Giải bài toán tần số thay đổi trong mạch RLC bằng phương pháp "khoảng nghiệm"
Tần số trong mạch RLC thay đổi dẫn đến hầu hết các đại lượng khác liên quan đến dòng điện trong mạch thay đổi theo, với những quy luật khác nhau, rất đa dạng. Có những đại lượng luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến, cũng có những đại lượng đạt cực trị. Trong những đại lượng có cực trị khi tần số biến thiên, hai đại lượng rất thú vị trong mạch điện xoay chiều là công suất và cường độ hiệu dụng. Để dễ hình dung ra sự phụ thuộc của hai đại lượng này vào tần số dòng điện, ta xem các đồ thị ở hình vẽ dưới đây.
Có vô số cặp giá trị tần số góc $ω_1$ và $ω_2$ cho cùng một giá trị công suất và cùng một giá trị cường độ hiệu dụng. Cặp tần $ω_1$ và $ω_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai. Ta gọi hiệu của chúng $Δω=ω_2-ω_1$ là khoảng nghiệm. Tôi đã viết một chuyên đề Áp dụng định lí Viet cho phương trình bậc hai. Ở đó, tích hai nghiệm $ω_1.ω_2$ và tổng hai nghiệm $ω_1 + ω_2$ được vận dụng rất hiệu quả. Bài viết này, tôi chia sẻ một cách tiếp cận khác, đó là vận dụng hiệu hai nghiệm $ω_1 - ω_2$, hay để dễ nhớ, tôi gọi là Phương pháp khoảng nghiệm.
Bài toán tổng quát mạch RLC có tần số thay đổi
Trong mạch điện xoay chiều $RLC$, điện áp hai đầu mạch $u = U_0\cos{(ωt)}$, với điện áp cực đại $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ có thể thay đổi được. Có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch bằng nhau và bằng $I_{12}$. Hãy tính $I_{12}$ theo $ω_1$ và $ω_2$.
Trước hết, ta đi từ biểu thức cường độ dòng điện hiệu dụng \begin{align} I&=\frac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}\\ &=\frac{U}{\sqrt{R^2+{L^2\left(\omega-\frac{1}{\omega CL}\right)}^2}}\\ &=\frac{U}{\sqrt{R^2+{L^2\left(\omega-\frac{\omega_0^2}{\omega}\right)}^2}}\tag{0.1} \end{align} Theo bài ra thì \begin{align} I_{12}=I\left(\omega_1\right)=I\left(\omega_2\right)\tag{0.2} \end{align} Mà ta đã biết $$\omega_1\times\omega_2=\omega_0^2=\frac{1}{LC}\tag{0.3}$$ Ta lấy $ω = ω_1$ chẳng hạn, thì được \begin{align} I_{12}&=\frac{U}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega_1-\frac{\omega_0^2}{\omega_1}\right)^2}}\\ &=\frac{U}{\sqrt{R^2+{L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)}^2}}\tag{0.4} \end{align}Các bài toán thí dụ về mạch RLC có tần số thay đổi
Bài 1. Áp dụng trực tiếp hiệu tần số
Trong mạch điện $RLC$, điện trở thuần $R = 100\ \text{Ω}$, độ tự cảm $L = 0\text{,}1\ \text{H}$. Điện áp xoay chiều giữa hai đầu mạch có biểu thức $u = U_0\cos{(ωt)}$, với $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau và bằng $200\ \text{W}$. Biết rằng $ω_1 – ω_2 = 500\ \text{rad/s}$. Tính $U_0$.
