Bài tập phát triển năng lực tự học ôn thi vào lớp 10 chuyên lý: Chuyển động - đề số 3 (chuyển động tương đối)

HƯỚNG TỚI LỚP 10 CHUYÊN LÝ Chuyên đề Cơ học: Chuyển động tương đối

Hệ Thống Tự Học Chuyển Động Tương Đối & Phương Pháp Hệ Quy Chiếu

Đây không phải là một tài liệu bài tập giải sẵn để đọc thụ động, mà là một hệ thống tự học có trợ lực nhận thức (Scaffolding) tích hợp trí tuệ nhân tạo. Mỗi bài toán được thiết kế để bạn tự khám phá các phương pháp vật lý đỉnh cao: chọn hệ quy chiếu chuyển động (chọn xe hoặc dòng nước làm mốc), khai thác tính đối xứng thời gian và giải quyết bài toán chuyển động bằng phương pháp đồ thị.

📌 Quy trình tự học hiệu quả qua 4 bước:

1. Bước 1: Đọc kỹ đề bài, tự lập luận giải ra nháp, nhập đáp án vào ô và bấm "🤖 Nhờ AI kiểm tra".
2. Bước 2: Nếu chưa tìm ra lời giải hoặc AI báo kết quả chưa đúng, hãy mở Lớp 1 để trả lời các câu hỏi gợi mở theo phương pháp Socrates.
3. Bước 3: Mở Lớp 2 để đối chiếu các kết quả trung gian, xem mô hình/đồ thị trực quan và xác định chính xác mắt xích tư duy mình còn vướng.
4. Bước 4: Chỉ mở Lớp 3 khi đã hoàn thành để học cách trình bày lời giải mẫu mực theo chuẩn thi học sinh giỏi.

Bài 1 Chuyển động tương đối giữa xe máy và hai đoàn tàu

Vận dụng công thức cộng vận tốc - Hai trường hợp cùng chiều và ngược chiều

Một người đi xe máy với vận tốc $v_0$ trên một con đường thẳng song song với đường tàu. Có một đoàn tàu chạy với vận tốc $v = 72\text{ km/h}$, cùng chiều với xe máy, đoàn tàu vượt qua xe máy trong thời gian $t_1 = 100\text{ s}$.

Một thời gian sau, một đoàn tàu khác (cùng chiều dài với đoàn tàu trước) cũng chạy với tốc độ $v = 72\text{ km/h}$ nhưng ngược chiều, nó đi ngang qua xe máy trong thời gian $t_2 = 20\text{ s}$. Coi người đi xe máy như một chất điểm. Hãy tính vận tốc $v_0$ của xe máy.

✍️ Nhập kết quả vận tốc xe máy ($v_0$ theo km/h hoặc m/s):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Nếu chọn người đi xe máy làm mốc (hệ quy chiếu gắn với xe máy), hãy xác định biểu thức vận tốc tương đối của đoàn tàu thứ nhất (chạy cùng chiều) và đoàn tàu thứ hai (chạy ngược chiều) đối với xe máy theo $v$ và $v_0$?
• Câu hỏi 2: Để vượt qua một chất điểm, quãng đường chuyển động tương đối của mỗi đoàn tàu đối với xe máy liên hệ như thế nào với chiều dài $L$ của đoàn tàu?
• Câu hỏi 3: Vì hai đoàn tàu có cùng chiều dài $L$, ta có thể thiết lập phương trình liên hệ nào giữa $t_1, t_2, v$ và $v_0$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Mô hình vận tốc tương đối trong hệ quy chiếu gắn với xe máy

• Trả lời 1: Khi chạy cùng chiều và vượt xe máy, tốc độ tương đối là $v_{t1} = v - v_0$. Khi chạy ngược chiều, tốc độ tương đối là $v_{t2} = v + v_0$.
• Trả lời 2: Quãng đường tương đối đoàn tàu vượt qua người chính bằng chiều dài $L$ của tàu: $L = v_{t1} \cdot t_1 = v_{t2} \cdot t_2$.
• Trả lời 3: Cân bằng chiều dài hai đoàn tàu:
  $$(v - v_0) t_1 = (v + v_0) t_2 \iff 100(v - v_0) = 20(v + v_0)$$

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Đổi đơn vị: $v = 72\text{ km/h} = 20\text{ m/s}$.

