Tương tự điện - cơ

Tạp chí Kvant • 2025 • Số 3 • Chuyên mục Thực hành

TƯƠNG TỰ ĐỘNG LỰC HỌC VÀ CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG

Tác giả: B. Mukushev  |  DOI: 10.4213/kvant20250305

Tương tự (analogy) là một phương pháp nhận thức, trong đó dựa trên sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, người ta rút ra kết luận về sự giống nhau của chúng ở các dấu hiệu khác. Khi thiết lập được sự tương đồng như vậy và nhận thấy số lượng các dấu hiệu trùng khớp đủ lớn, nhà nghiên cứu có thể đưa ra giả thuyết rằng các tính chất khác của những đối tượng này cũng trùng khớp. Lối lập luận như thế tạo nên nền tảng của phương pháp tương tự.

Phương pháp tương tự thường được sử dụng trong vật lý ở giai đoạn nghiên cứu lý thuyết các hiện tượng và đối tượng, thông qua việc so sánh những dấu hiệu cơ bản của hai hệ. Nền tảng của sự tương tự vật lý là sự giống nhau trong mô tả toán học của các quá trình và đối tượng vật lý được đem ra đối chiếu. Chính nhờ việc nghiên cứu các phép tương tự mà vật lý học đã đi đến nhận thức sâu sắc rằng: những hiện tượng có bản chất hoàn toàn khác nhau vẫn có thể tuân theo cùng một quy luật và định luật toán học.

Các phép tương tự vật lý được chia thành hai loại: tương tự tĩnh và tương tự động lực học. Tương tự tĩnh đặc trưng cho các hệ có các thông số không thay đổi theo thời gian. Một ví dụ điển hình của tương tự tĩnh là sự giống nhau giữa định luật vạn vật hấp dẫn và định luật Coulomb. Biểu thức của lực hấp dẫn giữa hai chất điểm có khối lượng $M$ và $m$, cùng biểu thức của lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích điểm trái dấu $Q$ và $q$ có dạng:

$$\begin{align} F_{\text{hd}} &= G\frac{Mm}{r^2}, \qquad F_{\text{đ}} = k\frac{Qq}{r^2} \end{align}$$

Ở đây $G$ là hằng số hấp dẫn, $k$ là hệ số tỷ lệ tĩnh điện, $r$ là khoảng cách giữa các vật tương tác, với $Q > 0, q < 0$ hoặc $Q < 0, q > 0$.

Một sự tương đồng sâu sắc được phát hiện khi đối chiếu dao động của vật nặng gắn vào lò xo (con lắc lò xo) và dao động của điện tích trong mạch dao động điện từ (Hình 1).

Hình 1. Sự tương tự động lực học giữa con lắc lò xo và mạch dao động điện từ LC.

Ở đây, các quá trình diễn biến theo thời gian trong những hệ có bản chất vật lý khác nhau lại tỏ ra hoàn toàn tương tự nhau. Những phép tương tự thuộc loại này được gọi là tương tự động lực học. Thật thú vị khi nguyên lý hoạt động của máy tính tương tự (analog computer) chính là dựa trên sự giống nhau giữa quá trình cơ học và quá trình điện học. Các quá trình trong những hệ tương tự động lực học được mô tả bởi cùng một hệ phương trình toán học.

Việc sử dụng phép tương tự trong nhiều trường hợp giúp ích rất lớn khi giải các bài toán vật lý. Chúng ta hãy xét một loạt bài toán mà lời giải của chúng trở nên đơn giản hơn đáng kể nếu vận dụng phương pháp tương tự động lực học.

Bài toán 1. Một nguồn điện có suất điện động $\mathcal{E}$ và điện trở trong bằng không được mắc nối tiếp với một cuộn cảm có độ tự cảm $L$ và một tụ điện có điện dung $C$ (Hình 2). Tại thời điểm ban đầu, tụ điện chưa tích điện. Hãy tìm sự phụ thuộc theo thời gian của điện tích trên tụ điện và hiệu điện thế giữa hai bản tụ sau khi đóng khóa $K$.

Việc tìm quy luật phụ thuộc này trực tiếp bằng các định luật điện từ học khá phức tạp, vì vậy rất hợp lý nếu ta sử dụng phép tương tự cơ học. Trên Hình 3 biểu diễn hệ dao động cơ học tương tự. Vật đóng vai trò tương tự với nguồn điện có suất điện động $\mathcal{E}$ chính là trường trọng lực đều $\vec{g}$. Khi rút nhanh tấm đỡ ra khỏi vật nặng đang gắn vào lò xo không biến dạng, vật nặng bắt đầu dao động.

Hình 2. Mạch điện LC mắc nối tiếp với nguồn $\mathcal{E}$.  |  Hình 3. Hệ cơ học tương tự trong trường trọng lực.

