Để chinh phục thành công các kỳ thi học sinh giỏi, việc hiểu sâu bản chất của các hiện tượng vi mô là điều vô cùng cần thiết. Bài đăng Chuyên đề bồi dưỡng HSG vật lý: Các bài toán về lượng tử ánh sáng này sẽ cung cấp một hệ thống kiến thức chuyên sâu và mang tính thực chiến cao. Qua việc phân tích các định luật nền tảng của M. Planck, A. Einstein cùng các dạng bài tập lượng tử ánh sáng nâng cao, từ đặc trưng của photon, hiệu ứng quang điện cho đến các định luật bảo toàn động lượng trong thế giới vi mô, tài liệu sẽ giúp người đọc hình thành phản xạ tư duy nhạy bén. Đây chắc chắn là nguồn tham khảo chất lượng, hỗ trợ đắc lực cho các em học sinh và quý đồng nghiệp trong quá trình ôn thi học sinh giỏi Vật lý các cấp.
Khi xây dựng định luật phân bố năng lượng trong quang phổ bức xạ của vật đen tuyệt đối, năm 1900, M. Planck đã đưa ra một giả thuyết hoàn toàn xa lạ với vật lý cổ điển, cho rằng sự bức xạ (và hấp thụ) ánh sáng của các nguyên tử không diễn ra một cách liên tục mà thành từng phần rời rạc — các lượng tử. Planck cho rằng năng lượng của một lượng tử được xác định bởi biểu thức: $$ E = h\nu $$ trong đó $\nu$ là tần số bức xạ, còn $h$ là một hằng số, sau này được gọi là hằng số Planck. Theo các dữ liệu hiện đại $h = 6,626 \cdot 10^{-34}$ J.s.
Phát triển lý thuyết lượng tử, năm 1905, A. Einstein đã đi đến quan điểm cho rằng ngay cả khi lan truyền trong không gian, ánh sáng cũng cư xử giống như một tập hợp các hạt nào đó, với năng lượng được xác định bởi công thức của Planck. Những hạt như vậy được gọi là lượng tử ánh sáng, hay photon.
Có rất nhiều điều đã được biết về photon. Khối lượng nghỉ của nó bằng không (ít nhất, các dữ liệu thực nghiệm hiện tại cho phép khẳng định rằng khối lượng nghỉ của photon nhỏ hơn $4 \cdot 10^{-36} m_e$, với $m_e$ là khối lượng nghỉ của electron), và vận tốc của nó bằng vận tốc ánh sáng. Nếu photon có năng lượng, nó cũng phải có động lượng.
Mối liên hệ giữa năng lượng và động lượng có thể dễ dàng tìm được từ các hệ thức: $$ E = mc^2 \quad \text{và} \quad p = mc $$ trong đó $m$ là khối lượng tương đối tính của photon, $c$ là vận tốc ánh sáng. Kết quả là ta thu được: $$ p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} $$
Một trong những hiện tượng xác nhận giả thuyết về photon là hiệu ứng quang điện, được H. Hertz phát hiện vào năm 1887. Lý thuyết định lượng về hiệu ứng quang điện đã được Einstein xây dựng vào năm 1905. Và các thí nghiệm của A. Compton về tán xạ tia X đã chứng minh một cách trực quan rằng các photon tuân theo những định luật cơ học giống như các hạt vật chất.
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một bài toán cụ thể.
I. Bài toán về Hiệu ứng quang điện
Bài toán 1
Catốt của một tế bào quang điện chân không (Hình 1) được chiếu sáng bằng ánh sáng có tần số $\nu = 10^{15}$ Hz và công suất bức xạ $P = 0,41$ W. Nếu giữ nguyên cường độ và tần số của ánh sáng tới, đồng thời thay đổi điện áp giữa anốt và catốt (cả độ lớn và dấu), thì sự phụ thuộc của dòng quang điện $I$ vào điện áp $U$ sẽ có dạng như Hình 2.
Hãy xác định công thoát của vật liệu làm catốt quang điện dựa vào đồ thị này (anốt cũng được làm từ cùng một vật liệu). Đồng thời, hãy tìm xác suất để một photon đơn lẻ bứt được một electron ra khỏi catốt.
Khi chiếu sáng catốt bằng ánh sáng, xảy ra tương tác giữa các lượng tử ánh sáng với các electron của vật chất, và trong trường hợp hiệu ứng quang điện ngoài (như trong bài toán này), đó là các electron dẫn nằm ở lớp bề mặt của catốt. Trong quá trình va chạm giữa một photon và một trong những electron này, năng lượng $h\nu$ của photon được truyền hoàn toàn cho electron, và nếu năng lượng bổ sung này đủ lớn, electron có thể thoát khỏi bề mặt catốt.
