ giống như lò xo khi nó ở trạng thái căng. Nếu sợi dây không được kéo căng mà bị chùng thì nó không có khả năng nén đàn hồi lên vật nữa. Lúc này vật chỉ còn chịu tác dụng của trọng lực nữa mà thôi.
Hãy bắt đầu lời giải với trường hợp một vật treo dưới một lò xo theo phương pháp thông thường và chỉ ra sự khó khăn của phương pháp này. Và tất nhiên sẽ đưa ra một phương pháp mới quan trọng, giúp đơn giản hóa đáng kể việc giải các bài toán về lò xo thẳng đứng.
Ta viết phương trình định luật bảo toàn cơ năng của hệ, chọn mốc thế năng thế năng trọng trường là vị trí ban đầu của vật (Hình 1): \begin{equation} \frac{k x_{0}^{2}}{2}+\frac{m v_{0}^{2}}{2}=m g h+\frac{k\left(x_{0}-h\right)^{2}}{2}\tag{1.1} \end{equation} Ở đây $h$ là độ cao cần tìm, $x_0$ là độ biến dạng ban đầu của lò xo (hoặc sợi dây), nó được tìm thấy ở điều kiện cân bằng của vật: \begin{equation} k x_{0}-m g=0\tag{1.2} \end{equation} Phá các dấu ngoặc trong phương trình định luật bảo toàn cơ năng (1.1) và thay thế $x_0$, chúng ta đi đến một phương trình rất ngắn \begin{equation} \frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{k h^{2}}{2}\tag{1.3} \end{equation} Này các bạn, muốn sáng tạo ra các phương pháp giải toán vật lý, hãy giải chúng một cách tổng quát (đừng thay số vội), để ý hình thức của kết quả, so sánh nó với những định luật quen thuộc và nghĩ đến việc liên hệ chúng với nhau. Ở đây, gia tốc trọng trường $g$ hoàn toàn không có trong phương trình (1.3), như thể không có trường trọng lực, nó như con lắc lò xo nằm ngang vậy. Hay nói một cách dễ hiểu, ở vế trái chỉ có động năng, vế phải chỉ có thế năng đàn hồi. Vậy ta có thể bỏ thế năng trọng trường? Nhưng thế năng đàn hồi ban đầu đâu rồi? Thực ra chẳng bỏ qua được loại thế năng nào ở đây. Mà tổng của thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường tại một vị trí của vật có dạng \begin{equation} W_\text{t}=\frac{1}{2}ky^2\tag{1.4} \end{equation} trong đó $y= x-x_0$ là độ dời của vật so với ban đầu.
Thật vậy, lực tác dụng lên vật ở vị trí cân bằng bằng không, và khi dịch chuyển của vật một khoảng $y$ thì xuất hiện một lực $F_y=-ky$, bằng với sự thay đổi của lực đàn hồi (trọng lực không thay đổi). Vì lực này có dạng giống với lực đàn hồi, nên thế năng ứng với nó cũng giống như lực đàn hồi. Tính chất này thường được sử dụng một cách mặc định mà không có bất kỳ giải thích nào.
Thay dữ liệu số vào phương trình (1.3), ta tìm thấy chiều cao cần tìm: \begin{equation} h=v_{0} \sqrt{\frac{m}{k}}=80\ \mathrm{mm}\tag{1.5} \end{equation} Hãy quay lại bài toán định luật bảo toàn cơ năng với một sợi dây cao su. Có vẻ như câu trả lời nhận được, cả về kết quả dạng công thức và kết quả dạng số, không có gì giúp chúng ta nhận ra sai lầm. Tuy nhiên, chúng ta phải cẩn thận hãy kiểm tra xem dây cao su có còn ở trạng thái căng khi đến vị trí trên cùng của vật hay không. Để làm được điều này, chúng ta tính độ biến dạng ban đầu của dây $x_0$ và so sánh nó với $h$: \begin{equation} x_{0}=\frac{m g}{k}=64\ \mathrm{mm}\tag{1.6}\\ x_0\lt h \end{equation} Điều kiện để sợi dây sẽ bị chùng trong quá trình đi lên của vật là \begin{equation} v_{0} \sqrt{\frac{m}{k}}>\frac{m g}{k}\\ \text {hay}\ v_{0}>g \sqrt{\frac{m}{k}} \text {.} \end{equation} Nếu điều này xảy ra, ta chỉ cần viết định luật bảo toàn cơ năng như sau: \begin{equation} \frac{m v_{0}^{2}}{2}+\frac{k x_{0}^{2}}{2}=m g h\tag{1.7} \end{equation} khi đó (lưu ý đến đẳng thức $x_0=\frac{mg}{k}$) chúng ta thu được câu trả lời cuối cùng: \begin{align} h&=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}+\frac{m g}{2 k}\\ &=82\ \mathrm{mm} \end{align}

Ví dụ 2
Một vật khối lượng $m$ được treo trên trần nhà bằng dây cao su đàn hồi. Tác dụng lần lượt lên vật các lực không đổi thẳng đứng hướng lên. Lần thứ nhất lực tác dụng là $F_1= \frac{3mg}{4}$. Lần thứ hai lực tác dụng là $F_2=\frac{mg}{4}$. Chiều cao lớn nhất (đo từ điểm xuất phát) mà vật đạt được trong trường hợp thứ nhất lớn hơn trong trường hợp thứ hai bao nhiêu lần?

Phân tích và lời giải

Trước hết chúng ta sẽ giải quyết vấn đề với giả thiết rằng lực đàn hồi tác dụng trong mọi thời gian chuyển động, tức là như thể tinh thần thay thế sợi dây bằng một chiếc lò xo. Cơ năng của hệ ở độ cao cực đại $h$ cũng chính là thế năng tại đó, theo ví dụ 1 thì nó bằng $\frac{1}{2}kh^2$. Ban đầu cơ năng bằng 0, như vậy cơ năng đã tăng, và độ tăng cơ năng này đúng bằng công của lực $F$, tức là \begin{equation} F h=\frac{k h^{2}}{2}\tag{2.1} \end{equation} Độ cao cực đại $h$ dễ dàng được suy ra \begin{equation} h=\frac{2 F}{k}\tag{2.2} \end{equation} Theo giả thiết này thì ta có tỉ số hai độ cao cực đại ứng với hai lực \begin{equation} \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{F_{1}}{F_{2}}=3\tag{2.3} \end{equation} Tuy nhiên, rút kinh nghiệm cay đắng, chúng ta phải kiểm tra xem dây có còn căng cho đến khi vật đạt độ cao cực đại hay không. Ở đây, điều kiện $h \lt x_0$ phải được thỏa mãn, tức là \begin{equation} \frac{2 F}{k}\lt \frac{m g}{k}, \text {hay}\ F\lt \frac{m g}{2}\tag{2.4} \end{equation} Điều kiện này được đáp ứng cho trường hợp thứ hai, do đó \begin{equation} h_{2}=\frac{2 F_{2}}{k}\tag{2.5} \end{equation}

Đối với trường hợp thứ nhất (Hình 2), định luật bảo toàn cơ năng phải được viết lại (vì lực đàn hồi trong phần trên của chuyển động không tác dụng nên thế năng của trọng lực và lực đàn hồi phải được viết riêng): \begin{equation} F_{1} h_{1}=m g h_{1}-\frac{k x_{0}^{2}}{2}\tag{2.6} \end{equation} Thay $x_0=\frac{mg}{k}$, ta thu được \begin{equation} h_{1}=\frac{(m g)^{2}}{2 k\left(m g-F_{1}\right)}\tag{2.7} \end{equation} Rồi cuối cùng \begin{equation} \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{(m g)^{2}}{4 F_{2}\left(m g-F_{1}\right)}=4 \end{equation}

Ví dụ 3
Một thanh đồng chất có chiều dài $l = 2\ \text{m}$, chuyển động dọc theo chiều dài của nó dọc theo mặt phẳng nhẵn nằm ngang, bắt đầu đi qua đường ranh giới, qua đó bề mặt phẳng nhám với hệ số ma sát trượt $µ = 0\text{,}2$. Thanh sẽ đi được quãng đường $s$ bao nhiêu kể từ lúc gặp đường ranh giới đến lúc dừng lại, nếu vận tốc ban đầu $v_0 = 3\ \text{m/s}$?