Chọn hệ quy chiếu gắn với người đi xe máy (coi người đi xe máy đứng yên làm mốc):

• Khi đoàn tàu chạy cùng chiều vượt qua người: vận tốc tương đối là $v_1' = v - v_0$. Chiều dài đoàn tàu là:

$$L = (v - v_0) \cdot t_1 = 100(v - v_0)$$

• Khi đoàn tàu thứ hai chạy ngược chiều đi qua người: vận tốc tương đối là $v_2' = v + v_0$. Chiều dài đoàn tàu là:

$$L = (v + v_0) \cdot t_2 = 20(v + v_0)$$

Do hai đoàn tàu có chiều dài bằng nhau:

$$100(v - v_0) = 20(v + v_0) \iff 5(v - v_0) = v + v_0 \iff 4v = 6v_0 \implies v_0 = \frac{2}{3}v$$

Thay giá trị $v = 72\text{ km/h}$ vào:

$$v_0 = \frac{2}{3} \times 72 = 48\text{ km/h} = \frac{40}{3}\text{ m/s} \approx 13{,}33\text{ m/s}$$

🎯 ĐÁP SỐ: $v_0 = 48\text{ km/h}$ (hay $\frac{40}{3}\text{ m/s} \approx 13{,}33\text{ m/s}$).

Bài 2 Chiều chuyển động và tỉ số chiều dài hai đoàn tàu

Biện luận định tính chiều chuyển động và giải tỉ số kích thước hình học

Hai tàu A và B chạy song song và chúng cùng đi qua trước mặt một người đứng trên sân ga với cùng thời gian $t_1 = 23\text{ s}$. Trong khi đó người lái tàu B nhận thấy tàu A đi qua anh ta trong thời gian $t_2 = 13\text{ s}$.

1) Hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều, vì sao?

2) Tàu nào dài hơn, dài hơn tàu kia bao nhiêu lần?

Ý 1) Hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều?

Ý 2) Tàu nào dài hơn và tỉ số chiều dài (dạng phân số hoặc số thập phân):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Biểu diễn thời gian tàu A đi qua người đứng yên trên sân ga ($t_1$) và đi qua người lái tàu B ($t_2$) theo $L_A$ và các vận tốc tương ứng ($v_A$ và vận tốc tương đối $v_{AB}$)?
• Câu hỏi 2: So sánh giá trị $t_2 = 13\text{ s}$ với $t_1 = 23\text{ s}$, từ đó suy ra mối quan hệ giữa $v_{AB}$ và $v_A$. Điều này giúp ta khẳng định hai tàu chạy cùng chiều hay ngược chiều?
• Câu hỏi 3: Vận tốc tương đối $v_{AB}$ liên hệ với $v_A$ và $v_B$ như thế nào? Kết hợp với tỉ số $\frac{v_A}{L_A} = \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{t_1}$, hãy lập phương trình tính tỉ số $\frac{L_A}{L_B}$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Mô hình quan sát từ sân ga và từ buồng lái tàu B

• Trả lời 1: $t_1 = \frac{L_A}{v_A} = \frac{L_B}{v_B} = 23\text{ s}$. Tàu A đi qua người lái tàu B trong $t_2 = \frac{L_A}{v_{AB}} = 13\text{ s}$.
• Trả lời 2: Vì $t_2 < t_1 \implies v_{AB} > v_A$. Nếu chạy cùng chiều thì $v_{AB} = |v_A - v_B| < v_A$ (vô lý). Vậy hai tàu bắt buộc phải chạy ngược chiều ($v_{AB} = v_A + v_B$).
• Trả lời 3: Ta có $\frac{1}{t_2} = \frac{v_A + v_B}{L_A} = \frac{v_A}{L_A} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{t_1}\left(1 + \frac{L_B}{L_A}\right)$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

1) Xác định chiều chuyển động của hai tàu:

Gọi chiều dài và vận tốc đối với sân ga của hai tàu lần lượt là $L_A, v_A$ và $L_B, v_B$.

