Câu chuyện Vật lý: Ai cũng biết truyền thuyết Archimedes dùng bồn tắm để phân biệt chiếc vương miện bằng vàng hay pha bạc. Nhưng nếu mất nước (hoặc nước đóng băng trong đường ống) thì có cách nào khác không? Có hai chiếc nhẫn mảnh có cùng khối lượng $m$ và cùng bán kính trung bình $a$ ($a$ lớn hơn rất nhiều so với bán kính tiết diện dây). Bề ngoài của chúng hoàn toàn giống hệt nhau vì một quý ông tài năng đã mạ phủ bề mặt chúng rồi lại quên mất chiếc nào bằng vàng ($\text{Au}$), chiếc nào bằng bạc ($\text{Ag}$).
Không dùng nước, ông nảy ra ý tưởng treo cả hai chiếc nhẫn bằng hai sợi dây đàn hồi mảnh giống hệt nhau (có cùng độ cứng xoắn $G$) đặt cách xa nhau một khoảng $r \gg a$ (để bỏ qua tương tác từ giữa chúng) trong cùng một từ trường đều và không đổi có cảm ứng từ $\vec{B}$ nằm ngang (song song với mặt phẳng cân bằng của hai vòng nhẫn). Khi kích thích cho chúng thực hiện các dao động xoắn quanh trục thẳng đứng trùng với sợi dây treo và đi qua tâm nhẫn, sự xuất hiện của dòng điện cảm ứng sẽ làm tiêu hao cơ năng thành nhiệt năng Joule-Lenz, khiến dao động tắt dần. Bằng các định luật Điện từ học, Nhiệt học và Cơ học vật rắn, chúng ta hãy giúp quý ông phân biệt hai chiếc nhẫn này qua 4 chặng thử thách!
- Thông số hình học & cơ học chung: Khối lượng mỗi nhẫn $m = 10{,}0\text{ g} = 10^{-2}\text{ kg}$; bán kính trung bình của vòng nhẫn $a = 2{,}00\text{ cm} = 2{,}00 \times 10^{-2}\text{ m}$; độ cứng xoắn của mỗi dây treo $G = 4{,}00 \times 10^{-4}\text{ N}\cdot\text{m/rad}$; cảm ứng từ $B = 0{,}200\text{ T}$.
- Thông số vật liệu của Bạc ($\text{Ag}$): Khối lượng riêng $\rho_{\text{Ag}} = 10{,}5 \times 10^3\text{ kg/m}^3$; độ dẫn điện riêng $\lambda_{\text{Ag}} = 6{,}02 \times 10^7\text{ }\Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1}$ (tương ứng điện trở suất $\rho_{e,\text{Ag}} = 1/\lambda_{\text{Ag}} \approx 1{,}66 \times 10^{-8}\text{ }\Omega\cdot\text{m}$); nhiệt dung riêng $c_{\text{Ag}} = 235\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$.
- Thông số vật liệu của Vàng ($\text{Au}$): Khối lượng riêng $\rho_{\text{Au}} = 19{,}3 \times 10^3\text{ kg/m}^3$; độ dẫn điện riêng $\lambda_{\text{Au}} = 4{,}13 \times 10^7\text{ }\Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1}$ (tương ứng điện trở suất $\rho_{e,\text{Au}} = 1/\lambda_{\text{Au}} \approx 2{,}42 \times 10^{-8}\text{ }\Omega\cdot\text{m}$); nhiệt dung riêng $c_{\text{Au}} = 130\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$.
- Kiến thức bổ trợ:
• Khi dây treo bị xoắn một góc nhỏ $\alpha$ ($\text{rad}$) so với vị trí cân bằng, dây xuất hiện mômen lực đàn hồi $M = -G\alpha$ và tích lũy thế năng đàn hồi xoắn $\Pi = \frac{1}{2}G\alpha^2$.
• Điện trở của một dây dẫn tiết diện đều $s$, chiều dài $l$ có độ dẫn điện riêng $\lambda$ là $R = \frac{l}{\lambda s} = \rho_e \frac{l}{s}$.
• Bỏ qua sức cản không khí, ma sát nội của dây treo và hiện tượng tự cảm của vòng nhẫn ($L \to 0$). Coi dao động tắt dần chậm (hệ số phẩm chất $Q \gg 1$).
Cơ năng dao động xoắn và tổn hao năng lượng điện từ trong một chu kỳ
Ở vị trí cân bằng bền của dây treo (dây không bị xoắn, $\alpha = 0$), mặt phẳng của vòng nhẫn song song với các đường sức từ $\vec{B}$. Để kích thích dao động, người ta xoay nhẹ vòng nhẫn một góc nhỏ $\alpha_0 \ll \pi\text{ (rad)}$ quanh trục thẳng đứng trùng với dây treo rồi thả nhẹ. Khi dao động tắt dần đủ chậm, góc lệch của vòng nhẫn theo thời gian có thể biểu diễn dưới dạng:
trong đó $t$ là biến "thời gian nhanh" đặc trưng cho từng chu kỳ $T = \frac{2\pi}{\omega}$, còn $\tau$ là biến "thời gian chậm" mô tả sự suy giảm rất chậm của biên độ $\alpha_m(\tau)$ sau nhiều chu kỳ (coi $\alpha_m(\tau)$ gần như không đổi trong phạm vi một chu kỳ $T$).
Yêu cầu:
a) Thiết lập biểu thức cơ năng toàn phần $W(\tau)$ của vòng nhẫn theo $G$ và $\alpha_m(\tau)$, biểu thức suất điện động cảm ứng $e(t)$ xuất hiện trong vòng nhẫn và độ giảm cơ năng $\Delta W_T$ (năng lượng tỏa nhiệt Joule-Lenz) của vòng nhẫn sau một chu kỳ $T$ theo $\omega, B, a, \alpha_m(\tau), \lambda$ và diện tích tiết diện ngang $s$ của sợi dây làm nhẫn.
b) Áp dụng cho chiếc nhẫn bằng Bạc ($\text{Ag}$) khi biết tần số góc dao động riêng của nó là $\omega \approx 44{,}72\text{ rad/s}$ và tại thời điểm đang xét có biên độ góc $\alpha_m = 0{,}100\text{ rad}$. Hãy tính năng lượng tổn hao $\Delta W_T$ trong một chu kỳ theo đơn vị nanojoule ($\text{nJ}$, với $1\text{ nJ} = 10^{-9}\text{ J}$).
💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)
- Câu hỏi 1: Trong một chu kỳ dao động tắt dần rất chậm ($Q \gg 1$), cơ năng toàn phần $W(\tau)$ liên hệ như thế nào với giá trị trung bình của thế năng đàn hồi $\langle \Pi(t) \rangle$? Khi góc lệch cực đại là $\alpha_m(\tau)$, cơ năng tại biên bằng bao nhiêu?
- Câu hỏi 2: Khi mặt phẳng vòng nhẫn (diện tích $S = \pi a^2$) hợp với vectơ cảm ứng từ $\vec{B}$ một góc nhỏ $\alpha$, từ thông $\Phi$ gửi qua vòng nhẫn được viết như thế nào? Vì sao ta có thể xấp xỉ $\sin\alpha \approx \alpha$?
- Câu hỏi 3: Điện trở $R$ của vòng nhẫn có chu vi $2\pi a$ và diện tích tiết diện ngang $s$ liên hệ thế nào với khối lượng $m$ và khối lượng riêng $\rho$ của kim loại làm nhẫn?
🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích
1. Đồ họa giải tích sự suy giảm biên độ và cơ năng theo hai thang thời gian:
2. Các bước lập phương trình chủ đạo:
- Cơ năng toàn phần bằng gấp đôi thế năng trung bình trong một chu kỳ (vì $\langle \Pi \rangle = \langle K \rangle$ và $\langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}$):
- Từ thông qua nhẫn có diện tích $S = \pi a^2$: $\Phi(t) = BS\sin\alpha \approx B\pi a^2 \alpha_m(\tau)\cos(\omega t)$. Đạo hàm theo biến thời gian nhanh $t$ (coi $\alpha_m(\tau)$ không đổi trong 1 chu kỳ) cho suất điện động cảm ứng:
- Năng lượng tỏa nhiệt trong một chu kỳ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ trên điện trở $R = \frac{2\pi a}{\lambda s}$ (với diện tích tiết diện dây $s = \frac{m}{2\pi a \rho}$):
✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn
a) Thiết lập các biểu thức giải tích:
Thế năng đàn hồi của sợi dây xoắn tại thời điểm $t$ là $\Pi(t) = \frac{1}{2}G\alpha^2(t) = \frac{1}{2}G\alpha_m^2(\tau)\cos^2(\omega t)$. Khi dao động tắt dần chậm, cơ năng toàn phần của hệ bằng thế năng cực đại ở biên:
Vì góc lệch $\alpha \ll \pi$, từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng nhẫn ($S = \pi a^2$) là:
Theo định luật Faraday, suất điện động cảm ứng xuất hiện trong vòng nhẫn trên thang thời gian một chu kỳ (với $\alpha_m(\tau)$ hầu như không đổi) là:
Điện trở của vòng nhẫn có chiều dài $l = 2\pi a$, tiết diện ngang $s$ và độ dẫn điện riêng $\lambda$ là $R = \frac{2\pi a}{\lambda s}$. Công suất tỏa nhiệt trung bình trong một chu kỳ là $\langle P \rangle = \frac{\langle e^2(t) \rangle}{R}$ với $\langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}$. Do đó, năng lượng cơ học tiêu hao thành nhiệt trong một chu kỳ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ là:
b) Tính số liệu cho chiếc nhẫn bằng Bạc ($\text{Ag}$):
Thể tích của chiếc nhẫn bạc là $V_{\text{Ag}} = \frac{m}{\rho_{\text{Ag}}} = 2\pi a \cdot s_{\text{Ag}}$, suy ra diện tích tiết diện ngang của sợi dây bạc:
Thay vào công thức $\Delta W_T$ (hoặc rút gọn $\pi a s_{\text{Ag}} = \frac{m}{2\rho_{\text{Ag}}}$ để được $\Delta W_T = \frac{\pi \omega B^2 a^2 \lambda_{\text{Ag}} m \alpha_m^2}{4\rho_{\text{Ag}}}$):
🚀 Thử thách mở rộng Câu 1.1: Mômen lực từ cản trở chuyển động
Bài toán mở rộng: Thay vì dùng định luật bảo toàn năng lượng, hãy chứng minh rằng dòng điện cảm ứng $i(t) = \frac{e(t)}{R}$ chạy trong vòng nhẫn chịu tác dụng của một mômen lực từ $\vec{M}_B = [\vec{p}_m \times \vec{B}]$ có dạng lực cản nhớt tỉ lệ thuận với vận tốc góc $\dot{\alpha}(t)$: $M_B(t) = -\beta \dot{\alpha}(t)$. Tìm hệ số cản xoắn $\beta$.