Phân tích và lời giải

Với chuyển động có ma sát ta sử dụng định lí động năng: \begin{equation} A_{\mathrm{ms}}=0-\frac{m v_{0}^{2}}{2}\tag{3.1} \end{equation}

Chúng ta tính công của lực ma sát $A_\text{ms}$ với giả thiết rằng lực ma sát trong quá trình chuyển động luôn tăng, tức là ta giả sử rằng thanh sẽ dừng lại trước khi nó hoàn toàn vượt qua ranh giới. Tại thời điểm thanh đi được quãng đường $x$ (Hình 3) thì lực ma sát tác dụng lên một đoạn thanh có chiều dài $x\lt l$ bằng \begin{equation} F_{\text {тр }}=\mu m g \frac{x}{l}\tag{3.2} \end{equation} Vì lực ma sát là một hàm tuyến tính của quãng đường nên công của nó có thể được tính bằng công thức \begin{align} A_{\mathrm{ms}}&=-\frac{F_{\mathrm{rp} 1}+F_{\mathrm{rp} 2}}{2} s\\ &=-\frac{0+\mu m g \frac{s}{l}}{2} s\\ &=-\frac{\mu m g s^{2}}{2 l}\tag{3.3} \end{align} Thay (3.1) vào (3.3) ta được \begin{equation} \begin{aligned} &-\frac{\mu m g s^{2}}{2 l}=-\frac{m v_{0}^{2}}{2} \\ &s=v_{0} \sqrt{\frac{l}{\mu g}}=3\ {\mathrm{m}} \end{aligned} \end{equation} Thật không may, nhiều người sẽ cho rằng mình đã hoàn thành bài toán tại đây mà không nhận thấy rằng kết quả nhận được không có ý nghĩa, vì quãng đường đi được lớn hơn chiều dài của thanh (trái với giả thiết). Biểu thức đúng cho công của lực ma sát trong trường hợp $s\lt l$ có dạng \begin{equation} A_{\mathrm{rp}}=-\frac{0+\mu m g}{2} l-\mu m g(s-l)\tag{3.4} \end{equation} Thay (3.1) vào (3.4) ta được \begin{equation} s=\frac{l}{2}+\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g}=3\text{,}25\ \mathrm{~m} \end{equation} Tất nhiên, bạn có thể làm điều đó theo cách khác. Nếu bạn ngay lập tức thấy rằng các trường hợp khác nhau có thể xảy ra, thì bạn có thể bắt đầu giải pháp bằng cách tìm ra trường hợp nào được thực hiện. Ví dụ: tìm tốc độ tối thiểu $v_1$ mà tại đó thanh truyền hoàn toàn trên bề mặt gồ ghề: \begin{equation} \begin{gathered} 0-\frac{m v_{1}^{2}}{2}=-\frac{0+\mu m g}{2} l \\ v_{1}=\sqrt{\mu g l}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . \end{gathered} \end{equation} Vì $v_0\gt v_1$, rõ ràng đầu sau của thanh nhất thiết phải vượt qua ranh giới.

Ví dụ 4
Một quả cầu có khối lượng $m_2 = 480\ \text{g}$ bị trúng đạn có khối lượng $m_1 = 20\ \text{g}$ bay với vận tốc $v_1 = 100\ \text{m/s}$ dọc theo đường thẳng đi qua tâm của quả cầu. Giả sử lực cản chuyển động của viên đạn trong vật liệu của quả cầu là không đổi và bằng $F_\text{c} = 1650\ \text{N}$, hãy tìm vận tốc cuối cùng của quả cầu. Đường kính quả cầu là $d = 5\ \text{cm}$.

