Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý, một trong những phương pháp tư duy độc đáo và hiệu quả bậc nhất chính là phương pháp tương tự (analogy method). Bằng cách thiết lập mối quan hệ đồng dạng giữa các hệ vật lý có bản chất hoàn toàn khác nhau nhưng có cùng cấu trúc toán học, người học có thể chuyển hóa một bài toán phức tạp thành một bài toán quen thuộc đã biết cách giải.
Mối liên hệ tương hỗ kinh điển giữa dao động cơ học và dao động điện từ không chỉ giúp đào sâu bản chất của định luật bảo toàn năng lượng mà còn là chìa khóa then chốt giải quyết nhiều bài toán thi chọn học sinh giỏi các cấp. Dưới đây là nội dung chuyên đề được sưu tầm và giới thiệu đến các em học sinh và các đồng nghiệp làm tư liệu ôn thi học sinh giỏi môn Vật lý.
I. Khái niệm về Tương tự và Quá trình Dao động
Tương tự là một phương pháp nhận thức, trong đó dựa trên sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu để suy ra sự giống nhau của chúng ở các dấu hiệu khác. Khi xác định được sự tương đồng này và nhận thấy số lượng các dấu hiệu trùng khớp đủ lớn, nhà nghiên cứu có thể đưa ra dự đoán rằng các thuộc tính khác của các đối tượng này cũng sẽ trùng khớp. Tiến trình lập luận như vậy tạo nên nền tảng của phương pháp tương tự.
Trong vật lý, phương pháp tương tự thường được áp dụng ở giai đoạn nghiên cứu lý thuyết các hiện tượng và đối tượng thông qua việc so sánh các đặc tính cơ bản của hai hệ. Cơ sở của tương tự vật lý là sự tương đồng về mô tả toán học của các quá trình và đối tượng vật lý được so sánh. Chính việc nghiên cứu các mô hình tương tự đã mang lại nhận thức sâu sắc rằng: các hiện tượng có bản chất vật lý khác nhau có thể tuân theo cùng một hệ quy luật và phương trình toán học.
Tương tự vật lý được chia thành hai loại: tương tự tĩnh và tương tự động.
Tương tự tĩnh đặc trưng cho các hệ có thông số không biến đổi theo thời gian. Ví dụ điển hình là sự tương đồng giữa định luật vạn vật hấp dẫn và định luật Coulomb. Biểu thức lực hấp dẫn giữa hai chất điểm khối lượng $M, m$ và lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích điểm trái dấu $Q, q$ có dạng đồng dạng: $$ F_{\text{hd}} = G \frac{Mm}{r^2} \quad \text{và} \quad F_{\text{đ}} = k \frac{|Qq|}{r^2} $$ với $G$ là hằng số hấp dẫn, $k$ là hệ số tỉ lệ tĩnh điện, $r$ là khoảng cách giữa các vật.
Mặt khác, một sự tương đồng sâu sắc xuất hiện khi so sánh dao động của một quả cầu treo trên lò xo (con lắc lò xo) và sự biến thiên điện tích trong mạch dao động điện từ $LC$ (Hình 1).
Trong trường hợp này, các quá trình biến thiên theo thời gian ở hai hệ có bản chất vật lý hoàn toàn khác nhau lại tương tự nhau. Những tương tự thuộc loại này được gọi là tương tự động lực học. Cần lưu ý rằng nguyên lý làm việc của máy tính tương tự (analog computer) thời kỳ đầu được xây dựng dựa trên sự tương đồng giữa các quá trình cơ học và điện tử. Quá trình biến đổi trong các hệ tương tự động lực học được mô tả bằng cùng một phương trình vi phân toán học.
Việc áp dụng tương tự trong nhiều trường hợp giúp đơn giản hóa đáng kể các bước giải quyết bài toán vật lý. Chúng ta hãy xét một loạt các bài toán mà lời giải sẽ trở nên tinh gọn và rõ ràng hơn rất nhiều nhờ phương pháp tương tự động lực học.
II. Các bài toán ứng dụng phương pháp tương tự động lực học
Bài toán 1. Mạch dao động LC nối tiếp với nguồn điện một chiều
Một nguồn điện có suất điện động $\mathcal{E}$ và điện trở trong bằng không được mắc nối tiếp với một cuộn cảm có độ tự cảm $L$ và một tụ điện có điện dung $C$ (Hình 2). Tại thời điểm ban đầu, tụ điện chưa tích điện.
Hãy tìm sự phụ thuộc vào thời gian của điện tích trên tụ điện và hiệu điện thế giữa hai bản cực của nó sau khi đóng khóa $K$.
Việc tìm quy luật biến thiên trực tiếp bằng các định luật điện từ học là tương đối phức tạp, do đó sử dụng mô hình cơ học tương tự là hoàn toàn hợp lý. Hình 3 biểu diễn một hệ dao động cơ học tương đương. Đại lượng tương đương với nguồn điện có suất điện động $\mathcal{E}$ chính là trọng trường. Khi đột ngột rút giá đỡ khỏi vật nặng treo dưới lò xo, dao động của vật sẽ bắt đầu.
Phương trình định luật II Newton cho vật nặng có dạng: $$ ma = mg - kx $$ Ký hiệu gia tốc là $x''$ và đặt $\omega_0^2 = \frac{k}{m}$. Từ phương trình định luật II Newton, ta thu được phương trình vi phân bậc hai: $$ x'' + \omega_0^2 x = g $$ Nghiệm của phương trình vi phân này có dạng: $$ x(t) = x_0(1 - \cos \omega_0 t) $$ trong đó $x_0 = \frac{mg}{k}$ và $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
Vật nặng dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $x_0$, với độ dịch chuyển nằm trong đoạn $[0; 2x_0]$.
Độ dịch chuyển của vật $x(t)$ tương ứng với điện tích trên tụ điện $q(t)$. Từ sự tương tự giữa hai hệ dao động, ta suy ra điện tích trên tụ điện biến đổi theo thời gian trong khoảng $[0; 2q_0]$. Biểu thức biến thiên theo thời gian của điện tích và hiệu điện thế trên tụ sau khi đóng khóa $K$ là: \begin{align} q(t) &= q_0(1 - \cos \omega_0 t) \\ U(t) &= \frac{q(t)}{C} = \mathcal{E}(1 - \cos \omega_0 t) \end{align} trong đó $q_0 = C\mathcal{E}$ và $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
Hình 4 mô tả đồ thị biến thiên của các đại lượng $x(t)$ và $q(t)$, trong đó $T$ là chu kỳ dao động của con lắc lò xo và của điện tích trong tụ điện.
Bài toán 2. Tụ điện nối với hai cuộn cảm mắc song song
Tụ điện có điện dung $C$ và hai cuộn cảm có độ tự cảm $L_1, L_2$ được mắc vào mạch điện như trên hình 5. Ban đầu khóa $K$ mở, tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế $U_0$.
a) Tìm chu kỳ dao động điện từ của mạch dao động này sau khi đóng khóa.
b) Tìm cường độ dòng điện cực đại chạy qua mỗi cuộn cảm.
a) Xác định chu kỳ dao động:
Sử dụng phương pháp tương tự. Mô hình cơ học tương đương của mạch điện được biểu diễn trên hình 6. Hai quả cầu nhỏ khối lượng $m_1$ và $m_2$ được nối với nhau bằng lò xo nhẹ độ cứng $k$ đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Người ta nén lò xo rồi đồng thời thả tự do hai vật. Cần xác định chu kỳ dao động phát sinh.
Vì khối tâm của hệ đứng yên nên hai quả cầu dao động ngược pha với cùng tần số. Độ lệch $x_1, x_2$ của chúng so với vị trí cân bằng thỏa mãn $k_1 x_1 = k_2 x_2$, với $k_1, k_2$ là độ cứng của các đoạn lò xo có chiều dài: \begin{align} l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2} \quad \text{và} \quad l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2} \end{align} ($l_1, l_2$ là khoảng cách từ các vật đến khối tâm hệ). Độ dãn của đoạn lò xo có chiều dài bằng $1/n$ cả lò xo luôn nhỏ hơn $n$ lần độ dãn của toàn bộ lò xo, tức đoạn lò xo có độ cứng gấp $n$ lần. Do đó: \begin{align} k_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2}k \quad \text{và} \quad k_2 = \frac{m_1 + m_2}{m_1}k \end{align} Từ đây suy ra chu kỳ dao động của hai vật là: $$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k}} $$ Chuyển sang mạch điện tương ứng (với $m_1 \leftrightarrow L_1$, $m_2 \leftrightarrow L_2$, $k \leftrightarrow 1/C$), chu kỳ dao động điện từ là: $$ T = 2\pi\sqrt{\frac{C L_1 L_2}{L_1 + L_2}} $$
b) Xác định cường độ dòng điện cực đại:
Từ mối quan hệ tương tự, hiệu điện thế trên tụ tương ứng với lực đàn hồi của lò xo ($U \leftrightarrow F$). Định luật bảo toàn cơ năng cho hệ cơ học:
$$ \frac{F_0^2}{2k} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} $$
với $F_0$ là lực đàn hồi ban đầu, $v_1, v_2$ là vận tốc cực đại của các vật. Do hai vật dao động ngược pha với cùng tần số, chúng đạt vận tốc cực đại đồng thời. Khối tâm hệ đứng yên nên tổng động lượng bằng không:
$$ m_1 v_1 = m_2 v_2 $$
Giải hệ phương trình, ta tìm được:
\begin{align}
v_1 &= F_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}\frac{1}{k(m_1 + m_2)}} \\
v_2 &= F_0 \sqrt{\frac{m_1}{m_2}\frac{1}{k(m_1 + m_2)}}
\end{align}
Từ phép đối ứng sang hệ điện ($v \leftrightarrow I, F_0 \leftrightarrow U_0, k \leftrightarrow 1/C, m_i \leftrightarrow L_i$), cường độ dòng điện cực đại qua mỗi cuộn cảm là:
\begin{align}
I_1 &= U_0 \sqrt{\frac{L_2}{L_1}\frac{C}{L_1 + L_2}} \\
I_2 &= U_0 \sqrt{\frac{L_1}{L_2}\frac{C}{L_1 + L_2}}
\end{align}
Bài toán 3. Tái phân bố năng lượng trong mạch ghép hai tụ điện
Trong sơ đồ mạch điện trên hình 7, tụ điện bên trái có điện dung $C_1$ tích điện lượng ban đầu $q_0$, tụ điện bên phải có điện dung $C_2$ ban đầu không tích điện.
a) Thiết lập phương trình biến thiên điện tích trong các tụ điện theo thời gian sau khi đóng khóa $K$.
b) Xác định nhiệt lượng tỏa ra sau khi các dao động điều hòa trong mạch được thiết lập ổn định.
Quá trình này có thể được minh họa trực quan thông qua hệ cơ học tương đương ở hình 8.
Ta tiến hành thí nghiệm: giữ chặt một vòng bất kỳ của lò xo và kéo dãn phần bên trái một đoạn $x_0$. Phần bên phải không bị biến dạng, vật nặng ở thời điểm đầu lệch khỏi vị trí cân bằng sang phải một đoạn $x_0$ và đứng yên. Khi thả tay, sẽ xuất hiện các dao động tắt dần rất nhanh của riêng lò xo (do khối lượng lò xo rất nhỏ so với vật nặng nên chu kỳ dao động của lò xo vô cùng bé). Nhờ quán tính, vật nặng chưa kịp dịch chuyển đáng kể trong khoảng thời gian dao động nhanh của lò xo diễn ra.
Sau khi các dao động nhanh này tắt đi, lực căng trên toàn lò xo được tái phân bố đồng đều, còn độ dịch chuyển của vật vẫn xấp xỉ bằng $x_0$. Như vậy, một phần thế năng đàn hồi ban đầu đã chuyển hóa thành nhiệt. Gọi độ cứng phần trái là $k_1$, phần phải là $k_2$, độ cứng tương đương của lò xo là: $$ \frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \implies k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} $$ Vật nặng trên lò xo sẽ thực hiện dao động điều hòa theo quy luật: $$ x(t) = x_0 \cos \omega_0 t $$ với tần số góc riêng: $$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{k_1 k_2}{(k_1 + k_2)m}} $$ Ban đầu, công cơ học do ngoại lực thực hiện là $\frac{k_1 x_0^2}{2}$. Sau khi dao động điều hòa được thiết lập, cơ năng toàn phần của hệ là $\frac{k x_0^2}{2}$. Nhiệt lượng tỏa ra là: $$ Q = \frac{k_1 x_0^2}{2} - \frac{k x_0^2}{2} $$
Trở lại hệ điện từ: khi đóng khóa $K$, các dao động tắt dần diễn ra rất nhanh trong vòng mạch gồm hai tụ điện và dây nối. Chu kỳ các dao động này cực nhỏ do độ tự cảm của dây nối không đáng kể so với cuộn cảm chính $L$. Kết quả là điện tích trên các bản tụ nhanh chóng tái phân bố, sau đó hai tụ điện ghép song song tương đương với một tụ điện duy nhất.
a) Sau khi các dao động nhanh tắt hẳn, mạch dao động như một hệ có một tụ điện duy nhất $C_1 + C_2$ mang điện tích tổng ban đầu $q_0$: $$ q(t) = q_0 \cos \omega_0 t, \quad \text{với } \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{L(C_1 + C_2)}} $$
b) Nhiệt lượng tỏa ra sau khi các dao động điều hòa được thiết lập bằng: $$ Q = \frac{q_0^2}{2C_1} - \frac{q_0^2}{2(C_1 + C_2)} $$
Bài toán 4. Hai tụ điện giống nhau mắc nối tiếp với cuộn cảm
Trong mạch điện gồm hai tụ điện giống nhau có cùng điện dung $C$ và một cuộn cảm có độ tự cảm $L$ mắc nối tiếp (Hình 9), tại thời điểm ban đầu một tụ mang điện tích $q_0$, còn tụ kia chưa tích điện.
Cường độ dòng điện trong mạch và điện tích của các tụ điện biến thiên như thế nào theo thời gian sau khi đóng khóa $K$?
Mô hình cơ học tương đương được biểu diễn trên hình 10. Quả cầu nhỏ khối lượng $m$ gắn giữa hai lò xo trên mặt phẳng nhẵn.
Khi thả tay, vật sẽ dao động điều hòa. Do tính đối xứng, dao động của vật diễn ra giữa các vị trí tọa độ $0$ và $x_0$, với biên độ $A = x_0/2$ (Hình 11).
Coi vật là chất điểm. Vận tốc biến thiên theo quy luật hàm sin: $v = v_0 \sin \omega_0 t$, với $\omega_0$ là tần số góc và $v_0$ là biên độ vận tốc. Độ cứng tổng cộng của hệ hai lò xo bằng $2k$, do đó: $$ \omega_0 = \sqrt{\frac{2k}{m}} $$ Để xác định $v_0$, sử dụng định luật bảo toàn cơ năng. Gọi $x_1$ là độ dịch chuyển của lò xo bên trái ở thời điểm $t$, thì tọa độ của lò xo bên phải là $x_2 = x_0 - x_1$: $$ \frac{kx_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx_1^2}{2} + \frac{k(x_0 - x_1)^2}{2} $$ với $v$ là vận tốc tức thời. Từ đây ta có: $$ v^2 = \frac{2k}{m} x_1(x_0 - x_1) \tag{*} $$ Khảo sát cực trị, biểu thức $v^2$ đạt cực đại khi $x_1 = x_0 - x_1 = x_0/2$. Do đó biên độ vận tốc là: $$ v_0 = x_0 \sqrt{\frac{k}{2m}} \implies v = x_0 \sqrt{\frac{k}{2m}} \sin \omega_0 t $$ Thay vào (*), ta thu được: \begin{align} x_1 &= \frac{x_0}{2}(1 + \cos \omega_0 t) \\ x_2 &= x_0 - x_1 = \frac{x_0}{2}(1 - \cos \omega_0 t) \end{align}
Chuyển các kết quả cơ học sang mạch điện tương ứng:
• Tần số góc của mạch dao động: $$ \omega_0 = \sqrt{\frac{2}{LC}} $$ • Cường độ dòng điện biến thiên theo thời gian: $$ I = q_0 \sqrt{\frac{1}{2LC}} \sin \omega_0 t $$ • Biên độ dòng điện cực đại: $$ I_0 = q_0 \sqrt{\frac{1}{2LC}} $$ • Điện tích trên tụ điện thứ nhất: $$ q_1 = \frac{q_0}{2}(1 + \cos \omega_0 t) $$ • Điện tích trên tụ điện thứ hai: $$ q_2 = q_0 - q_1 = \frac{q_0}{2}(1 - \cos \omega_0 t) $$
Bài toán 5. Vận tốc cực đại trong dao động cưỡng bức có cản
Tìm vận tốc cực đại của quả cầu gắn trên lò xo dao động trong môi trường nhớt dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn $f = 10 \sin 10t\text{ (N)}$ (Hình 12).
Cho biết khối lượng quả cầu $m = 0,1\text{ kg}$, độ cứng lò xo $k = 2\text{ N/m}$, hệ số lực cản môi trường $\beta = 1\text{ N}\cdot\text{s/m}$. Lực cản môi trường nhớt có dạng $F_{\text{cản}} = -\beta v$.
Bài toán này minh họa phép biến đổi ngược: từ hệ cơ học chuyển sang bài toán mạch điện tương đương. Vì việc giải phương trình vi phân mô tả dao động cưỡng bức có cản vượt quá khuôn khổ chương trình vật lý phổ thông, ta áp dụng phép tương tự. Hệ điện tương đương là một mạch $RLC$ nối tiếp được cấp điện bởi nguồn xoay chiều (Hình 13).
Từ định luật Ohm cho đoạn mạch điện xoay chiều, cường độ dòng điện cực đại trong mạch là: $$ I_0 = \frac{U_0}{Z} = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}} $$ Thiết lập mối tương quan giữa các đại lượng cơ học và điện từ: $$ v \longleftrightarrow I, \quad f \longleftrightarrow U, \quad m \longleftrightarrow L, \quad k \longleftrightarrow \frac{1}{C}, \quad \beta \longleftrightarrow R $$ Từ tính tương đồng của hai hệ, ta suy ra biểu thức vận tốc cực đại của vật: $$ v_0 = \frac{F_0}{\sqrt{\beta^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}} $$ Thay số từ dữ kiện đề bài: $\beta = 1\text{ N}\cdot\text{s/m}$, $F_0 = 10\text{ N}$, $\omega = 10\text{ s}^{-1}$, $m = 0,1\text{ kg}$, $k = 2\text{ N/m}$: $$ \omega m - \frac{k}{\omega} = 10 \cdot 0,1 - \frac{2}{10} = 0,8\text{ N}\cdot\text{s/m} $$ Do đó, vận tốc cực đại đạt được là: $$ v_0 = \frac{10}{\sqrt{1^2 + 0,8^2}} = \frac{10}{\sqrt{1,64}} \approx 7,8\text{ m/s} $$
0 nhận xét:
Đăng nhận xét