Động năng cực đại $E_k$ của quang electron được xác định bởi phương trình Einstein cho hiệu ứng quang điện: $$ E_k = h\nu - A $$ trong đó $A$ là công thoát của electron từ bề mặt vật liệu bị chiếu sáng ra chân không. Nếu năng lượng photon lớn hơn công thoát, thì ngay cả khi hiệu điện thế giữa catốt và anốt bằng 0, một phần các quang electron vẫn bay đến được anốt và trong mạch kín của tế bào quang điện có dòng điện chạy qua. Khi hiệu điện thế giữa anốt và catốt có giá trị âm (trên anốt mang điện âm, trên catốt mang điện dương), số lượng quang electron bay tới anốt sẽ giảm đi. Rõ ràng là dòng quang điện sẽ bằng 0 nếu hiệu điện thế hãm giữa anốt và catốt bằng: \begin{align} U_h = \frac{E_k}{e} \quad \text{hay} \quad E_k = e U_h \end{align} với $e$ là điện tích của electron. Thay biểu thức này vào phương trình Einstein, ta được: $$ A = h\nu - e U_h $$
Từ đồ thị, ta tìm được trong trường hợp của chúng ta $U_h = 0,3$ V. Công thoát thường được biểu diễn bằng electron-volt ($1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}$ J), do đó kết quả cuối cùng ta thu được: $$ A = 3,84 \text{ eV} $$
Khi các photon đập vào vật liệu catốt, không phải mọi photon đều bứt được một electron. Rõ ràng, xác suất của một sự kiện như vậy (hiệu suất lượng tử) bằng tỷ số giữa số electron $N_e$ bay ra khỏi catốt trong một đơn vị thời gian và số photon $N_\Phi$ đập vào bề mặt catốt trong cùng khoảng thời gian đó: $$ \eta = \frac{N_e}{N_\Phi} $$
Số photon $N_\Phi$ được xác định bởi công suất của bức xạ tới: $$ N_\Phi = \frac{P}{h\nu} = 6,2 \cdot 10^{17} \text{ s}^{-1} $$ Còn số lượng electron $N_e$ được xác định bởi độ lớn của dòng quang điện bão hòa $I_{bh}$ (từ đồ thị $I_{bh} = 1 \cdot 10^{-3}$ A): \begin{align} N_e &= \frac{I_{bh}}{e}\\ &= \frac{10^{-3}}{1,6 \cdot 10^{-19}}\\ &= 6,25 \cdot 10^{15} \text{ s}^{-1} \end{align}
Vậy xác suất bứt electron từ một photon là: $$ \eta = \frac{6,25 \cdot 10^{15}}{6,2 \cdot 10^{17}} \approx 0,01 \text{ (hay } 1\% \text{)} $$
Bài toán 2
Quang thông qua một lỗ nhỏ có tiết diện $\sigma_1 = 2 \text{ mm}^2$ lọt vào bên trong một hốc có diện tích bề mặt $S = 5 \text{ cm}^2$ (Hình 3). Thành hốc hấp thụ một phần nhỏ ánh sáng và tán xạ phần còn lại. Bên trong hốc tạo ra một bức xạ đẳng hướng (phân bố đều theo mọi hướng). Từ lỗ thứ hai có tiết diện $\sigma_2 = \sigma_1$, có $n = 0,2$ quang thông lọt vào lỗ thứ nhất thoát ra ngoài. Hệ số hấp thụ của thành hốc bằng bao nhiêu?
Trong bài toán này, dĩ nhiên ta đang xét ở chế độ xác lập (trạng thái dừng), khi mật độ năng lượng bức xạ ánh sáng bên trong hốc là không đổi. Nhân tiện lưu ý rằng, một hốc như vậy là mô hình rất tốt của một vật đen tuyệt đối.
Gọi $E$ là năng lượng bức xạ chiếu tới một đơn vị diện tích bề mặt hốc trong một đơn vị thời gian. Khi đó, quang thông thoát ra qua các lỗ là $\Phi_1 = 2\sigma E$, và quang thông bị thành hốc hấp thụ là $\Phi_2 = (S - 2\sigma)\beta E$, trong đó $\beta$ là hệ số hấp thụ cần tìm của thành hốc.
Từ điều kiện cân bằng năng lượng, ta tìm được quang thông $\Phi$ đi vào hốc trong một đơn vị thời gian: \begin{align} \Phi &= \Phi_1 + \Phi_2\\ &= 2\sigma E + (S - 2\sigma)\beta E \end{align}
Theo điều kiện bài toán, quang thông thoát ra từ lỗ thứ hai chiếm phần $n$ của quang thông đi vào: $$ \sigma E = n\Phi $$
Giải hệ hai phương trình cuối cùng, ta thu được: $$ \beta = \frac{(1 - 2n)\sigma}{n(S - 2\sigma)} = 0,012 $$
Bài toán 3
Một chùm tia laser xung hẹp có năng lượng $E = 0,4$ J và độ dài xung $\tau = 10^{-9}$ s chiếu vào một thấu kính hội tụ song song với trục chính $OO'$ của nó (Hình 4). Khoảng cách từ chùm tia đến trục chính có độ lớn bằng tiêu cự của thấu kính. Tìm độ lớn lực trung bình do ánh sáng tác dụng lên thấu kính, nếu một nửa năng lượng bức xạ laser bị thấu kính hấp thụ. Bỏ qua sự phản xạ từ các bề mặt của thấu kính.
Lực tác dụng lên thấu kính khi bức xạ laser truyền qua nó bằng độ biến thiên động lượng của thấu kính trong một đơn vị thời gian: $$ \vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}_{tk}}{\Delta t} $$
Ta xét hệ kín "bức xạ laser – thấu kính". Động lượng của hệ này trước khi ánh sáng truyền qua thấu kính hiển nhiên bằng động lượng của bức xạ laser, hướng dọc theo trục quang học của thấu kính, và độ lớn của nó là $p_{c1} = E/c$.
Sau khi khúc xạ qua thấu kính, chùm sáng đi qua tiêu điểm ảnh và truyền đi dưới một góc $\alpha = \text{arctg}(1) = \pi/4$ (Hình 5). Chùm tia ló có năng lượng $0,5E$ (đã tính đến sự hao hụt trong thấu kính), và động lượng $\vec{p}_{c2}$ của nó hợp với phương ngang một góc $\alpha$, có độ lớn $p_{c2} = 0,5E/c$.
Theo định luật bảo toàn động lượng cho hệ kín, động lượng mà thấu kính nhận được sẽ là: $$ \vec{p}_{tk} = \vec{p}_{c1} - \vec{p}_{c2} $$ Độ lớn của nó: $$ p_{tk} = \sqrt{p_{c1}^2 + p_{c2}^2 - 2p_{c1}p_{c2}\cos\alpha} $$
Động lượng ban đầu của thấu kính bằng không, do đó độ biến thiên động lượng chính bằng động lượng $\vec{p}_{tk}$ mà nó thu được. Sự biến thiên này xảy ra trong thời gian $\tau$, do đó, lực trung bình tác dụng lên thấu kính sẽ là: \begin{align} F = \frac{\Delta p_{tk}}{\Delta t}& = \frac{p_{tk}}{\tau}\\ & = \frac{1}{\tau}\sqrt{p_{c1}^2 + p_{c2}^2 - 2p_{c1}p_{c2}\cos\alpha}\\ &\approx 0,7\frac{E}{c\tau}\\ &= 1 \text{ N} \end{align}
Bài toán 4
Một hạt $\pi_0$-meson trung hòa đang bay thì phân rã thành hai lượng tử $\gamma$ giống nhau (các photon có năng lượng cao). Góc bay xa nhau giữa các lượng tử $\gamma$ là $\theta = 174^\circ$. Xác định vận tốc của $\pi_0$-meson trước khi phân rã. Xét trường hợp phi tương đối tính, khi vận tốc của hạt nhỏ hơn rất nhiều so với vận tốc ánh sáng.
Trong thế giới vi mô cũng giống như trong thế giới vĩ mô, các định luật bảo toàn năng lượng và động lượng vẫn đúng cho các hệ kín. Ta sẽ sử dụng chúng.
Trước khi phân rã, tổng năng lượng của $\pi_0$-meson bao gồm năng lượng nghỉ $m_\pi c^2$ và động năng $m_\pi v^2 / 2$, trong đó $m_\pi$ là khối lượng nghỉ của hạt, còn $v$ là vận tốc của nó. Sau khi $\pi_0$-meson phân rã, xuất hiện hai lượng tử $\gamma$. Giả sử năng lượng của mỗi lượng tử là $E_\gamma$. Khi đó định luật bảo toàn năng lượng có thể được viết dưới dạng: $$ m_\pi c^2 + \frac{m_\pi v^2}{2} = 2E_\gamma $$
Định luật bảo toàn động lượng (với mô hình véc-tơ được biểu diễn trên Hình 6) cho phép thu được phương trình thứ hai:
Từ định luật bảo toàn động lượng, ta có: $$ m_\pi v = 2\frac{E_\gamma}{c}\cos\frac{\theta}{2} $$
Loại bỏ $E_\gamma$ từ hai phương trình này, ta thu được phương trình bậc hai đối với $v$: $$ v^2 - 2\frac{c}{\cos(\theta/2)}v + 2c^2 = 0 $$ và nghiệm của nó là: $$ v_{1,2} = \frac{c}{\cos(\theta/2)}\left(1 \pm \sqrt{1 - 2\cos^2\frac{\theta}{2}}\right) $$
Nghiệm thứ nhất không có ý nghĩa vật lý vì $v > c$, nên nghiệm của bài toán sẽ là nghiệm thứ hai, cụ thể là: \begin{align} v = v_2& = \frac{c}{\cos(\theta/2)}\left(1 - \sqrt{1 - 2\cos^2\frac{\theta}{2}}\right)\\ &= c \cos\frac{\theta}{2}\\ &\approx 1,6 \cdot 10^7 \text{ m/s} \end{align} (Ở đây chúng ta đã sử dụng phép gần đúng: vì $\frac{\theta}{2}$ xấp xỉ $\pi/2$ nên $\cos\frac{\theta}{2} \ll 1$, suy ra $\sqrt{1 - 2\cos^2\frac{\theta}{2}} \approx 1 - \cos^2\frac{\theta}{2}$).
II. Bài tập tự giải
Bài tập 1
Trên Hình 7 biểu diễn đồ thị thu được từ thực nghiệm về sự phụ thuộc của hiệu điện thế hãm $U_h$ (tức là điện áp giữa catốt và anốt mà tại đó dòng quang điện trong tế bào chân không triệt tiêu) vào tần số $\nu$ của ánh sáng tới. Sử dụng đồ thị này, hãy tìm giá trị của hằng số Planck, công thoát của electron khỏi catốt và giới hạn đỏ của hiệu ứng quang điện.
Bài tập 2
Một quả cầu đồng cô lập sẽ tích điện đến điện thế cực đại bằng bao nhiêu nếu nó được chiếu bằng ánh sáng tử ngoại có bước sóng $\lambda = 2 \cdot 10^{-7}$ m? Công thoát của electron đối với đồng là $A = 4,47$ eV, hằng số Planck $h = 6,62 \cdot 10^{-34}$ J.s, điện tích electron $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ C.
Bài tập 3
Một chùm tia laser xung hẹp có năng lượng $E = 0,5$ J và độ dài xung $\tau = 10^{-9}$ s chiếu vào một thấu kính phân kỳ song song với trục chính quang học của nó. Khoảng cách từ chùm tia đến trục là $F/\sqrt{3}$, trong đó $F$ là tiêu cự của thấu kính. Tìm độ lớn lực trung bình do ánh sáng tác dụng lên thấu kính, nếu một nửa năng lượng của bức xạ laser bị hấp thụ trong thấu kính. Bỏ qua sự phản xạ từ các bề mặt của thấu kính.
III. Thư bạn đọc: "Thắp sáng"... bằng ánh sáng
Chúng tôi xin giới thiệu với các bạn một phương pháp rất đơn giản và trực quan để "tạo ra" ánh sáng nhờ hiệu ứng quang điện.
Hãy lắp ráp một mạch điện đơn giản (xem hình) với một bóng đèn neon thu nhỏ, trong đó có một điện cực phẳng và điện cực kia hình khuyên. Đầu tiên, hãy tăng dần điện áp và để xuất hiện sự phóng điện phát sáng trong bóng đèn. Sau đó giảm nhẹ điện áp sao cho sự phóng điện đó tắt đi. Bây giờ, hãy chiếu sáng bóng đèn neon bằng chùm tia từ laser heli-neon, hướng chùm tia vuông góc vào điện cực phẳng của nó, ánh sáng màu cam rực rỡ của sự phóng điện sẽ xuất hiện trở lại.
Nếu bạn không có laser, đừng buồn. Bạn có thể sử dụng ánh sáng từ đèn sợi đốt thông thường hoặc thậm chí chỉ là ánh sáng ban ngày, bằng cách luân phiên chiếu sáng bóng đèn neon rồi lấy lòng bàn tay che lại. Tất nhiên, thực hiện thí nghiệm với laser heli-neon sẽ ấn tượng hơn, mặc dù điều đó là không bắt buộc.
Cuối cùng, một vài lời khuyên thực tế. Tốt nhất là quan sát sự phóng điện từ một góc chếch so với pháp tuyến của điện cực phẳng. Điện trở giới hạn (ballast) nên lấy ở mức khoảng $2 \text{ k}\Omega$ — nếu điện trở lớn hơn đáng kể, thí nghiệm có thể không thành công. Sự mồi phóng điện xảy ra ở khoảng 50-60 V, do đó không nên tăng điện áp quá mức để tránh làm hỏng đèn neon.
Chúc các bạn thực hiện thí nghiệm thành công!
G. Zharikov