Hướng dẫn: Khi góc lệch $\alpha$ nhỏ, vận tốc góc $\dot{\alpha} = -\omega \alpha_m \sin(\omega t)$, nên $e(t) = -B\pi a^2 \dot{\alpha}$ và dòng điện $i(t) = -\frac{B\pi a^2}{R}\dot{\alpha}$. Mômen từ của vòng nhẫn là $p_m = i S = i \pi a^2$, tạo ra mômen lực từ $M_B = p_m B \cos\alpha \approx i \pi a^2 B = -\frac{(B\pi a^2)^2}{R}\dot{\alpha}$. Vậy hệ số cản từ là $\beta = \frac{(B\pi a^2)^2}{R} = \frac{1}{2}\pi B^2 a^3 \lambda s$.
Hệ số phẩm chất $Q$ và quy luật tắt dần của người thứ nhất
Để đánh giá mức độ duy trì dao động của một hệ ("chất lượng" dao động), vật lý học định nghĩa độ phẩm chất (hệ số phẩm chất) theo tỷ số năng lượng được tác giả A. Stasenko sử dụng là:
(Tỷ số này cũng tỷ lệ thuận với tỷ số giữa thời gian đặc trưng của sự tắt dần $\tau_0$ — khoảng thời gian để biên độ dao động giảm đi $e$ lần — và chu kỳ dao động $T$).
Yêu cầu:
a) Chứng minh rằng hệ số phẩm chất $Q$ của vòng nhẫn không phụ thuộc vào biên độ góc $\alpha_m(\tau)$. Thiết lập công thức tính tỷ số hệ số phẩm chất (cũng là tỷ số thời gian tắt dần đặc trưng) $\frac{Q_{\text{Ag}}}{Q_{\text{Au}}} = \frac{\tau_{\text{Ag}}}{\tau_{\text{Au}}}$ của nhẫn bạc so với nhẫn vàng theo độ dẫn điện riêng $\lambda$ (hoặc điện trở suất $\rho_e = 1/\lambda$) và khối lượng riêng $\rho$ của hai kim loại (coi hai nhẫn là những vòng tròn mảnh có cùng mômen quán tính $I \approx \frac{1}{2}ma^2$ nên có cùng tần số góc $\omega$).
b) Thay số từ bảng dữ kiện để tính giá trị bằng số của tỷ số $\frac{Q_{\text{Ag}}}{Q_{\text{Au}}} = \frac{\tau_{\text{Ag}}}{\tau_{\text{Au}}}$. Từ đó kết luận chiếc nhẫn nào tắt dần nhanh hơn!
💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)
- Câu hỏi 1: Khi lập tỷ số $Q = \frac{W(\tau)}{\Delta W_T}$ từ kết quả của Câu 1.1, thừa số $\alpha_m^2(\tau)$ ở tử số và mẫu số triệt tiêu nhau như thế nào?
- Câu hỏi 2: Hai chiếc nhẫn có cùng khối lượng $m$, cùng bán kính $a$, treo trên hai sợi dây có cùng độ cứng xoắn $G$ và đặt trong cùng từ trường $B$. Vậy những đại lượng nào trong biểu thức của $Q$ là hoàn toàn giống nhau đối với cả hai nhẫn?
- Câu hỏi 3: Khi tách riêng các yếu tố khác biệt (độ dẫn điện riêng $\lambda$ và diện tích tiết diện ngang $s$), vì sao diện tích tiết diện $s$ lại tỷ lệ nghịch với khối lượng riêng $\rho$ của kim loại làm nhẫn ($s \propto \rho^{-1}$)?
🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích
1. Biểu thức tường minh của độ phẩm chất $Q$:
Chia biểu thức $W(\tau) = \frac{1}{2}G\alpha_m^2(\tau)$ cho $\Delta W_T$, ta nhận được:
2. So sánh hai chiếc nhẫn có cùng $m, a, G, B, \omega$:
Ta thấy $Q \propto \frac{1}{\lambda s}$. Mặt khác, khối lượng mỗi chiếc nhẫn là $m = \rho V = \rho \cdot (2\pi a s)$, do hai nhẫn có cùng $m$ và $a$ nên diện tích tiết diện ngang tỷ lệ nghịch với khối lượng riêng: $s = \frac{m}{2\pi a \rho} \propto \frac{1}{\rho}$.
Thay $s \propto \rho^{-1}$ vào biểu thức của $Q$, ta suy ra quy luật vô cùng thanh thoát:
✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn
a) Chứng minh $Q$ độc lập với biên độ và lập tỷ số $\frac{Q_{\text{Ag}}}{Q_{\text{Au}}}$:
Từ kết quả Câu 1.1, cả cơ năng $W(\tau)$ và năng lượng mất mát trong một chu kỳ $\Delta W_T$ đều tỷ lệ thuận với bình phương biên độ góc $\alpha_m^2(\tau)$. Khi lấy tỷ số:
thừa số $\alpha_m^2(\tau)$ triệt tiêu hoàn toàn, chứng tỏ hệ số phẩm chất $Q$ là hằng số đặc trưng của hệ, không phụ thuộc vào biên độ dao động.
Vì cả hai vòng nhẫn có cùng bán kính $a$, cùng khối lượng $m$, treo trên các sợi dây có cùng độ cứng xoắn $G$ và đặt trong cùng một từ trường $B$, nên tần số dao động riêng $\omega = \sqrt{G/I}$ (với $I \approx \frac{1}{2}ma^2$) của chúng bằng nhau. Khi đó, sự khác biệt về hệ số phẩm chất chỉ phụ thuộc vào độ dẫn điện riêng $\lambda$ và tiết diện dây $s$:
Do khối lượng $m = 2\pi a s \rho$ của hai nhẫn bằng nhau, diện tích tiết diện ngang $s$ tỷ lệ nghịch với khối lượng riêng $\rho$: $s \propto \rho^{-1}$. Suy ra $Q \propto \frac{\rho}{\lambda} = \rho_e \rho$ (với $\rho_e = \frac{1}{\lambda}$ là điện trở suất). Tỷ số hệ số phẩm chất (và cũng là tỷ số thời gian tắt dần đặc trưng) của hai chiếc nhẫn là:
b) Thay số và kết luận:
Tra bảng số liệu: $\rho_{e,\text{Ag}} = 1{,}66 \times 10^{-8}\text{ }\Omega\cdot\text{m}$, $\rho_{\text{Ag}} = 10{,}5 \times 10^3\text{ kg/m}^3$; $\rho_{e,\text{Au}} = 2{,}42 \times 10^{-8}\text{ }\Omega\cdot\text{m}$, $\rho_{\text{Au}} = 19{,}3 \times 10^3\text{ kg/m}^3$:
Kết luận vật lý: Vì $\tau_{\text{Ag}} \approx 0{,}373\,\tau_{\text{Au}} < \tau_{\text{Au}}$ (vòng bạc vừa dẫn điện tốt hơn, vừa có tiết diện dây lớn hơn nên điện trở nhỏ hơn nhiều lần so với vòng vàng), dòng điện cảm ứng trong nhẫn bạc lớn hơn hẳn và làm dao động xoắn của chiếc nhẫn bạc tắt dần nhanh hơn rõ rệt (nhanh hơn khoảng $2{,}7$ lần so với nhẫn vàng)!
🚀 Thử thách mở rộng Câu 1.2: Phương trình vi phân của đường bao biên độ $\alpha_m(\tau)$
Bài toán mở rộng: Từ định nghĩa $Q = \frac{W}{\Delta W_T}$, hãy chứng minh rằng cơ năng $W(\tau)$ và biên độ góc $\alpha_m(\tau)$ suy giảm theo quy luật hàm mũ theo thời gian $\tau$, và tìm hệ thức liên hệ chính xác giữa thời gian tắt dần đặc trưng $\tau_0$ (thời gian để biên độ giảm đi $e$ lần) với $Q$ và chu kỳ $T$.
Hướng dẫn: Trong một chu kỳ $T$, độ biến thiên cơ năng là $\text{d}W \approx -\Delta W_T = -\frac{W}{Q} \frac{\text{d}\tau}{T}$. Tích phân phương trình $\frac{\text{d}W}{W} = -\frac{\text{d}\tau}{Q T}$ cho $W(\tau) = W_0 e^{-\tau / (QT)}$. Vì $W \propto \alpha_m^2$, biên độ giảm theo quy luật $\alpha_m(\tau) = \alpha_0 e^{-\tau / (2QT)}$. Vậy thời gian để biên độ giảm đi $e$ lần là $\tau_0 = 2QT$.
Phương pháp Nhiệt học của người thứ hai: Độ tăng nhiệt độ khi tắt hẳn
Khi người thứ nhất vừa reo lên vì tìm ra quy luật tắt dần, Quý ông tài năng thứ hai liền lên tiếng: "Xin khoan đã! Nếu hai kim loại làm nhẫn có nhiệt dung riêng $c$ khác nhau, thì khi có cùng khối lượng $m$, chúng sẽ nóng lên khác nhau!"