Giải
Ta nhớ sẵn $$I_{12}=\frac{U}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2}}\tag{1.1}$$ Chỉ thêm nó vào biểu thức công suất \begin{align} P_{12}&=I_{12}^2R\\ &=\frac{U^2R}{R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2}\tag{1.2} \end{align} Suy ra ngay \begin{align} U&=\sqrt{\frac{P_{12}\left[R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2\right]}{R}}\\ &=\sqrt{\frac{200\left[{100}^2+{0,1}^2\times{500}^2\right]}{100}}\tag{1.3} \end{align} $$U_0=\sqrt2U=223,6\ \mathrm{V}\tag{1.4}$$Bài 2. Thử tự đi tìm công thức hiệu nghịch đảo hai tần số
Điện áp xoay chiều hai đầu mạch $RLC$ có giá trị hiệu dụng $U =250\ \text{V}$ không đổi, tần số góc $ω$ có thể thay đổi được. Biết giá trị điện trở thuần $R = 120\ \text{Ω}$. Khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó điện áp hai đầu điện trở bằng nhau và bằng $160\ \text{V}$. Biết rằng $\frac{1}{\omega_2}-\frac{1}{\omega_1}=\frac{3}{350}\ \text{(s/rad)}$. Tính điện dung $C$ của tụ điện.
Giải
Ta có thể phân tích biểu thức cường độ dòng điện hiệu dụng theo hướng có $C$ như sau: \begin{align} I&=\frac{U}{\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2}\left(\omega LC-\frac{1}{\omega}\right)^2}}\\ &=\frac{U}{\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2}\left(\frac{\omega}{\omega_0^2}-\frac{1}{\omega}\right)^2}}\tag{2.1} \end{align} Vì $$I\left(\omega_1\right)=I\left(\omega_2\right)=I_{12},$$ ta lấy $ω = ω_1 \omega=\omega_1$ chẳng hặn, khi đó $$I_{12}=\frac{U}{\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2}\left(\frac{\omega_1}{\omega^{0^2}}-\frac{1}{\omega_1}\right)^2}}\tag{2.2}$$ Ta vẫn chú ý rằng $$\omega_0^2=\omega_1\omega_2$$ Nên $$I_{12}=\frac{U}{\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2}\left(\frac{1}{\omega_2}-\frac{1}{\omega_1}\right)^2}}\tag{2.3}$$ \begin{align} U_{R_{12}}&=I_{12}R\\ &=\frac{UR}{\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2}\left(\frac{1}{\omega_2}-\frac{1}{\omega_1}\right)^2}}\tag{2.4} \end{align} Đến đây thì dễ dàng tính được \begin{align} C&=\frac{\frac{1}{\omega_2}-\frac{1}{\omega_1}}{\sqrt{\frac{U^2}{U_{R_{12}}^2}R^2-R^2}}\\ &=\frac{\frac{3}{350}}{120\sqrt{\left(\frac{200}{160}\right)^2-1}}\\ &=95\text{,}2\ \mathrm{\mu F} \end{align}Bài 3. Đề minh họa THPT quốc gia năm 2017
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng $200\ \text{V}$ và tần số $f$ thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có $R$, $L$, $C$ mắc nối tiếp. Biết cuộn cảm thuần có độ tự cảm $L=\frac{1}{\pi}\ \text{H}$. Khi tần số $f = 50\ \text{Hz}$ hoặc $f = 200\ \text{Hz}$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch đều bằng $0\text{,}4\ \text{A}$. Điều chỉnh tần số $f$ để cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch có giá trị cực đại. Giá trị cực đại này bằng bao nhiêu?
Giải
Có lẽ không khó để nhớ biểu thức cường độ hiệu dụng $I_{12}$ $$I_{12}=\frac{U}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2}}\tag{3.1}$$ Trong đó $I_{12} = 0\text{,}4\ \text{A}$, $L = \frac{1}{π}\ \text{H}$, $U = 200\ \text{V}$, $ω_1 – ω_2 = 2π(200 – 50) = 300π\ \text{rad/s}$. Dễ dàng suy ra \begin{align} R&=\sqrt{\left(\frac{U}{I_{12}}\right)^2-L^2\left(\Delta\omega\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{200}{0.4}\right)^2-\left(\frac{1}{\pi}\right)^2\times\left(300\pi\right)^2}\\ &=400\ \Omega \end{align} Ta phải đi tìm cường độ dòng điện hiệu dụng cực đại, với f thay đổi thì I = Imax khi cộng hưởng, tức là $$I_{\mathrm{max}}=\frac{U}{R}=\frac{200}{400}=0\text{,}5\ \text{A}$$Bài 4. Đề thi ĐH năm 2012
Đặt điện áp $u = U_0\cos{ωt}\ \text{V}$ ($U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần $R$, cuộn cảm thuần có độ tự cảm $\frac{4}{5\pi}\ \text{H}$ và tụ điện mắc nối tiếp. Khi tần số góc $ω = ω_0$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực đại $I_\text{m}$. Khi tần số góc $ω = ω_1$ hoặc $ω = ω_2$ thì cường độ dòng điện cực đại qua đoạn mạch bằng nhau và bằng $I_\text{m}$. Biết $ω_1 − ω_2 = 200π\ \text{rad/s}$. Giá trị của $R$ bằng bao nhiêu?