Phân tích và lời giải

Ta viết các định luật bảo toàn động lượng và năng lượng cho một va chạm nhất định, có kể đến sự chuyển hóa cơ năng thành nội năng do công của lực cản: \begin{align} m_{1} v_{1}=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2},\tag{4.1} \\ \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2}+Q,\tag{4.1} \\ Q=F_{c} d .\tag{4.3} \end{align} Loại bỏ vận tốc viên đạn cuối cùng khỏi các phương trình này \begin{equation} u_{1}=v_{1}-\frac{m_{2}}{m_{1}} u_{2}\tag{4.4} \end{equation} Chúng ta thu được vận tốc cuối cùng của quả cầu $u_2$ là phương trình bậc hai \begin{equation} \left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right) u_{2}^{2}-2 v_{1} u_{2}+\frac{2 F_{\mathrm{c}} d}{m_{2}}=0\tag{4.5} \end{equation} Nghiệm của cho phương trình này \begin{equation} u_{2}=\frac{v_{1} \pm \sqrt{v_{1}^{2}-\frac{2 F_{\mathrm{c}} d\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1} m_{2}}}}{1+\frac{m_{2}}{m_{1}}} \end{equation} Đưa ra hai nghiệm dương: 2,5 m/s và 5,5 m/s. Bạn nên chọn nghiệm nào?
Nhiều học sinh quen với thực tế là một trong những câu trả lời thường là số âm, và trước đó họ sẽ loại bỏ nghiệm có dấu trừ ở trước căn bậc hai. Những người khác không biết phải làm gì với hai nghiệm dương và chọn một nghiệm lớn nhất (và nhận được câu trả lời sai!). Trên thực tế, bạn cần tính tốc độ của viên đạn trong từng trường hợp (sử dụng công thức được viết ở trên biểu thị $u_1$ đến $u_2$): \begin{align} u_{1}&=v_{1}-\frac{m_{2}}{m_{1}} u_{2}\\ &=\frac{v_{1} \mp\left(\frac{m_{2}}{m_{1}}\right) \sqrt{v_{1}^{2}-\frac{2 F_{\mathrm{c}} d\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1} m_{2}}}}{1+\frac{m_{2}}{m_{1}}} \end{align} Có thể thấy rằng nếu ta chọn các dấu trên trong công thức $u_2$ và $u_1$ (cộng cho quả cầu và trừ cho viên đạn) thì vận tốc viên đạn sẽ nhỏ hơn vận tốc quả cầu: $u_1\lt u_2$(trong trường hợp cụ thể này, $u_1$ là âm và bằng $u_1 = -32\ \text{m/s}$). Điều này có nghĩa là viên đạn trong trường hợp này ở cùng phía với quả cầu mà nó đã bay. Điều này tương ứng với việc một viên đạn bật ngược trở lại với một năng lượng $Q$ bị mất đi (xem bài tập 4 bên dưới). Ngược lại, nếu chúng ta lấy các dấu hiệu thấp hơn (trừ cho quả bóng và cộng cho viên đạn), thì tốc độ viên đạn sẽ lớn hơn tốc độ của quả cầu (trong trường hợp này, $u_1 = 40\ \text{m/s}$), tương ứng đến tình huống viên đạn xuyên qua quả cầu và bay ra từ phía bên kia ... Điều này có nghĩa là câu trả lời đúng cho tốc độ của quả cầu tương ứng với một nghiệm nhỏ hơn: $u_2 = 2\text{,}5\ \text{m/s}$.

Trong bài toán về định luật bảo toàn cơ năng tiếp theo, trọng tâm là chọn điều kiện chính xác để xác định trạng thái cuối cùng của hệ.

Ví dụ 5
Trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn có hai thanh khối lượng $m_1 = 400\ \text{g}$ và $m_2 = 100\ \text{g}$, được nối với nhau bằng một lò xo không biến dạng. Thanh thứ nhất được truyền một vận tốc $v_1 = 10\ \text{m/s}$ theo phương của thanh thứ hai. Tìm tốc độ nhỏ nhất của thanh này trong quá trình chuyển động tiếp theo.

Phân tích và lời giải

Ta viết các định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn cơ năng (Hình 4): \begin{align} m_{1} v_{1}=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2},\tag{5.1}\\ \quad \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} u_{2}^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}\tag{5.2} \end{align} Trong đó $x$ là độ biến dạng của lò xo. Điều quan trọng để giải bài toán là phải hiểu thời điểm khi tốc độ của thanh có khối lượng $m_1$ là nhỏ nhất, khác với tất cả các thời điểm chuyển động khác như thế nào. Đối với điều này, cần phải xem xét các lực tác dụng lên thanh đầu tiên. Ngay sau khi thanh khối lượng $m_1$ bắt đầu chuyển động thì lò xo bắt đầu nén và lực đàn hồi hướng theo chuyển động. Giả sử rằng tốc độ của thanh này không đổi hướng, tức là $u_1$ luôn dương (sau này chúng ta sẽ phải kiểm tra giả thiết này). Khi đó tốc độ $u_1$ sẽ giảm đi giá trị tuyệt đối chừng nào lò xo bị nén tác dụng vào thanh. Khi lò xo chuyển sang trạng thái bị dãn, lực đàn hồi sẽ hướng dọc theo chuyển động và tốc độ của thanh bắt đầu tăng. Tốc độ tối thiểu tương ứng với thời điểm khi lò xo trở lại (như trước khi bắt đầu chuyển động) ở trạng thái không biến dạng, tức là khi $x = 0$.
Tại cùng thời điểm tốc độ của thanh thứ hai sẽ cực đại. Hệ phương trình tại thời điểm này \begin{align} m_{1} v_{1}=m_{1} u_{1}+m_{2} u_{2},\tag{5.3}\\ \quad \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} u_{2}^{2}}{2}\tag{5.4} \end{align} Trùng với hệ phương trình cho va chạm đàn hồi xuyên tâm. Lời giải cho bài toán này đã được nhiều người biết đến, chúng ta sẽ trình bày nó mà không giải thích: \begin{equation} u_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1}=6\ \mathrm{m} / \mathrm{s},\\ \quad u_{2}=\frac{2 m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1}=16\ \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{equation} Nếu vận tốc $u_2$ luôn dương, tức là câu trả lời đúng là tốc độ cực đại của thanh thứ hai với tỉ số khối lượng nào thì tốc độ $u_1$ chỉ dương với điều kiện $m_1\ge m_2$. Nếu $m_1\lt m_2$ thì trong quá trình chuyển động vận tốc của thanh thứ nhất đổi dấu, và đáp số vận tốc cực tiểu như sau: $u_1 = 0$. Chúng ta hãy lưu ý sự khác biệt thú vị giữa bài toán này và va chạm đàn hồi xuyên tâm, ví dụ va chạm giữa hai quả cầu. Sau khi va chạm, các quả cầu ngừng tương tác và bay đi. Trong trường hợp của chúng ta, lò xo nối các thanh được kéo căng sau thời điểm đã xét, thanh thứ nhất bắt đầu chuyển động chậm dần và thanh thứ hai bắt đầu tăng tốc. Sau một thời gian, tốc độ của thanh thứ nhất sẽ đạt giá trị cực đại $u_1'$ và tốc độ của thanh thứ hai đạt giá trị nhỏ nhất $u_2'$. Lò xo tại thời điểm này không bị biến dạng nữa, tức là các tốc độ này tuân theo cùng một hệ phương trình. Vì các vận tốc phải khác với vận tốc tìm được, chúng đại diện cho nghiệm thứ hai của hệ này, được loại bỏ trong bài toán về va chạm đàn hồi xuyên tâm: $u_1'=v_1$, $u_2' = 0$.

Hai bài toán về định luật bảo toàn cơ năng cuối cùng liên quan đến chuyển động tròn. Đầu tiên trong số chúng minh họa cách mô tả chuyển động của một vật thể cứng, bao gồm các chất điểm cố định trên một thanh không trọng lượng, có thể được mô tả như thế nào. Thứ hai trình bày cách sử dụng hệ quy chiếu chuyển động trong các bài toán về định luật bảo toàn khi chuyển động dọc theo một đường tròn.

Ví dụ 6
Một thanh không trọng lượng, ở hai đầu gắn hai quả nặng có khối lượng $m = 0\text{,}5\ \text{kg}$, có thể quay tự do quanh trục nằm ngang. Trục chia thanh theo tỷ lệ 1:3. Thanh được đưa đến vị trí nằm ngang và thả nhẹ. Xác định lực mà thanh tác dụng lên trục quay khi nó ở vị trí thẳng đứng.

Phân tích và lời giải

Nếu ở vị trí thẳng đứng, lực căng của phần dưới của thanh là $T_1$ và của phần trên là $T_2$, thì lực tác dụng lên trục là (Hình 5) $$F=T_1-T_2\tag{6.1}$$ Chúng ta tìm lực căng của các phần của thanh từ các biểu thức của định luật II Newton cho các vật nặng: \begin{align} &T_{1}-m g=m \omega^{2} \cdot 0,75 l\tag{6.2} \\ &T_{2}+m g=m \omega^{2} \cdot 0,25 l\tag{6.3} \end{align} trong đó $l$ là chiều dài của thanh. Lưu ý rằng các công thức được viết cũng có giá trị trong trường hợp phần trên của thanh ở trạng thái nén ($T_2 \lt 0$). Vận tốc góc của chuyển động quay $ω$ được tìm theo định luật bảo toàn cơ năng (mức quy chiếu của thế năng được lấy tại điểm treo): \begin{align} 0=m g \cdot 0,25 l-m g \cdot 0,75 l&+\frac{m(0,25 l \omega)^{2}}{2}\\ &+\frac{m(0,75 l \omega)^{2}}{2},\\ \omega^2=1\text{,}6\frac{g}{l} \end{align} Cuối cùng ta được \begin{align} F&=T_{1}-T_{2}\\ &=2 m g+0,5 m \omega^{2} l\\ &=2,8 m g=14\ \mathrm{H} \end{align}

Ví dụ 7
Bộ phận trình diễn của một nhóm xiếc bao gồm một mặt phẳng nghiêng gắn với một máng tròn bán kính $R$ (Hình 6). Hệ được cố định trên xe đẩy trên mặt phẳng nằm ngang. Một vật nhỏ có khối lượng $m_1 = 0\text{,}2\ \text{kg}$ trượt xuống từ độ cao $h = 3R$, tính từ điểm thấp nhất của máng. Áp lực của vật lên bề mặt ở đỉnh máng tròn là bao nhiêu? Bỏ qua ma sát. Trọng lượng của hệ máng cùng với xe đẩy là $m_2=4m_1$.

Phân tích và lời giải

Để tìm áp lực (chính xác hơn là phản lực pháp tuyến $N$), cần viết định luật II Newton cho điểm cùng của vòng. Nhưng ở đây nảy sinh một vấn đề: trong hệ quy chiếu nối với mặt đất, quỹ đạo của vật khác với đường tròn, vì xe đẩy có lắp đặt chuyển động với tốc độ thay đổi. Điều này có nghĩa là bán kính cong của quỹ đạo của vật có thể khác $R$. Cách giải quyết là viết định luật thứ hai của Newton trong hệ quy chiếu gắn với xe đẩy, nơi chuyển động xảy ra trong một vòng tròn có bán kính $R$. Tuy nhiên, có phản đối: xe đẩy chuyển động dưới tác dụng của lực ép vật có gia tốc, nghĩa là hệ quy chiếu gắn với nó không có quán tính. Phản đối này có hiệu lực đối với tất cả các khoảnh khắc chuyển động, ngoại trừ những khoảnh khắc khi tải vượt qua điểm dưới và điểm trên cùng của vòng. Tại những thời điểm này, lực ép hướng theo phương thẳng đứng và gia tốc của xe đẩy bằng không, do đó, lực quán tính tác dụng trong thời gian còn lại chuyển về không. Hãy viết định luật thứ hai của Newton cho điểm trên cùng của vòng: \begin{equation} m_{1} g+N=\frac{m_{1} v_{\text {vx}}^{2}}{R}\tag{7.1} \end{equation} Ở đây $v_\text{vx}$ là tốc độ của vật với xe đẩy, bằng $$v_\text{vx}=v_1-v_2\tag{7.2}$$ trong đó $v_1$ và $v_2$ là hình chiếu của tốc độ của tải và xe đẩy lên trục nằm ngang. Ta tìm thấy các tốc độ này từ các định luật bảo toàn đ ộng lượng và bảo toàn cơ năng: $$0=m_1v_1+m_2v_2\tag{7.3}$$ $$m_1gh=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}+m_1g2R\tag{7.4}$$ \begin{align} v_1^2&=\frac{2m_2}{m_1+m_2}g\left(h-2R\right)\\ &=\frac{8}{5}gR\tag{7.5}\\ v_\text{vx}&=v_1-v_2\\ &=v_1+\frac{m_1}{m_2}v_1\\ &=\frac{m_1+m_2}{m_2}\\ &=\frac{5}{4}v_1\tag{7.6} \end{align} Thay $v_\text{vx}$ vào định luật thứ hai của Newton, chúng ta thu được \begin{align} N&=\frac{m_1v_\text{vx}^2}{R}-m_1g\\ &=\frac{25}{16}\frac{m_1v_1^2}{2}-m_1g\\ &=\frac{3}{2}m_1g\\ &=3\ \text{N} \end{align}

Bài tập Định luật bảo toàn cơ năng tự giải

1. Một vật có khối lượng 5 kg được treo trên trần nhà dưới một sợi dây cao su đàn hồi có độ cứng 500 N/m. Vật có vận tốc ban đầu hướng lên theo phương thẳng đứng hai trường hợp. Trong trường hợp đầu tiên, tốc độ này là 0,5 m/s, trong trường hợp thứ hai - 2 m/ s. Chiều cao nâng tối đa (đo từ điểm xuất phát) trong trường hợp thứ hai lớn hơn bao nhiêu lần so với trường hợp thứ nhất?
2. Một tải trọng có khối lượng 2 kg được treo trên trần nhà trên một sợi dây cao su đàn hồi. Tải hai lần được tác dụng bởi một lực không đổi 15 N, hướng thẳng đứng lên trên trong trường hợp thứ nhất và hướng xuống theo phương thẳng đứng trong trường hợp thứ hai. Khoảng cách mà chất tải đi được đến lúc dừng lại, trong trường hợp thứ hai nhỏ hơn trường hợp thứ nhất bằng bao nhiêu phần trăm?
3. Một thanh đồng chất dài 2 m, chuyển động dọc theo chiều dài của nó dọc theo bề mặt gồ ghề nằm ngang, bắt đầu vượt qua ranh giới, sau đó bề mặt trở nên nhẵn. Tốc độ của thanh lúc này là 1,6 m / s. Thanh sẽ đi được quãng đường bao nhiêu (tính bằng cm) từ lúc này đến lúc dừng nếu hệ số ma sát với bề mặt gồ ghề là 0,2?
4. Một quả bóng nặng 480 g bị trúng một viên đạn nặng 20 g, bay với vận tốc 100 m / s dọc theo đường thẳng đi qua tâm của quả bóng. Sau khi va chạm, viên đạn bật trở lại, khi va chạm, nhiệt lượng được giải phóng 90 J. Tìm tốc độ cuối cùng của quả bóng.
5. Một thanh không trọng lượng, ở đầu cố định vật nặng 3 kg, ở giữa có vật nặng 4 kg có thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua đầu tự do của nó. Thanh được đưa lên vị trí trên và thả ra. Với lực nào thì nó sẽ tác dụng lên trục lúc vật đi qua vị trí thấp hơn?
6. Hai thanh có khối lượng 0,5 kg và 1 kg, nằm trên sàn nhẵn, được nối với nhau bằng lò xo có độ cứng 900 N / m. Lúc đầu, thanh thứ nhất dựa vào tường, lò xo không bị biến dạng và nằm vuông góc với tường. Khối thứ hai được dịch chuyển 10 cm về phía thứ nhất và thả ra. Tìm tốc độ lớn nhất của thanh đầu tiên khi bạn chuyển động.
7. Khối nằm trên mặt phẳng ngang nhẵn. Một giá ba chân được treo cố định trên thanh, trên một sợi dây nhẹ có khối lượng 0,1kg. Khối lượng của thanh cùng với chân máy bằng khối lượng của tải. Đầu tiên, sợi có tải được giữ ở vị trí nằm ngang, sau đó được thả ra. Tìm lực căng của sợi chỉ tại thời điểm quả nặng ở điểm thấp nhất.

----------- End -----------

Các bài viết liên quan nên đọc:

Bài toán va chạm
Định luật bảo toàn động lượng

Chuyên mục: Chuyên đề dạy học vật lý, Chuyên đề ôn thi đại học, Chuyên đề vật lí 10,