Khi đi qua người đứng yên trên sân ga:

$$t_1 = \frac{L_A}{v_A} = \frac{L_B}{v_B} = 23\text{ s} \implies \frac{v_A}{L_A} = \frac{v_B}{L_B} = \frac{1}{23}\text{ s}^{-1}$$

Người lái tàu B coi như chất điểm. Thời gian tàu A đi qua người lái tàu B là:

$$t_2 = \frac{L_A}{v_{AB}} = 13\text{ s}$$

Vì $t_2 = 13\text{ s} < t_1 = 23\text{ s}$ nên vận tốc tương đối $v_{AB} > v_A$.

Nếu hai tàu chạy cùng chiều thì $v_{AB} = |v_A - v_B| < v_A$, dẫn tới $t_2 > t_1$ (mâu thuẫn giả thiết).

Do đó, hai đoàn tàu chuyển động ngược chiều nhau, khi đó $v_{AB} = v_A + v_B$.

2) So sánh chiều dài hai tàu:

$$\begin{align} \frac{1}{t_2} &= \frac{v_A + v_B}{L_A} = \frac{v_A}{L_A} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{v_B}{L_B} \\ &= \frac{1}{t_1} + \frac{L_B}{L_A} \cdot \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_1}\left(1 + \frac{L_B}{L_A}\right) \end{align}$$

Suy ra:

$$1 + \frac{L_B}{L_A} = \frac{t_1}{t_2} = \frac{23}{13} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{23}{13} - 1 = \frac{10}{13} \implies \frac{L_A}{L_B} = \frac{13}{10} = 1{,}3$$

🎯 ĐÁP SỐ:
1) Hai tàu chạy ngược chiều nhau.
2) Tàu A dài hơn tàu B và dài gấp $1{,}3$ lần (tức dài hơn $30\%$).

Bài 3 Hai đoàn tàu đi qua hết sân ga và đi qua nhau

Chuyển động của vật có kích thước lớn - Tối ưu hóa bằng Đồ thị tọa độ thời gian

Một đoàn tàu đi qua sân ga với vận tốc không đổi và khoảng thời gian đi qua hết sân ga (tính từ khi đầu tàu điện ngang với đầu sân ga đến khi đuôi của nó ngang với đầu kia của sân ga) là $t_1 = 18\text{ s}$.

Một đoàn tàu khác cũng chuyển động đều qua sân ga nhưng theo chiều ngược lại, khoảng thời gian đi qua hết sân ga là $t_2 = 14\text{ s}$.

Biết rằng chiều dài hai tàu bằng nhau và bằng một nửa chiều dài sân ga. Tính thời gian hai tàu đi qua nhau (tính từ thời điểm hai đầu tàu gặp nhau đến khi hai đuôi tàu vừa rời nhau).

✍️ Nhập thời gian hai tàu đi qua nhau (theo giây):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Gọi chiều dài mỗi tàu là $L$. Chiều dài sân ga bằng bao nhiêu lần $L$? Khi một đoàn tàu "đi qua hết sân ga", quãng đường mà đầu tàu đi được tổng cộng bằng bao nhiêu lần $L$?
• Câu hỏi 2: Từ thời gian $t_1$ và $t_2$, hãy biểu diễn vận tốc $v_1$ và $v_2$ của hai đoàn tàu theo $L$?
• Câu hỏi 3: Khi hai tàu chuyển động ngược chiều đi qua nhau, quãng đường tương đối từ khi hai đầu tàu gặp nhau đến khi hai đuôi tàu rời nhau là bao nhiêu? Thời gian này có còn phụ thuộc vào $L$ không?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị chuyển động học

Đồ thị $x - t$ mô tả dải không gian của hai đoàn tàu qua ga và giao nhau

• Trả lời 1: Chiều dài sân ga là $S_{\text{ga}} = 2L$. Quãng đường đầu tàu di chuyển để tàu vượt qua hết sân ga là $S = S_{\text{ga}} + L = 2L + L = 3L$.
• Trả lời 2: Vận tốc hai tàu đối với sân ga: $v_1 = \frac{3L}{t_1} = \frac{3L}{18} = \frac{L}{6}$; $v_2 = \frac{3L}{t_2} = \frac{3L}{14}$.
• Trả lời 3: Vận tốc tương đối giữa hai tàu: $v_{12} = v_1 + v_2 = \frac{L}{6} + \frac{3L}{14} = \frac{8L}{21}$. Quãng đường tương đối cần đi là $s_{\text{tđ}} = L_1 + L_2 = 2L$. Khi đó thời gian $t = \frac{2L}{v_{12}}$, chiều dài $L$ được triệt tiêu hoàn toàn!

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $L$ là chiều dài của mỗi đoàn tàu. Theo giả thiết, chiều dài của sân ga là $S_{\text{ga}} = 2L$.

Để một đoàn tàu đi qua hết sân ga (tính từ khi đầu tàu ngang với đầu sân ga đến khi đuôi tàu ngang với đầu kia), quãng đường đầu tàu dịch chuyển là:

$$S = S_{\text{ga}} + L = 2L + L = 3L$$

Vận tốc của từng đoàn tàu so với sân ga là:

$$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{3L}{18} = \frac{L}{6}$$ $$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{3L}{14}$$

Do hai đoàn tàu chuyển động ngược chiều nhau, vận tốc tương đối giữa tàu 1 và tàu 2 là:

$$v_{12} = v_1 + v_2 = \frac{L}{6} + \frac{3L}{14} = \frac{7L + 9L}{42} = \frac{16L}{42} = \frac{8L}{21}$$

Khoảng thời gian hai tàu đi qua nhau tính từ lúc hai đầu tàu gặp nhau đến lúc hai đuôi tàu vừa rời nhau. Quãng đường chuyển động tương đối là:

$$s_{\text{tđ}} = L_1 + L_2 = L + L = 2L$$

Thời gian hai tàu đi qua nhau:

$$t = \frac{s_{\text{tđ}}}{v_{12}} = \frac{2L}{\frac{8L}{21}} = \frac{2 \times 21}{8} = \frac{42}{8} = 5{,}25\text{ s}$$

🎯 ĐÁP SỐ: $t = 5{,}25\text{ s}$ (hay $5\frac{1}{4}\text{ giây}$).

Bài 4 Chiếc xuồng máy tuần tra trên hai đoạn sông

Chuyển động trên dòng nước chảy với vận tốc dòng thay đổi theo từng chặng

Một chiếc xuồng máy của Biên phòng tuần tra trên một dòng sông. Xuồng chạy với tốc độ $v$ không đổi so với nước, từ bến A xuôi dòng về B rồi ngay lập tức quay lại A. Tổng thời gian xuồng chạy là $t = 0{,}363\text{ h}$.

Biết rằng từ bến A đến bến B có hai đoạn sông: đoạn từ A đến C do lòng sông hẹp nên nước chảy nhanh với tốc độ $u_1 = \frac{v}{4}$, đoạn từ C đến B do lòng sông rộng nên nước chảy chậm với tốc độ $u_2 = \frac{v}{8}$.

Trên bờ sông, một người đi xe máy thẳng từ A đến B với vận tốc không đổi $v' = 2v$ mất thời gian $t' = 0{,}0875\text{ h}$. Tính thời gian xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến C.

✍️ Nhập thời gian xuồng máy đi từ A đến C ($t_{AC}$ theo giờ hoặc phút):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Từ chuyển động của người đi xe máy trên bờ với vận tốc $v' = 2v$ trong thời gian $t'$, ta tìm được hệ thức liên hệ nào giữa tổng chiều dài hai đoạn sông $s_1 + s_2$ và đại lượng $v$?
• Câu hỏi 2: Vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của xuồng máy trên từng đoạn sông $s_1$ (AC) và $s_2$ (CB) bằng bao nhiêu lần vận tốc $v$?
• Câu hỏi 3: Tổng thời gian khứ hồi gồm tổng thời gian đi xuôi và ngược trên đoạn 1 cộng với đoạn 2. Nếu đặt hai ẩn số phụ $x = \frac{s_1}{v}$ và $y = \frac{s_2}{v}$, hãy thiết lập hệ phương trình để tìm $x$? Từ đó tính $t_{AC}$ như thế nào?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Sơ đồ minh họa

Sơ đồ cấu trúc hai đoạn sông và hành trình tuần tra

• Trả lời 1: Tổng chiều dài đường sông:
  $$s_1 + s_2 = v' \cdot t' = 2v \times 0{,}0875 = 0{,}175 v \implies \frac{s_1}{v} + \frac{s_2}{v} = 0{,}175$$
• Trả lời 2:
  • Đoạn AC: xuôi dòng $v + \frac{v}{4} = \frac{5}{4}v$, ngược dòng $v - \frac{v}{4} = \frac{3}{4}v$.
  • Đoạn CB: xuôi dòng $v + \frac{v}{8} = \frac{9}{8}v$, ngược dòng $v - \frac{v}{8} = \frac{7}{8}v$.
• Trả lời 3: Thời gian khứ hồi trên AC là $\frac{32}{15}\frac{s_1}{v}$, trên CB là $\frac{128}{63}\frac{s_2}{v}$. Đặt $x = \frac{s_1}{v}, y = \frac{s_2}{v}$, ta có hệ:
  $$\begin{cases} x + y = 0{,}175 \\ \frac{32}{15}x + \frac{128}{63}y = 0{,}363 \end{cases}$$
  Thời gian xuôi dòng từ A đến C là $t_{AC} = \frac{s_1}{5v/4} = \frac{4}{5}x$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $s_1$ là chiều dài đoạn AC, $s_2$ là chiều dài đoạn CB.

Từ dữ kiện người đi xe máy trên bờ:

$$s_1 + s_2 = v' \cdot t' = 2v \cdot 0{,}0875 = 0{,}175 v \implies \frac{s_1}{v} + \frac{s_2}{v} = 0{,}175 \quad (1)$$

Xét chuyển động của xuồng máy trên từng đoạn sông:

• Trên đoạn AC: vận tốc xuôi dòng là $v + u_1 = \frac{5}{4}v$; ngược dòng là $v - u_1 = \frac{3}{4}v$. Thời gian khứ hồi trên AC:

$$t_1 = \frac{s_1}{\frac{5}{4}v} + \frac{s_1}{\frac{3}{4}v} = \frac{4s_1}{v}\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\right) = \frac{32}{15}\frac{s_1}{v}$$

• Trên đoạn CB: vận tốc xuôi dòng là $v + u_2 = \frac{9}{8}v$; ngược dòng là $v - u_2 = \frac{7}{8}v$. Thời gian khứ hồi trên CB:

$$t_2 = \frac{s_2}{\frac{9}{8}v} + \frac{s_2}{\frac{7}{8}v} = \frac{8s_2}{v}\left(\frac{1}{9} + \frac{1}{7}\right) = \frac{128}{63}\frac{s_2}{v}$$

Tổng thời gian cả chuyến tuần tra khứ hồi:

$$t_1 + t_2 = \frac{32}{15}\frac{s_1}{v} + \frac{128}{63}\frac{s_2}{v} = 0{,}363\text{ h} \quad (2)$$

Đặt $x = \frac{s_1}{v}$ và $y = \frac{s_2}{v}$. Từ $(1)$ có $y = 0{,}175 - x$. Thế vào $(2)$:

$$\begin{align} \frac{32}{15}x + \frac{128}{63}(0{,}175 - x) &= 0{,}363 \\ \iff x\left(\frac{32}{15} - \frac{128}{63}\right) + \frac{128}{63} \times \frac{7}{40} &= 0{,}363 \\ \iff \frac{32}{315}x + \frac{16}{45} &= 0{,}363 \\ \iff \frac{32}{315}x + \frac{112}{315} &= 0{,}363 \\ \implies 32x + 112 &= 0{,}363 \times 315 = 114{,}345 \\ \implies 32x &= 2{,}345 \implies x = \frac{2{,}345}{32} \approx 0{,}07328\text{ h} \end{align}$$

Thời gian xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến C là:

$$t_{AC} = \frac{s_1}{\frac{5}{4}v} = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \times \frac{2{,}345}{32} = 0{,}058625\text{ h} \approx 3{,}52\text{ phút} \text{ (tức } 3\text{ phút } 31\text{ giây)}$$

* Ghi chú: Nếu bài toán ban đầu lấy số tròn phân số đẹp $x = 0{,}075\text{ h}$ (khi đó thời gian khứ hồi chính xác là $0{,}363175\text{ h}$ được làm tròn thành $0{,}363\text{ h}$) thì thời gian đi đoạn AC là $t_{AC} = \frac{4}{5} \times 0{,}075 = 0{,}06\text{ h} = 3{,}6\text{ phút}$.

🎯 ĐÁP SỐ: $t_{AC} \approx 0{,}0586\text{ h} \approx 3{,}52\text{ phút}$ (hoặc số tròn lý thuyết $0{,}06\text{ h} = 3{,}6\text{ phút}$).

Bài 5 Thuyền và chiếc bè trôi tự do trên sông

Tuyệt chiêu: Chọn hệ quy chiếu dòng nước & Đồ thị tam giác cân đối xứng

Ngay phía dưới một chiếc cầu, trên dòng sông, một chiếc thuyền vượt qua một chiếc bè đang trôi tự do. Sau một thời gian thuyền đến bến và lập tức quay lại với tốc độ đối với nước không đổi nhưng đi ngược dòng. Thuyền gặp lại bè tại nơi cách cầu một khoảng $s_1 = 1100\text{ m}$.

Nếu từ thời điểm vượt bè, chiếc thuyền tăng tốc độ (đối với nước) lên gấp đôi thì lần thứ hai gặp bè ở khoảng cách $s_2 = 600\text{ m}$ so với cầu.

1) Tốc độ của thuyền gấp bao nhiêu lần tốc độ dòng sông?

2) Bến cách cầu bao xa?

Ý 1) Tỉ số giữa tốc độ của thuyền so với tốc độ dòng sông ($v/u$):

Ý 2) Khoảng cách từ cầu đến bến (theo mét hoặc km):

💡 Lớp 1: Gợi ý phương pháp tư duy (Click mở)

• Câu hỏi 1: Nếu chọn dòng nước làm mốc (hệ quy chiếu gắn với dòng nước trôi), chiếc bè trôi tự do có vận tốc bằng bao nhiêu? Tốc độ của thuyền khi bơi ra xa bè và khi quay lại gần bè có đặc điểm gì?
• Câu hỏi 2: Nhờ tính chất đối xứng trong hệ quy chiếu dòng nước, thời gian thuyền quay lại gặp bè ($t_{\text{về}}$) liên hệ thế nào với thời gian thuyền rời bè đến bến ($t_{\text{đi}}$)? Từ đó, tổng thời gian chuyển động $T$ cho đến khi gặp lại bè gấp mấy lần $t_{\text{đi}}$?
• Câu hỏi 3: Khoảng cách bè trôi được đối với bờ cho đến khi gặp lại thuyền liên hệ với vận tốc dòng nước $u$ và tổng thời gian $T$ như thế nào? Hãy biểu diễn khoảng cách $s_1$ và $s_2$ theo khoảng cách từ cầu đến bến $L$, vận tốc $v$ và $u$?

🔍 Lớp 2: Trả lời cho các câu hỏi dẫn dắt & Đồ thị trong hệ quy chiếu nước

Đồ thị $x' - t$ trong hệ quy chiếu dòng nước: Tam giác cân hoàn hảo ($t_{\text{về}} = t_{\text{đi}}$)

• Trả lời 1: Trong hệ quy chiếu gắn với dòng nước, chiếc bè hoàn toàn đứng yên tại gốc tọa độ ($v'_{\text{bè}} = 0$). Thuyền rời xa bè với tốc độ $v$, sau đó quay lại về phía bè cũng với tốc độ $v$.
• Trả lời 2: Do tốc độ đối với nước ở hai lượt là như nhau và bè đứng yên trong nước nên thời gian quay lại gặp bè đúng bằng thời gian rời bè đến bến: $t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} \implies T = 2 t_{\text{đi}}$.
• Trả lời 3: Chiếc bè trôi đối với bờ hoàn toàn là do dòng nước kéo đi: $s = u \cdot T = 2 u \cdot t_{\text{đi}}$.
  • Lần 1: $t_{\text{đi}} = \frac{L}{v + u} \implies s_1 = \frac{2 u L}{v + u} = 1100\text{ m}$.
  • Lần 2 (tốc độ gấp đôi $2v$): $t'_{\text{đi}} = \frac{L}{2v + u} \implies s_2 = \frac{2 u L}{2v + u} = 600\text{ m}$.

✅ Lớp 3: Lời giải chi tiết & Đáp số

Gọi $L$ là khoảng cách từ chiếc cầu đến bến, $u$ là tốc độ dòng chảy của sông, $v$ là tốc độ ban đầu của thuyền so với nước.

Giải bằng phương pháp chọn dòng nước làm mốc:

Trong hệ quy chiếu gắn với dòng nước trôi, chiếc bè đứng yên tại chỗ.

Khi thuyền chuyển động từ cầu đến bến rồi quay ngược lại gặp bè, tốc độ của thuyền đối với nước ở lượt đi và lượt về đều bằng $v$. Vì bè đứng yên trong nước, thời gian thuyền quay lại gặp bè bằng thời gian thuyền đi xa bè:

$$t_{\text{về}} = t_{\text{đi}} \implies T_1 = 2 t_{\text{đi}}$$

Đối với bờ sông, thuyền đi xuôi dòng từ cầu đến bến với vận tốc $v + u$, nên:

$$t_{\text{đi}} = \frac{L}{v + u} \implies T_1 = \frac{2L}{v + u}$$

Trong tổng thời gian $T_1$, chiếc bè trôi tự do đối với bờ được quãng đường $s_1$:

$$s_1 = u \cdot T_1 = \frac{2 u L}{v + u} = 1100\text{ m} \quad (1)$$

Trong trường hợp thứ hai, khi tốc độ của thuyền so với nước tăng gấp đôi ($v' = 2v$), tương tự ta có:

$$s_2 = u \cdot T_2 = \frac{2 u L}{2v + u} = 600\text{ m} \quad (2)$$

1) Tỉ số giữa tốc độ của thuyền và dòng sông:

Lập tỉ số giữa $(1)$ và $(2)$:

$$\frac{s_1}{s_2} = \frac{2v + u}{v + u} = \frac{1100}{600} = \frac{11}{6}$$ $$\iff 11(v + u) = 6(2v + u) \iff 11v + 11u = 12v + 6u \implies v = 5u$$

Vậy tốc độ của thuyền gấp 5 lần tốc độ dòng sông ($\frac{v}{u} = 5$).

2) Khoảng cách từ bến đến cầu ($L$):

Thay $v = 5u$ vào phương trình $(1)$:

$$s_1 = \frac{2 u L}{5u + u} = \frac{2 u L}{6u} = \frac{L}{3} = 1100\text{ m} \implies L = 3 \times 1100 = 3300\text{ m} = 3{,}3\text{ km}$$

🎯 ĐÁP SỐ:
1) Tốc độ của thuyền gấp 5 lần tốc độ dòng sông ($v = 5u$).
2) Bến cách cầu một khoảng $3300\text{ m}$ ($3{,}3\text{ km}$).