Giải
Mạch RLC có tần số thay đổi, cường độ hiệu dụng cực đại khi cộng hưởng $$I_\mathrm{m}=\frac{U}{R}\tag{4.1}$$ Ta sử dụng ngay công thức đã chứng minh $$I_0=\frac{U\sqrt2}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega-\frac{\omega_0^2}{\omega}\right)^2}}\tag{4.2}$$ Khi $ω = ω_1$ thì $I = I_\text{m}$, tức là \begin{align} I_\mathrm{m}&=\frac{U\sqrt2}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2}}\\ &=\frac{U}{R}\tag{4.3} \end{align} Suy ra \begin{align} R&=L(\omega_1-\omega_2)\\ &=\frac{4}{5\pi}200\pi\\ &=160\ \mathrm{\Omega} \end{align}Bài 5. Đồ thị theo biến hiệu tần số
Điện áp xoay chiều hai đầu mạch $RLC$ có biểu thức ổn định $u = U_0\cos{(ωt)}$, với điện áp cực đại $U_0$ không đổi, tần số góc $ω$ thay đổi được. Khi thay đổi tần số góc thì có hai giá trị của tần số góc là $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó cường độ hiệu dụng của mạch bằng nhau và bằng $I_{12}$. Đặt $x=\left(\frac{1}{I_{12}}\right)^2$ và $y = (ω_1 – ω_2)^2$. Hình vẽ dưới đây là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của $y$ vào $x$ (với cường độ hiệu dụng $I_{12}$ tính theo đơn vị $\text{A}$ và tần số góc $ω$ tính theo đơn vị $\text{rad/s}$).
Giải
Từ biểu thức $$I_{12}=\frac{U}{\sqrt{R^2+L^2\left(\omega_1-\omega_2\right)^2}}\tag{5.1}$$ Ta đưa về phương trình liên hệ $x$ và $y$ \begin{align} \frac{1}{x}&=\frac{U^2}{R^2+L^2y}\tag{5.2}\\ y&=U^2x-R^2\tag{5.3} \end{align} Trên đồ thị, hệ số góc $$\tan{\alpha}=U^2\tag{5.3}$$ \begin{align} \Rightarrow\ U&=\sqrt{\tan{\alpha}}.{10}^2\\ &=100\sqrt{\frac{14-6}{2.24-1.12}}\\ &\approx267,26\ \mathrm{\mathrm{V}} \end{align}Bài 6. Độ chênh lệch giữa hai tần số phụ thuộc vào điện trở của mạch RLC
Trong mạch điện $RLC$, cảm kháng $L$ của cuộn dây và điện dung $C$ của tụ điện không đổi, điện trở thuần $R$ có thể điều chỉnh giá trị. Điện áp xoay chiều hai đầu mạch có biểu thức $u = 220\cos{(ωt)}$, trong đó tần số góc $ω$ thay đổi được. Với mỗi giá trị của biến trở $R$, khi thay đổi tần số dòng điện thì có hai giá trị tần số góc $ω = ω_1$ và $ω = ω_2$ mà tại đó công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau và bằng $200\ \text{W}$. Tìm giá trị của điện trở $R$ để độ chênh lệch giữa hai tần số góc $ω_1$ và $ω_2$ là lớn nhất.
Không có nhận xét nào: