Tự học ôn thi HSG Quốc gia: Chu trình Carnot tĩnh điện và cơ chế dịch chuyển điện tích không tiêu tán

TỦ SÁCH CHUYÊN KHẢO VẬT LÝ CHUYÊN & OLYMPIAD

CHU TRÌNH CARNOT TĨNH ĐIỆN VÀ CƠ CHẾ DỊCH CHUYỂN ĐIỆN TÍCH KHÔNG TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG

Bài toán dài khảo sát các mạch điện có C, RC, RL và LC • Thang điểm: 20.0 điểm

Khái quát chuyên đề: Tụ điện tích trữ điện tích $Q$ và năng lượng điện trường dưới hiệu điện thế $V$ theo hệ thức $Q = CV$. Khi nạp điện từ nguồn điện một chiều thông thường qua điện trở, luôn có đúng $50\%$ công của nguồn điện biến thành nhiệt Joule, bất kể điện trở nhỏ đến đâu. Bài toán này khảo sát cách triệt tiêu hao phí này bằng hai cơ chế: (1) Chu trình Carnot tĩnh điện sử dụng tụ có bản di động và (2) Cơ chế truyền điện tích không tiêu tán qua cuộn cảm thuần.

PHẦN I: NĂNG LƯỢNG TĨNH ĐIỆN VÀ NGHỊCH LÝ HAO PHÍ NẠP TỤ (4.5 Điểm)

Mắc mạch điện gồm nguồn điện một chiều có suất điện động $V$, tụ điện có điện dung $C$, điện trở $R$ và hai khóa chuyển mạch $\text{SW}_1$, $\text{SW}_2$ như Hình 1. Ban đầu tụ chưa tích điện ($Q = 0$). Khóa $\text{SW}_2$ mở, đóng $\text{SW}_1$ để nạp đầy điện cho tụ. Sau đó mở $\text{SW}_1$, rồi đóng $\text{SW}_2$ để tụ phóng điện qua $R$.

Câu 1 (1.0 điểm): Tính công mà nguồn điện đã thực hiện cho đến khi nạp đầy tụ điện ở Hình 1.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Khi tụ điện đã nạp đầy, hiệu điện thế hai đầu tụ bằng bao nhiêu so với suất điện động của nguồn?
2. Điện lượng tổng cộng mà cực dương của nguồn điện đã vận chuyển qua mạch bằng bao nhiêu?
3. Công của nguồn điện một chiều dưới suất điện động không đổi $V$ được tính bằng công thức cơ bản nào?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Điện tích tụ khi nạp no: $Q = CV$.
- Suất điện động $V$ không đổi trong toàn bộ quá trình: $A = \int V\,dq = V \int dq = V Q = C V^2$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

Khi nạp đầy điện, hiệu điện thế hai đầu tụ cân bằng với suất điện động của nguồn: $U_C = V$. Điện tích tích tụ trên bản dương của tụ điện là:

$$Q = C V$$

Vì suất điện động của nguồn giữ nguyên giá trị không đổi $V$, toàn bộ điện lượng $Q$ được nguồn vận chuyển sinh ra công bằng:

$$A = Q V = C V^2$$

Đáp số: $A = C V^2$

Câu 2 (2.0 điểm): Khảo sát quá trình phóng điện qua điện trở $R$ sau khi ngắt nguồn (Hình 1).

Chọn thời điểm đóng khóa $\text{SW}_2$ là $t = 0$. Tại thời điểm $t \ge 0$, điện tích bản trên của tụ là $Q(t)$, dòng điện trong mạch là $I(t)$ theo chiều mũi tên.
a) Từ điều kiện tổng độ giảm thế trong mạch kín bằng 0, tìm hệ thức giữa $Q(t)$ và $I(t)$.
b) Lấy đạo hàm hệ thức trên theo thời gian $t$, thiết lập phương trình vi phân đối với $I(t)$.
c) Xác định dòng ban đầu $I(0)$ và giải phương trình vi phân tìm $I(t)$.
d) Tích phân công suất tỏa nhiệt Joule tức thời $R [I(t)]^2$ để tìm nhiệt lượng $W_J(T)$ tỏa ra trên $R$ từ $t = 0$ đến thời điểm $T > 0$. Suy ra nhiệt lượng tổng cộng khi $T \to \infty$.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Khi tụ phóng điện, mối liên hệ giữa chiều dòng điện $I(t)$ và tốc độ suy giảm điện tích bản trên $\frac{dQ(t)}{dt}$ mang dấu gì?
2. Hiệu điện thế giữa hai bản tụ liên hệ thế nào với định luật Ohm trên điện trở $R$?
3. Khi tích phân biểu thức $e^{-2t/(RC)}$, hằng số thời gian của mạch phóng bằng bao nhiêu?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Bản trên mang điện tích $+Q$, phóng điện dòng chạy ra khỏi bản trên nên $I(t) = -\frac{dQ(t)}{dt}$.
- Định luật vòng kín: $\frac{Q(t)}{C} - R I(t) = 0 \implies R I(t) = \frac{Q(t)}{C}$.
- Đạo hàm: $R \frac{dI}{dt} = \frac{1}{C}\frac{dQ}{dt} = -\frac{I}{C} \implies \frac{dI}{dt} = -\frac{I}{RC}$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Áp dụng định luật Kirchhoff cho mạch phóng kín:

$$\frac{Q(t)}{C} - R I(t) = 0 \iff R I(t) = \frac{Q(t)}{C}$$

b) Vì dòng điện phóng làm giảm điện tích của tụ điện: $I(t) = -\frac{dQ(t)}{dt}$. Lấy đạo hàm hai vế theo $t$:

$$R \frac{dI(t)}{dt} = \frac{1}{C} \frac{dQ(t)}{dt} = -\frac{1}{C} I(t) \implies \frac{dI(t)}{dt} = -\frac{1}{RC} I(t)$$

c) Tại $t = 0$, $Q(0) = CV$, do đó cường độ dòng ban đầu:

$$I(0) = \frac{Q(0)}{RC} = \frac{V}{R}$$

Nghiệm của phương trình vi phân:

$$I(t) = I(0) e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$$

d) Nhiệt lượng Joule tỏa ra trên điện trở $R$ từ thời điểm 0 đến $T$:

$$W_J(T) = \int_0^T R [I(t)]^2 dt = R \frac{V^2}{R^2} \int_0^T e^{-\frac{2t}{RC}} dt = \frac{1}{2} C V^2 \left( 1 - e^{-\frac{2T}{RC}} \right)$$

Khi $T \to \infty$, nhiệt lượng tổng cộng giải phóng trên $R$ là:

$$W_{J,\infty} = \frac{1}{2} C V^2$$

Đáp số: $I(t) = \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$, $W_J(T) = \frac{1}{2} C V^2 (1 - e^{-\frac{2T}{RC}})$, khi $T \to \infty$ nhiệt lượng là $\frac{1}{2} C V^2$.

Câu 3 (1.5 điểm): Phân tích quá trình nạp điện thực tế có tính điện trở mạch $r$ (Hình 2).

Đóng khóa $\text{SW}$ tại $t = 0$. Thiết lập phương trình vi phân và tính nhiệt lượng Joule tỏa ra trên điện trở trong $r$ của mạch trong toàn bộ thời gian nạp tụ ($T \to \infty$). Đối chiếu với năng lượng nguồn đã cấp ở Câu 1 và rút ra nghịch lý năng lượng.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Trong quá trình nạp, phương trình định luật Kirchhoff có mặt suất điện động $V$ không?
2. Dòng nạp thỏa mãn quan hệ $I(t) = +\frac{dQ(t)}{dt}$ hay mang dấu âm?
3. Nhiệt lượng tỏa ra trên $r$ khi $T \to \infty$ có phụ thuộc vào độ lớn của điện trở $r$ không?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Phương trình thế: $V - \frac{Q(t)}{C} - r I(t) = 0 \implies r I(t) + \frac{Q(t)}{C} = V$.
- Đạo hàm theo $t$ với $I(t) = \frac{dQ}{dt}$: $r \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = 0 \implies I(t) = \frac{V}{r} e^{-\frac{t}{rC}}$.
- Tích phân nhiệt tỏa trên $r$ hoàn toàn tương tự Câu 2.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

Mạch nạp tuân theo phương trình vi phân:

$$V - r I(t) - \frac{Q(t)}{C} = 0 \implies r \frac{dI(t)}{dt} + \frac{I(t)}{C} = 0 \implies I(t) = \frac{V}{r} e^{-\frac{t}{rC}}$$

Nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở dây $r$ trong suốt quá trình nạp ($T \to \infty$):

$$Q_J = \int_0^\infty r [I(t)]^2 dt = \frac{1}{2} C V^2$$

Cân bằng năng lượng toàn phần:

$$A_{\text{nguồn}} = C V^2 = U_{\text{tụ}} \left(\frac{1}{2} C V^2\right) + Q_J \left(\frac{1}{2} C V^2\right)$$

Kết luận cốt lõi: Bất kể điện trở $r$ nhỏ đến đâu, đúng $50\%$ công của nguồn điện luôn bị biến thành nhiệt Joule khi nạp trực tiếp qua hiệu điện thế không đổi!

Đáp số: $Q_J = \frac{1}{2} C V^2$.

PHẦN II: DỊCH CHUYỂN ĐIỆN TÍCH KHÔNG TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG (4.0 Điểm)

Để triệt tiêu tổn hao nhiệt Joule khi di chuyển điện tích, ta khảo sát tụ điện phẳng có bản trái cố định, bản phải có thể di chuyển cơ học dọc theo trục tọa độ $x$, làm thay đổi khoảng cách hai bản cực và điện dung $C(x)$ (Hình 3). Năng lượng tĩnh điện của tụ điện tại mỗi trạng thái là $U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2$.

Câu 4 (2.0 điểm): Quá trình đẳng điện tích vi mô (Isomorphic charge process).

Đóng khóa $\text{SW}$ nạp no điện tích $Q$, sau đó ngắt $\text{SW}$ để cách ly tụ điện. Dịch chuyển bản phải một đoạn vi phân $dx$, làm hiệu điện thế thay đổi vi lượng $dV$.
a) Lực tĩnh điện $F(x)$ do điện trường tác dụng lên bản phải được biểu diễn theo $\frac{dC}{dx}$ như thế nào? (Chiều dương của $F$ hướng theo chiều tăng của $x$).
b) Tính công cơ học vi phân $dW_Q = F(x)dx$ mà tụ điện sinh ra lên tác nhân bên ngoài theo $dV$ và một hệ số tỉ lệ thích hợp chứa $Q, V$.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Khi mạch hở, điện tích $Q$ được giữ không đổi, lực cơ học tác dụng lên bản cực liên hệ thế nào với tốc độ biến thiên thế năng tĩnh điện theo tọa độ: $F(x) = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_Q$?
2. Khi $Q = \text{const}$, vi phân của thế hiệu $V = \frac{Q}{C}$ biến đổi theo $dC$ như thế nào?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- $U = \frac{Q^2}{2C(x)} \implies F(x) = -\frac{d}{dx}\left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx} = \frac{1}{2}V^2 \frac{dC}{dx}$.
- $dW_Q = F(x)dx = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C^2}dC$. Lại có $dV = d\left(\frac{Q}{C}\right) = -\frac{Q}{C^2}dC$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Trong quá trình đẳng điện tích, hệ cô lập về mặt điện lượng ($Q = \text{const}$). Lực tĩnh điện tác dụng lên bản cực di động bằng đạo hàm đổi dấu của thế năng theo tọa độ dịch chuyển:

$$F(x) = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_Q = -\frac{d}{dx} \left( \frac{Q^2}{2 C(x)} \right) = \frac{Q^2}{2 [C(x)]^2} \frac{dC}{dx} = \frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx}$$

b) Công cơ học do tụ điện thực hiện lên ngoại lực khi bản dịch chuyển $dx$:

$$dW_Q = F(x) dx = \frac{Q^2}{2 C^2} dC$$

Mặt khác, vì $Q$ là hằng số nên vi phân hiệu điện thế hai đầu tụ là:

$$dV = d\left(\frac{Q}{C}\right) = -\frac{Q}{C^2} dC \implies \frac{Q}{C^2} dC = -dV$$

Thay vào biểu thức của công cơ học:

$$dW_Q = \frac{1}{2} Q \left( \frac{Q}{C^2} dC \right) = -\frac{1}{2} Q dV$$

Ý nghĩa: Vì mạch hở không có dòng điện chạy qua điện trở ($I = 0$), nhiệt lượng Joule bằng 0. Công cơ học sinh ra đúng bằng độ giảm thế năng tĩnh điện của tụ ($dW_Q = -dU$).

Đáp số: $F(x) = \frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx}$ và $dW_Q = -\frac{1}{2} Q dV$.

Câu 5 (2.0 điểm): Quá trình đẳng thế vi mô (Isopotential process).

Đưa bản cực về vị trí ban đầu rồi đóng khóa $\text{SW}$ (nối với nguồn có hiệu điện thế $V$ không đổi). Tác nhân bên ngoài dịch chuyển bản cực thật chậm (chuẩn tĩnh) từ $x$ đến $x + dx$, điện tích tụ nhận thêm một lượng vi phân $dQ$.
a) Tính công cơ học $dW_V$ do tụ sinh ra theo $dQ$ và $V$.
b) Biểu diễn công của nguồn điện $dP$ và độ biến thiên năng lượng tĩnh điện $dU$ của tụ theo $dQ$. Rút ra kết luận về nhiệt Joule sinh ra trong quá trình này.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Khi hiệu điện thế $V$ không đổi, độ tăng điện tích liên hệ với độ biến thiên điện dung như thế nào ($dQ = V dC$)?
2. Năng lượng nguồn cung cấp để nạp thêm lượng điện tích $dQ$ dưới điện áp $V$ bằng bao nhiêu?
3. So sánh $dP$ với tổng $(dU + dW_V)$ để kiểm tra xem có năng lượng tiêu tán thành nhiệt Joule hay không?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- $dW_V = F(x)dx = \frac{1}{2} V^2 dC$. Với $V = \text{const} \implies dC = \frac{dQ}{V} \implies dW_V = \frac{1}{2} V dQ$.
- $dP = V dQ$.
- $dU = d(\frac{1}{2} C V^2) = \frac{1}{2} V^2 dC = \frac{1}{2} V dQ$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Lực tĩnh điện tác dụng lên bản tụ: $F(x) = \frac{1}{2} V^2 \frac{dC}{dx}$. Vì $V = \text{const}$, vi phân điện tích là $dQ = d(CV) = V dC \implies dC = \frac{dQ}{V}$. Do đó:

$$dW_V = F(x) dx = \frac{1}{2} V^2 dC = \frac{1}{2} V^2 \left( \frac{dQ}{V} \right) = \frac{1}{2} V dQ$$

b) Công do nguồn điện cung cấp khi đưa lượng điện tích vi phân $dQ$ vào tụ:

$$dP = V dQ$$

Độ tăng năng lượng tĩnh điện dự trữ trong tụ:

$$dU = d\left( \frac{1}{2} C V^2 \right) = \frac{1}{2} V^2 dC = \frac{1}{2} V dQ$$

Bảo toàn năng lượng vi phân: Ta nhận thấy:

$$dP = dU + dW_V \implies dQ_{\text{Joule}} = dP - (dU + dW_V) = 0$$

Kết luận: Khi quá trình thay đổi điện dung diễn ra đủ chậm (quá trình chuẩn tĩnh), dòng nạp cực nhỏ khiến hao phí Joule trên điện trở mạch triệt tiêu hoàn toàn!

Đáp số: $dW_V = \frac{1}{2} V dQ$, $dP = V dQ$, $dU = \frac{1}{2} V dQ$, nhiệt Joule triệt tiêu.

PHẦN III: CHU TRÌNH CARNOT TĨNH ĐIỆN VÀ BƠM ĐIỆN TÍCH (5.5 Điểm)

Ghép tụ điện có bản cực di động với hai nguồn điện có suất điện động $V_1$ và $V_2$ ($V_1 < V_2$) qua hai khóa $\text{SW}_1$ và $\text{SW}_2$ (Hình 4). Trạng thái của tụ được xác định bởi $(Q, V)$. Ta thực hiện một chu trình khép kín gồm 4 quá trình chuẩn tĩnh:

• 1) $A \to B$: Tại $A(Q_1, V_1)$, mở $\text{SW}_1$, dịch chuyển bản cực đẳng điện tích để điện thế tăng lên $V_2$.
• 2) $B \to C$: Đóng $\text{SW}_2$, dịch chuyển bản cực đẳng thế để điện tích tăng lên $Q_2$.
• 3) $C \to D$: Mở $\text{SW}_2$, dịch chuyển bản cực đẳng điện tích để điện thế giảm về $V_1$.
• 4) $D \to A$: Đóng $\text{SW}_1$, dịch chuyển bản cực đẳng thế để điện tích giảm về $Q_1$, đưa hệ về lại trạng thái $A$.

Câu 6 & Câu 7 (2.0 điểm): Giản đồ chu trình $Q-V$ và Bảng biến thiên năng lượng.

a) Hãy thiết lập hệ thức bảo toàn năng lượng giữa độ tăng năng lượng tĩnh điện $\Delta U$, công điện nguồn cung cấp $\Delta P$ và công cơ học do tụ sinh ra $\Delta W$ trong một quá trình biến đổi bất kỳ.
b) Xác định cụ thể $\Delta U, \Delta P, \Delta W$ cho từng chặng trong 4 quá trình của chu trình $A \to B \to C \to D \to A$ theo $Q_1, Q_2, V_1, V_2$.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Đồ thị trong mặt phẳng $(Q, V)$ gồm các đoạn thẳng có dạng hình gì?
2. Khi mạch hở ($A \to B$ và $C \to D$), nguồn điện có sinh công hay không?
3. Khi nối với nguồn đẳng thế, công nguồn cung cấp tính bằng $\Delta P = V \Delta Q$ mang dấu âm hay dương ở mỗi chặng?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Định luật I nhiệt động lực học cho hệ tĩnh điện: $\Delta P = \Delta U + \Delta W \iff \Delta U = \Delta P - \Delta W$.
- Giản đồ chu trình $Q-V$ là một hình chữ nhật khép kín với 4 đỉnh $A(Q_1, V_1)$, $B(Q_1, V_2)$, $C(Q_2, V_2)$, $D(Q_2, V_1)$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Hệ thức bảo toàn năng lượng tổng quát giữa các đại lượng:

$$\Delta P = \Delta U + \Delta W \iff \Delta U = \Delta P - \Delta W$$

b) Bảng tính năng lượng cho 4 quá trình của chu trình:

Quá trình	$\Delta P$ (Công điện từ nguồn)	$\Delta U$ (Biến thiên năng lượng tụ)	$\Delta W$ (Công cơ học sinh ra)
$A \to B$ (Đẳng $Q$)	$0$	$\frac{1}{2} Q_1 (V_2 - V_1)$	$-\frac{1}{2} Q_1 (V_2 - V_1)$
$B \to C$ (Đẳng $V_2$)	$V_2 (Q_2 - Q_1)$	$\frac{1}{2} V_2 (Q_2 - Q_1)$	$\frac{1}{2} V_2 (Q_2 - Q_1)$
$C \to D$ (Đẳng $Q$)	$0$	$-\frac{1}{2} Q_2 (V_2 - V_1)$	$\frac{1}{2} Q_2 (V_2 - V_1)$
$D \to A$ (Đẳng $V_1$)	$-V_1 (Q_2 - Q_1)$	$-\frac{1}{2} V_1 (Q_2 - Q_1)$	$-\frac{1}{2} V_1 (Q_2 - Q_1)$

Đáp số: Xem bảng năng lượng chi tiết ở trên.

Câu 8 (1.5 điểm): Công thực hiện trong một chu trình và Hiệu suất Carnot tĩnh điện.

a) Tính tổng công cơ học $W_{\text{net}}$ mà tụ điện sinh ra qua bản cực di động trong 1 chu trình thuận $A \to B \to C \to D \to A$.
b) Định nghĩa hiệu suất $\eta$ của chu trình tĩnh điện là tỉ số giữa công cơ học sinh ra ngoài và năng lượng điện mà nguồn thế cao ($V_2$) đã cấp vào. Biểu diễn $\eta$ theo $V_1, V_2$.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Công tổng cộng của chu trình liên hệ thế nào với diện tích hình chữ nhật trên giản đồ $Q-V$?
2. Nguồn thế cao $V_2$ cung cấp năng lượng trong giai đoạn nào của chu trình?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- $W_{\text{net}} = \sum \Delta W = (Q_2 - Q_1)(V_2 - V_1)$.
- $P_{\text{vào}} = \Delta P_{BC} = V_2 (Q_2 - Q_1)$.
- $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{P_{\text{vào}}} = \frac{(Q_2 - Q_1)(V_2 - V_1)}{V_2(Q_2 - Q_1)}$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Cộng công cơ học của cả 4 quá trình thành phần:

$$W_{\text{net}} = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CD} + \Delta W_{DA} = (Q_2 - Q_1)(V_2 - V_1)$$

Ý nghĩa: Công cơ học sinh ra đúng bằng diện tích hình chữ nhật trên giản đồ $(Q, V)$.

b) Năng lượng nhận từ nguồn cao $V_2$ là $P_{\text{in}} = \Delta P_{BC} = V_2 (Q_2 - Q_1)$. Hiệu suất của chu trình Carnot tĩnh điện:

$$\eta = \frac{W_{\text{net}}}{P_{\text{in}}} = \frac{(Q_2 - Q_1)(V_2 - V_1)}{V_2 (Q_2 - Q_1)} = 1 - \frac{V_1}{V_2}$$

Biểu thức này tương đương với hiệu suất động cơ nhiệt Carnot $\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}$!

Đáp số: $W_{\text{net}} = (Q_2 - Q_1)(V_2 - V_1)$ và $\eta = 1 - \frac{V_1}{V_2}$.

Câu 9 (2.0 điểm): Chu trình nghịch Carnot làm Bơm sạc điện tích cho Pin dự phòng.

Vận hành chu trình theo chiều ngược lại $A \to D \to C \to B \to A$. Hệ đóng vai trò một "bơm điện tích", tiêu thụ công cơ học để chuyển điện tích từ nguồn thế thấp $V_1$ sang nạp vào nguồn thế cao $V_2$.
a) Điện dung của tụ đạt giá trị nhỏ nhất $C_{\min}$ và lớn nhất $C_{\max}$ tại trạng thái nào trong số $A, B, C, D$? Biểu diễn lượng điện tích $\Delta q$ vận chuyển vào nguồn $V_2$ trong 1 chu trình theo $V_1, V_2, C_{\max}, C_{\min}$.
b) Cho biết điện dung biến thiên tuần hoàn với biên độ $\frac{C_{\max}}{C_{\min}} = 5{,}0 \times 10^2$ ở tần số $f = 3{,}0 \times 10^2\text{ Hz}$. Nguồn $V_1 = 0{,}60\text{ V}$, $V_2 = 5{,}0\text{ V}$. Tính giá trị $C_{\max}$ cần thiết để sạc đầy hoàn toàn viên pin dự phòng $(5{,}0\text{ V}; 2{,}0\text{ Ah})$ từ trạng thái cạn kiệt trong thời gian 24 giờ.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Điện dung $C = \frac{Q}{V}$. Hãy so sánh tỉ số $Q/V$ tại 4 đỉnh $A, B, C, D$ với $Q_1 < Q_2$ và $V_1 < V_2$.
2. Dung lượng pin $2{,}0\text{ Ah}$ tương đương với bao nhiêu Coulomb ($1\text{ Ah} = 3600\text{ C}$)?
3. Tổng số chu trình thực hiện trong 24 giờ là bao nhiêu khi tần số bằng $300\text{ Hz}$?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- $C_B = \frac{Q_1}{V_2} = C_{\min} \implies Q_1 = C_{\min} V_2$.
- $C_D = \frac{Q_2}{V_1} = C_{\max} \implies Q_2 = C_{\max} V_1$.
- $\Delta q = Q_2 - Q_1 = C_{\max} V_1 - C_{\min} V_2 = C_{\max} (V_1 - \frac{V_2}{500})$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Điện dung tại mỗi trạng thái $C = \frac{Q}{V}$:

$$C_A = \frac{Q_1}{V_1},\quad C_B = \frac{Q_1}{V_2},\quad C_C = \frac{Q_2}{V_2},\quad C_D = \frac{Q_2}{V_1}$$

• Nhỏ nhất tại trạng thái B: $C_{\min} = C_B = \frac{Q_1}{V_2} \implies Q_1 = C_{\min} V_2$.

• Lớn nhất tại trạng thái D: $C_{\max} = C_D = \frac{Q_2}{V_1} \implies Q_2 = C_{\max} V_1$.

Điện tích bơm vào nguồn $V_2$ mỗi chu trình:

$$\Delta q = Q_2 - Q_1 = C_{\max} V_1 - C_{\min} V_2$$

b) Thay số tính toán:

Dung lượng pin: $Q_{\text{total}} = 2{,}0\text{ Ah} = 7200\text{ C}$. Thời gian $t = 24\text{ h} = 86400\text{ s}$. Số chu trình:

$$N = f \times t = 3{,}0 \times 10^2 \times 86400 = 2{,}592 \times 10^7\text{ chu trình}$$

Điện lượng mỗi chu trình:

$$\Delta q = \frac{7200}{2{,}592 \times 10^7} = \frac{1}{3600}\text{ C}$$

Với $C_{\min} = \frac{C_{\max}}{500}$:

$$\Delta q = C_{\max} \left( 0{,}60 - \frac{5{,}0}{500} \right) = 0{,}59 C_{\max} \implies C_{\max} = \frac{1}{3600 \times 0{,}59} \approx 4{,}7 \times 10^{-4}\text{ F} = 470\ \mu\text{F}$$

Đáp số: $C_{\min}$ tại B, $C_{\max}$ tại D; $\Delta q = C_{\max} V_1 - C_{\min} V_2$; $C_{\max} \approx 4{,}7 \times 10^{-4}\text{ F}$ (hoặc $470\ \mu\text{F}$).

PHẦN IV: NĂNG LƯỢNG TỪ TRƯỜNG VÀ CƠ CHẾ CHUYỂN ĐIỆN TÍCH KHÔNG TIÊU TÁN (6.0 Điểm)

Bên cạnh giải pháp di chuyển bản cực chuẩn tĩnh, ta có thể khai thác năng lượng từ trường dự trữ trong cuộn cảm thuần $L$ để vận chuyển điện tích giữa các tụ điện mà không tiêu tán nhiệt Joule.

Câu 10 (2.0 điểm): Năng lượng từ trường của cuộn cảm thuần (Hình 5).

Đóng khóa $\text{SW}$ trong một thời gian rất dài để dòng điện qua cuộn cảm đạt giá trị ổn định $I_0$. Tại thời điểm $t = 0$, ngắt khóa $\text{SW}$.
a) Thiết lập phương trình vi phân đối với dòng điện $I(t)$ chạy qua cuộn cảm tại thời điểm $t \ge 0$ và tìm nghiệm $I(t)$ thỏa mãn điều kiện đầu $I(0) = I_0$.
b) Tích phân công suất tỏa nhiệt $R [I(t)]^2$ trên điện trở $R$ từ $t = 0$ đến thời điểm $T > 0$. Suy ra nhiệt lượng tổng cộng khi $T \to \infty$ và nêu ý nghĩa vật lý.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Khi ngắt khóa $\text{SW}$, cuộn cảm $L$ và điện trở $R$ tạo thành một mạch kín tự do. Suất điện động tự cảm xuất hiện trên $L$ là gì?
2. Khi tích phân dòng tắt dần từ 0 đến vô cùng, nhiệt lượng thu được có phụ thuộc vào giá trị điện trở $R$ hay không?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Phương trình vòng kín: $-L \frac{dI}{dt} - R I = 0 \implies L \frac{dI}{dt} + R I = 0 \implies I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}$.
- Nhiệt lượng tỏa ra: $W = \int_0^\infty R I^2 dt = R I_0^2 \int_0^\infty e^{-\frac{2R}{L}t} dt = \frac{1}{2} L I_0^2$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Khi ngắt $\text{SW}$, mạch kín gồm $L$ và $R$. Theo định luật tự cảm Faraday:

$$-L \frac{dI(t)}{dt} = R I(t) \iff L \frac{dI(t)}{dt} + R I(t) = 0$$

Với điều kiện đầu $I(0) = I_0$, nghiệm của phương trình vi phân là:

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L} t}$$

b) Nhiệt lượng Joule tỏa ra trên $R$ từ 0 đến $T$:

$$W_J(T) = \int_0^T R [I(t)]^2 dt = R I_0^2 \int_0^T e^{-\frac{2R}{L} t} dt = \frac{1}{2} L I_0^2 \left( 1 - e^{-\frac{2R}{L} T} \right)$$

Khi $T \to \infty$, nhiệt lượng tổng cộng là:

$$W_{J,\infty} = \frac{1}{2} L I_0^2$$

Ý nghĩa: Đại lượng $\frac{1}{2} L I_0^2$ không phụ thuộc vào điện trở $R$, chính là năng lượng từ trường dự trữ trong cuộn cảm thuần mang dòng $I_0$.

Đáp số: $I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}$ và $W_{J,\infty} = \frac{1}{2} L I_0^2$.

Câu 11 (1.0 điểm): Cực tiểu hóa thế năng tĩnh điện khi nối hai tụ (Hình 6).

Ở mạch Hình 6, ban đầu tụ $C_1$ tích điện $Q_1$, tụ $C_2$ chưa tích điện. Khi đóng khóa $\text{SW}$, một lượng điện tích $Q$ chuyển sang tụ $C_2$. Tìm giá trị $Q$ để tổng năng lượng tĩnh điện $U(Q)$ của hai tụ đạt cực tiểu.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Tổng năng lượng tĩnh điện của hai tụ viết theo biến số $Q$ là hàm bậc hai nào?
2. Điều kiện cực trị $\frac{dU(Q)}{dQ} = 0$ dẫn tới sự bằng nhau của đại lượng vật lý nào giữa hai tụ điện?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- $U(Q) = \frac{(Q_1 - Q)^2}{2 C_1} + \frac{Q^2}{2 C_2}$.
- Đạo hàm bằng 0: $-\frac{Q_1 - Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = 0 \implies \frac{Q_1 - Q}{C_1} = \frac{Q}{C_2}$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

Tổng thế năng tĩnh điện của hai tụ điện:

$$U(Q) = \frac{(Q_1 - Q)^2}{2 C_1} + \frac{Q^2}{2 C_2}$$

Đạo hàm theo $Q$ và cho bằng 0:

$$\frac{dU(Q)}{dQ} = -\frac{Q_1 - Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = 0 \iff \frac{Q_1 - Q}{C_1} = \frac{Q}{C_2}$$

Giải ra ta được:

$$Q = \frac{C_2}{C_1 + C_2} Q_1$$

Đáp số: $Q = \frac{C_2}{C_1 + C_2} Q_1$.

Câu 12 & Câu 13 (3.0 điểm): Vai trò của Cuộn cảm thuần và Cường độ dòng điện cực đại.

Khảo sát mạch Hình 7 có thêm cuộn cảm thuần $L$ và điện trở mạch $r$. Chọn điểm $A$ làm mốc điện thế ($V_A = 0$), điện thế tại $B$ là $V(t)$.
a) Biểu diễn $V(t)$ theo $C_1, C_2, Q_1, Q(t)$ và theo $L, r, I(t), \frac{dI(t)}{dt}$.
b) Thiết lập mối liên hệ giữa các tốc độ biến thiên năng lượng $\frac{dU}{dQ}$, $\frac{dK}{dQ}$ (năng lượng từ trường) và $\frac{dJ}{dQ}$ (nhiệt Joule). Nêu rõ ý nghĩa vật lý.
c) Khi điện trở mạch rất nhỏ ($r \to 0$), xác định giá trị cực đại $I_{\max}$ của cường độ dòng điện trong mạch.

💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)

1. Tính điện thế tại điểm B bằng cách đi dọc theo nhánh trên (qua hai tụ điện) và nhánh dưới (qua $r$ và $L$).
2. Khi điện lượng vi phân $dQ = I dt$ chuyển qua cuộn cảm, vi phân năng lượng từ trường $dK = d\left(\frac{1}{2} L I^2\right) = L I dI$, vậy $\frac{dK}{dQ}$ bằng bao nhiêu?
3. Khi $r = 0$, năng lượng toàn phần bảo toàn. Cường độ dòng điện $I$ đạt cực đại khi thế năng tĩnh điện của hai tụ đạt giá trị gì?

🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích

- Đi theo nhánh trên: $V_B = V(t) = \frac{Q_1 - Q(t)}{C_1} - \frac{Q(t)}{C_2}$.
- Đi theo nhánh dưới: $V_B - V_A = r I + L \frac{dI}{dt} \implies V(t) = r I + L \frac{dI}{dt}$.
- Khi $r = 0$, $E = U(Q) + \frac{1}{2} L I^2 = \text{const} \implies \frac{1}{2} L I_{\max}^2 = U(0) - U_{\min}$.

✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn

a) Chọn $V_A = 0$:

• Đi dọc theo nhánh trên: Bản trên của tụ 1 có điện thế là $\frac{Q_1 - Q(t)}{C_1}$. Bản dưới tụ 2 nối với điểm B tích điện âm $-Q(t)$, do đó:

$$V(t) = \frac{Q_1 - Q(t)}{C_1} - \frac{Q(t)}{C_2}$$

• Đi dọc theo nhánh dưới: Dòng điện chạy từ B về A nên ngược chiều từ A sang B:

$$V(t) = r I(t) + L \frac{dI(t)}{dt}$$

b) Biến thiên năng lượng khi có điện lượng $dQ = I dt$ dịch chuyển:

$$\frac{dU}{dQ} = -V(t),\quad \frac{dK}{dQ} = L \frac{dI(t)}{dt},\quad \frac{dJ}{dQ} = r I(t)$$

Suy ra phương trình bảo toàn năng lượng vi mô:

$$\frac{dU}{dQ} + \frac{dK}{dQ} + \frac{dJ}{dQ} = 0$$

Ý nghĩa: Độ giảm thế năng tĩnh điện của các tụ điện được chuyển hóa chính xác thành độ tăng năng lượng từ trường của cuộn cảm và nhiệt lượng Joule trên điện trở.

c) Khi $r = 0$, quá trình không có tiêu tán nhiệt. Năng lượng toàn phần bảo toàn:

$$\frac{1}{2} L I_{\max}^2 = U(0) - U_{\min} = \frac{Q_1^2 C_2}{2 C_1 (C_1 + C_2)}$$

Suy ra cường độ dòng điện cực đại:

$$I_{\max} = Q_1 \sqrt{\frac{C_2}{L C_1 (C_1 + C_2)}}$$

Kết luận: Cuộn cảm thuần $L$ chuyển hóa toàn bộ độ chênh lệch thế năng tĩnh điện thành từ trường thay vì đốt nóng điện trở. Đây là nguyên lý cơ bản của các bộ nguồn xung không tiêu tán (Buck/Boost Converter) hiện đại!

Đáp số: $V(t) = \frac{Q_1 - Q}{C_1} - \frac{Q}{C_2} = r I + L \frac{dI}{dt}$; $\frac{dU}{dQ} + \frac{dK}{dQ} + \frac{dJ}{dQ} = 0$; $I_{\max} = Q_1 \sqrt{\frac{C_2}{L C_1 (C_1 + C_2)}}$.