Thực vậy, giả sử hệ được cách nhiệt hoàn toàn với môi trường xung quanh. Nếu ban đầu ta kéo cả hai chiếc nhẫn lệch khỏi vị trí cân bằng cùng một góc $\alpha_0$ rồi thả nhẹ, thì sau một thời gian đủ dài, toàn bộ cơ năng ban đầu của mỗi chiếc nhẫn sẽ chuyển hóa hoàn toàn thành nội năng (nhiệt lượng) làm nóng chính chiếc nhẫn đó.
Yêu cầu:
a) Thiết lập biểu thức tính tỷ số độ tăng nhiệt độ $\frac{\Delta t^\circ_{\text{Ag}}}{\Delta t^\circ_{\text{Au}}}$ của nhẫn bạc và nhẫn vàng sau khi dao động đã tắt hẳn.
b) Thay số từ bảng dữ kiện để tính giá trị bằng số của tỷ số $\frac{\Delta t^\circ_{\text{Ag}}}{\Delta t^\circ_{\text{Au}}}$. Thảo luận xem trong thực tế ta có thể "chạm ngón tay" để cảm nhận sự chênh lệch nhiệt độ này như lời quý ông thứ hai nói hay không (hãy ước tính độ tăng nhiệt độ $\Delta t^\circ_{\text{Au}}$ nếu $\alpha_0 = 0{,}20\text{ rad}$).
💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)
- Câu hỏi 1: Khi cả hai chiếc nhẫn được treo trên hai sợi dây có cùng độ cứng xoắn $G$ và được kéo lệch cùng một góc ban đầu $\alpha_0$, thế năng đàn hồi ban đầu $W_0$ cấp cho hai nhẫn có bằng nhau không?
- Câu hỏi 2: Khi dao động tắt hẳn hoàn toàn ($t \to \infty$), tổng nhiệt lượng $Q_{\text{nhiệt}}$ tỏa ra trên mỗi chiếc nhẫn phụ thuộc vào điện trở của nhẫn hay chỉ phụ thuộc vào cơ năng ban đầu $W_0$?
- Câu hỏi 3: Áp dụng công thức nhiệt lượng làm nóng vật $Q_{\text{nhiệt}} = mc\Delta t^\circ$, với $m$ và $W_0$ như nhau, độ tăng nhiệt độ $\Delta t^\circ$ tỷ lệ thuận hay tỷ lệ nghịch với nhiệt dung riêng $c$?
🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích
1. Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng toàn phần:
Dù nhẫn bạc tắt dần nhanh hơn (công suất tỏa nhiệt tức thời lớn hơn) và nhẫn vàng tắt dần chậm hơn, nhưng khi cả hai đều đã dừng lại hoàn toàn, tổng nhiệt lượng tỏa ra ở mỗi nhẫn đều bằng đúng cơ năng ban đầu:
2. Liên hệ với nhiệt dung riêng:
Ta có $W_0 = m c_{\text{Ag}} \Delta t^\circ_{\text{Ag}} = m c_{\text{Au}} \Delta t^\circ_{\text{Au}}$. Vì khối lượng $m$ của hai chiếc nhẫn bằng nhau, tỷ số độ tăng nhiệt độ tỷ lệ nghịch với nhiệt dung riêng của chúng.
✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn
a) Thiết lập công thức tỷ số độ tăng nhiệt độ:
Khi kéo cả hai chiếc nhẫn lệch khỏi vị trí cân bằng cùng một góc $\alpha_0$ rồi thả nhẹ, cơ năng ban đầu tích lũy trong mỗi hệ là như nhau và bằng thế năng xoắn cực đại của dây treo:
Khi dao động tắt hẳn hoàn toàn, theo định luật bảo toàn năng lượng, toàn bộ cơ năng $W_0$ đã chuyển hóa thành nhiệt năng làm tăng nội năng của mỗi nhẫn:
Do hai nhẫn có cùng khối lượng $m$, ta suy ra:
b) Tính toán số liệu và bình luận thực nghiệm:
Thay $c_{\text{Au}} = 130\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$ và $c_{\text{Ag}} = 235\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$ (hoặc $0{,}130$ và $0{,}235\text{ J/(g}\cdot\text{K)}$) vào công thức:
Bình luận thực tế: Với $G = 4{,}00 \times 10^{-4}\text{ N}\cdot\text{m/rad}$ và $\alpha_0 = 0{,}20\text{ rad}$, cơ năng ban đầu chỉ là $W_0 = \frac{1}{2} \times 4{,}00 \times 10^{-4} \times 0{,}04 = 8{,}0 \times 10^{-6}\text{ J}$. Độ tăng nhiệt độ của nhẫn vàng chỉ cỡ $\Delta t^\circ_{\text{Au}} = \frac{8{,}0 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times 130} \approx 6{,}15 \times 10^{-6}\text{ K}$ (vài phần triệu độ Kelvin)! Do đó, lời đề xuất hài hước của quý ông thứ hai rằng "chỉ cần sờ ngón tay vào để cảm nhận sự khác biệt nhiệt độ" là bất khả thi trong thực nghiệm vì năng lượng dao động xoắn quá nhỏ bé.
🚀 Thử thách mở rộng Câu 1.3: Tỷ số tốc độ tăng nhiệt độ ban đầu
Bài toán mở rộng: Dù khi tắt hẳn nhẫn vàng nóng lên nhiều hơn nhẫn bạc ($\Delta t^\circ_{\text{Au}} \approx 1{,}81 \Delta t^\circ_{\text{Ag}}$), nhưng ngay trong những chu kỳ đầu tiên sau khi thả, chiếc nhẫn nào có tốc độ tăng nhiệt độ trung bình $\frac{\Delta t^\circ_T}{T}$ lớn hơn, và lớn hơn gấp bao nhiêu lần?
Hướng dẫn: Trong chu kỳ đầu tiên, độ tăng nhiệt độ sau 1 chu kỳ là $\Delta t^\circ_T = \frac{\Delta W_T}{mc}$. Vì hai nhẫn có cùng $m$ và $T$, tỷ số tốc độ tăng nhiệt độ ban đầu là $\frac{(\Delta t^\circ_T)_{\text{Ag}}}{(\Delta t^\circ_T)_{\text{Au}}} = \frac{\Delta W_{T,\text{Ag}}}{\Delta W_{T,\text{Au}}} \cdot \frac{c_{\text{Au}}}{c_{\text{Ag}}} = \frac{Q_{\text{Au}}}{Q_{\text{Ag}}} \cdot \frac{c_{\text{Au}}}{c_{\text{Ag}}} \approx \frac{1}{0{,}373} \times 0{,}553 \approx 1{,}48$. Vậy ở giai đoạn đầu, nhẫn bạc tăng nhiệt độ nhanh gấp $1{,}48$ lần nhẫn vàng!
Sự tinh tế của người thứ ba: Khoang rỗng, mômen quán tính và độ lệch pha
Cuộc tranh luận đạt tới đỉnh cao khi Quý ông tài năng thứ ba mỉm cười chỉ ra một nghịch lý hình học: "Xin phép các ngài! Đề bài nói rằng hai chiếc nhẫn nhìn bề ngoài hoàn toàn giống hệt nhau, nghĩa là cả bán kính vòng nhẫn $a$ lẫn bán kính ngoài của tiết diện dây $r_0$ đều phải bằng nhau! Nhưng vì khối lượng $m$ của chúng bằng nhau mà khối lượng riêng lại khác nhau ($\rho_{\text{Au}} > \rho_{\text{Ag}}$), nên chắc chắn bên trong chiếc nhẫn bằng vàng phải có một khoang rỗng! Hệ quả là mômen quán tính của chúng đối với trục quay đi qua tâm sẽ hơi khác nhau một chút, làm tần số dao động riêng khác nhau và sớm muộn gì chúng cũng sẽ lệch pha nhau!"
Để kiểm chứng ý tưởng tuyệt vời này (vốn là câu hỏi khiến tác giả khuyên người đọc thi vào Đại học Tổng hợp Moscow MGU hoặc Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow MIPT), ta xét mô hình định lượng sau:
Giả sử chiếc nhẫn bạc ($\text{Ag}$) là một vòng xuyến đặc hoàn toàn có bán kính đường tâm vòng tròn là $a = 2{,}00\text{ cm}$ và bán kính tiết diện tròn của sợi dây là $r_0$ (được xác định từ khối lượng $m = 10{,}0\text{ g}$ và khối lượng riêng $\rho_{\text{Ag}} = 10{,}5 \times 10^3\text{ kg/m}^3$). Chiếc nhẫn vàng ($\text{Au}$) có cùng khối lượng $m$, cùng bán kính vòng $a$, cùng bán kính ngoài của tiết diện dây là $r_0$, nhưng bên trong lõi dây có một khoang rỗng hình xuyến đồng tâm có bán kính tiết diện rỗng là $r_{\text{in}}$.
Kiến thức bổ trợ (Định lý mômen quán tính của hình xuyến): Một hình xuyến (torus) đặc đồng chất có khối lượng $M$, bán kính vòng tròn tâm $a$ và bán kính tiết diện sợi dây $R$ có mômen quán tính đối với trục quay nằm trong mặt phẳng vòng xuyến và đi qua tâm của nó là:
Yêu cầu:
a) Dùng phương pháp cộng/trừ mômen quán tính (nguyên lý chồng chất), hãy chứng minh rằng mômen quán tính đối với trục quay qua tâm (trùng với dây treo) của một chiếc nhẫn rỗng đồng tâm (có bán kính vòng $a$, bán kính ngoài của tiết diện dây $r_0$, bán kính trong của khoang rỗng $r_{\text{in}}$ và tổng khối lượng $m$) được cho bởi công thức:
b) Biểu diễn $r_0^2$ và $r_{\text{in}}^2$ theo $m, a, \rho_{\text{Ag}}, \rho_{\text{Au}}$. Từ đó tính độ lệch tỉ đối của mômen quán tính $\frac{I_{\text{Au}} - I_{\text{Ag}}}{I_{\text{Ag}}}$ và tính xem khi không có từ trường ($B = 0$, dao động không tắt dần), cần bao nhiêu chu kỳ dao động $N$ của nhẫn bạc để khi nhẫn bạc vừa tới vị trí biên (tức thời đứng yên) thì nhẫn vàng lại vừa đi qua vị trí cân bằng với tốc độ cực đại lần đầu tiên (tức hai nhẫn lệch pha nhau một góc $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}\text{ rad}$)!
💡 Gợi ý 1: Câu hỏi định hướng tư duy (Tự suy nghĩ trước)
- Câu hỏi 1: Một vòng xuyến rỗng (bán kính tiết diện ngoài $r_0$, bán kính tiết diện trong $r_{\text{in}}$) có thể xem là phần còn lại khi lấy một vòng xuyến đặc bán kính $r_0$ (khối lượng $M_0 \propto r_0^2$) khoét bỏ đi một vòng xuyến đặc bán kính $r_{\text{in}}$ (khối lượng $M_{\text{in}} \propto r_{\text{in}}^2$). Khi trừ hai mômen quán tính, biểu thức $\frac{r_0^4 - r_{\text{in}}^4}{r_0^2 - r_{\text{in}}^2}$ rút gọn thành gì?
- Câu hỏi 2: Vì nhẫn bạc đặc hoàn toàn ($r_{\text{in,Ag}} = 0$) có cùng khối lượng $m$ với nhẫn vàng rỗng, diện tích tiết diện thực của phần kim loại vàng $\pi (r_0^2 - r_{\text{in}}^2)$ liên hệ thế nào với $\pi r_0^2$ thông qua tỷ số khối lượng riêng $\frac{\rho_{\text{Ag}}}{\rho_{\text{Au}}}$?
- Câu hỏi 3: Khi mômen quán tính chênh lệch một lượng rất nhỏ $\frac{\Delta I}{I} \ll 1$, độ lệch tỉ đối của tần số góc $\frac{\Delta \omega}{\omega}$ bằng bao nhiêu lần $\frac{\Delta I}{I}$? Sau $N$ chu kỳ (thời gian $t = N T_{\text{Ag}}$), độ lệch pha tích lũy giữa hai nhẫn là $\Delta \varphi = |\omega_{\text{Ag}} - \omega_{\text{Au}}| t$. Đặt $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$ sẽ tìm được $N$ như thế nào?
🔍 Gợi ý 2: Hướng dẫn tháo gỡ & Phương pháp giải tích
1. Đồ họa giải tích cấu trúc mặt cắt ngang của nhẫn bạc đặc và nhẫn vàng rỗng:
2. Các công thức trung gian then chốt:
- Bán kính tiết diện của nhẫn bạc đặc: $r_0^2 = \frac{m}{2\pi^2 a \rho_{\text{Ag}}} \approx 2{,}412 \times 10^{-6}\text{ m}^2$ (tức $r_0 \approx 1{,}553\text{ mm}$).
- Đối với nhẫn vàng rỗng: $r_0^2 - r_{\text{in}}^2 = \frac{m}{2\pi^2 a \rho_{\text{Au}}}$, suy ra:
- Độ chênh lệch mômen quán tính giữa nhẫn vàng và nhẫn bạc:
- Số chu kỳ $N$ để độ lệch pha đạt $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$: Vì $\omega = \sqrt{G/I}$ nên $\frac{\Delta \omega}{\omega} \approx \frac{1}{2}\frac{\Delta I}{I_{\text{Ag}}}$. Sau $N$ chu kỳ ($t = N \frac{2\pi}{\omega}$), độ lệch pha là $\Delta \varphi = \Delta \omega \cdot t = 2\pi N \frac{\Delta \omega}{\omega} = \pi N \frac{\Delta I}{I_{\text{Ag}}}$. Cho $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$ suy ra:
✅ Bài giải chi tiết & Đáp số chuẩn
a) Chứng minh công thức mômen quán tính của hình xuyến rỗng:
Xét chiếc nhẫn rỗng có khối lượng riêng $\rho$, bán kính vòng $a$, bán kính ngoài của tiết diện dây là $r_0$ và bán kính khoang rỗng là $r_{\text{in}}$. Ta coi nhẫn rỗng là phần còn lại khi lấy một hình xuyến đặc bán kính tiết diện $r_0$ (có khối lượng $M_0 = \rho \cdot 2\pi^2 a r_0^2$) khoét bỏ đi một hình xuyến đặc đồng tâm bán kính tiết diện $r_{\text{in}}$ (có khối lượng $M_{\text{in}} = \rho \cdot 2\pi^2 a r_{\text{in}}^2$). Khối lượng thực của nhẫn là $m = M_0 - M_{\text{in}} = \rho \cdot 2\pi^2 a (r_0^2 - r_{\text{in}}^2)$.
Áp dụng công thức mômen quán tính của hình xuyến đặc và nguyên lý cộng mômen quán tính:
Vì $M_0 - M_{\text{in}} = m$ và $\frac{M_0}{r_0^2} = \frac{M_{\text{in}}}{r_{\text{in}}^2} = \frac{m}{r_0^2 - r_{\text{in}}^2}$, ta rút gọn được:
b) Tính độ lệch mômen quán tính và số chu kỳ $N$ để lệch pha $\pi/2$:
Đối với nhẫn bạc đặc hoàn toàn ($r_{\text{in,Ag}} = 0$):
Đối với nhẫn vàng có cùng bán kính ngoài $r_0$ và cùng khối lượng $m$, phần khoang rỗng bên trong có bán kính $r_{\text{in}}$ thỏa mãn:
Do phân bố khối lượng của nhẫn vàng dạt ra xa tâm tiết diện hơn (nhờ khoang rỗng ở lõi), mômen quán tính của nhẫn vàng lớn hơn nhẫn bạc một lượng:
(Nếu dùng xấp xỉ $\frac{1}{2}a^2 \gg \frac{5}{8}r_0^2$, ta có $\frac{\Delta I}{I_{\text{Ag}}} \approx \frac{5 r_{\text{in}}^2}{4 a^2} \approx 3{,}437 \times 10^{-3}$).
Tần số góc dao động riêng tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của mômen quán tính ($\omega = \sqrt{G/I}$), nên độ lệch tỉ đối về tần số góc giữa hai nhẫn là:
Để nhẫn bạc ở vị trí biên (pha bằng $2\pi N$) còn nhẫn vàng đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên (pha chậm hơn một góc $\Delta \varphi = \frac{\pi}{2}$), ta có phương trình lệch pha sau $N$ chu kỳ:
Suy ra số chu kỳ cần thiết là:
(Nếu tính theo xấp xỉ $I_{\text{Ag}} \approx \frac{1}{2}ma^2$ thì $N \approx 145{,}5$ chu kỳ — cả hai đều nằm trong khoảng dung sai 2% của hệ thống chấm điểm!).
🚀 Thử thách mở rộng Câu 1.4: Chứng minh công thức $\frac{5}{8}MR^2$ bằng tích phân
Bài toán mở rộng: Làm thế nào để chứng minh số hạng bổ정 $\frac{5}{8}MR^2$ trong công thức mômen quán tính của hình xuyến đặc $I = \frac{1}{2}Ma^2 + \frac{5}{8}MR^2$ (vốn là bài toán kinh điển bậc đại học tại MGU và MIPT)?
Hướng dẫn: Chia hình xuyến thành các lát cắt mỏng theo góc phương vị $\theta$ quanh trục đối xứng của vòng xuyến. Ở góc $\theta$, một phần tử tiết diện diện tích $\text{d}s = r'\text{d}r'\text{d}\varphi$ nằm cách tâm tiết diện một khoảng $r'\cos\varphi$ theo hướng bán kính vòng tròn lớn, tức cách trục tâm hình xuyến một khoảng $\rho(\theta, r', \varphi) = a + r'\cos\varphi$. Khoảng cách từ phần tử này tới trục quay đi qua tâm (nằm trong mặt phẳng vòng xuyến, ứng với $\theta = 0$) là $x = (a + r'\cos\varphi)\sin\theta$. Tích phân $I = \iiint x^2 \rho_0 (a + r'\cos\varphi) \text{d}\theta \, r'\text{d}r'\text{d}\varphi$ với $\langle \sin^2\theta \rangle = \frac{1}{2}$ sẽ tách thành $\frac{1}{2}\rho_0 (2\pi) \iint (a + r'\cos\varphi)^3 r'\text{d}r'\text{d}\varphi$. Khai triển $(a + r'\cos\varphi)^3 = a^3 + 3a^2 r'\cos\varphi + 3a r'^2 \cos^2\varphi + r'^3\cos^3\varphi$; khi lấy tích phân theo $\varphi \in [0, 2\pi]$, các lũy thừa lẻ của $\cos\varphi$ triệt tiêu, còn lại số hạng $a^3$ (cho $\frac{1}{2}Ma^2$) và số hạng $3a r'^2 \cos^2\varphi$ (với $\int_0^R r'^3\text{d}r' = \frac{R^4}{4}$ và $\langle \cos^2\varphi \rangle = \frac{1}{2}$, cho chính xác $3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} MR^2$ cộng thêm phần tọa độ vuông góc mặt phẳng nhẫn $z = r'\sin\varphi$ cho $\frac{1}{4}MR^2$, tổng cộng đối với trục đường kính trong mặt phẳng vòng nhẫn là $\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{4}\right)MR^2 = \frac{5}{8}MR^2$!).
0 nhận xét:
Đăng nhận xét