Ta viết phương trình định luật II Newton cho vật nặng theo trục $Ox$ hướng thẳng đứng xuống dưới:

$$\begin{align} ma &= mg - kx \end{align}$$

Ký hiệu gia tốc của vật là $x''$ và đặt $\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}$. Từ phương trình định luật II Newton, ta thu được phương trình vi phân cấp hai:

$$\begin{align} x'' + \omega_0^2 x &= g \end{align}$$

Nghiệm của phương trình vi phân này với điều kiện đầu $x(0) = 0$ và $x'(0) = 0$ có dạng:

$$\begin{align} x(t) &= x_0(1 - \cos\omega_0 t) \end{align}$$

trong đó:

$$\begin{align} x_0 &= \frac{mg}{k}, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align}$$

Vật nặng thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng $x_0$. Độ dịch chuyển của vật nằm trong đoạn $[0; 2x_0]$.

Độ dịch chuyển của vật nặng $x(t)$ tương ứng với điện tích trên tụ điện $q(t)$. Từ sự tương tự giữa hai hệ dao động, ta suy ra độ lớn điện tích trên tụ điện biến thiên theo thời gian trong đoạn $[0; 2q_0]$. Ta viết được biểu thức phụ thuộc theo thời gian của điện tích và hiệu điện thế trên tụ điện sau khi đóng khóa $K$:

$$\begin{align} q(t) &= q_0(1 - \cos\omega_0 t) \end{align}$$

trong đó:

$$\begin{align} q_0 &= C\mathcal{E}, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}} \end{align}$$

và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là:

$$\begin{align} U(t) &= \frac{q(t)}{C} \\ &= \mathcal{E}(1 - \cos\omega_0 t) \end{align}$$

Trên Hình 4 biểu diễn đồ thị của các đại lượng vật lý $x(t)$ và $q(t)$ theo thời gian $t$. Ở đây $T$ là chu kỳ dao động của vật nặng trên lò xo và cũng là chu kỳ biến thiên của điện tích trên tụ điện.

Hình 4. Đồ thị sự phụ thuộc của $x(t)$ và $q(t)$ theo thời gian $t$.

Bài toán 2. Một tụ điện có điện dung $C$ và hai cuộn cảm có độ tự cảm $L_1$, $L_2$ được mắc vào mạch điện như trên Hình 5.
a) Tìm chu kỳ dao động điện từ của mạch này.
b) Tìm cường độ dòng điện cực đại trong mỗi cuộn cảm, nếu ban đầu tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế $U_0$.

Hình 5. Mạch dao động gồm tụ $C$ và hai cuộn cảm $L_1, L_2$ song song.  |  Hình 6. Hệ cơ học tương tự gồm hai vật $m_1, m_2$ nối bằng lò xo $k$.

a) Ta sử dụng phương pháp tương tự. Mô hình cơ học tương tự của mạch điện này được trình bày trên Hình 6. Hai vật nhỏ có khối lượng $m_1$ và $m_2$ được gắn với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$. Mặt phẳng đỡ các vật hoàn toàn nhẵn. Người ta dịch chuyển các vật để nén lò xo lại rồi đồng thời buông nhẹ. Cần xác định chu kỳ của dao động được hình thành.

Khối tâm của hệ không dịch chuyển, do đó hai vật dao động ngược pha với cùng tần số, và độ lệch $x_1, x_2$ của chúng khỏi vị trí cân bằng thỏa mãn hệ thức:

$$\begin{align} k_1 x_1 &= k_2 x_2 \end{align}$$

trong đó $k_1$ và $k_2$ là độ cứng của các phần lò xo tương ứng có chiều dài tự nhiên:

$$\begin{align} l_1 &= l\frac{m_2}{m_1 + m_2}, \qquad l_2 = l\frac{m_1}{m_1 + m_2} \end{align}$$

($l_1$ và $l_2$ là khoảng cách từ các vật nặng đến khối tâm của hệ). Ta đã biết rằng độ giãn của phần thứ $(1/n)$ của lò xo luôn nhỏ hơn $n$ lần so với độ giãn của toàn bộ lò xo, nghĩa là phần thứ $(1/n)$ của lò xo có độ cứng lớn gấp $n$ lần độ cứng của toàn bộ lò xo. Vì vậy:

$$\begin{align} k_1 &= \frac{m_1 + m_2}{m_2}k, \qquad k_2 = \frac{m_1 + m_2}{m_1}k \end{align}$$

Từ đây suy ra chu kỳ dao động của các vật nặng bằng:

$$\begin{align} T &= 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)k}} \end{align}$$

Do đó, chu kỳ dao động điện từ trong mạch dao động của chúng ta bằng:

$$\begin{align} T &= 2\pi\sqrt{\frac{C L_1 L_2}{L_1 + L_2}} \end{align}$$

b) Từ lập luận tương tự, ta thiết lập sự tương ứng giữa các đại lượng điện và cơ. Cụ thể, hiệu điện thế trên tụ điện tương ứng với lực đàn hồi của lò xo ($U_0 \leftrightarrow F_0$). Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ dao động cơ học:

$$\begin{align} \frac{F_0^2}{2k} &= \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} \end{align}$$

trong đó $F_0$ là lực đàn hồi của lò xo khi bị nén ban đầu, còn $v_1$ và $v_2$ là vận tốc cực đại của các vật nặng. Vì hai vật dao động ngược pha với cùng tần số nên chúng đạt vận tốc cực đại đồng thời. Khối tâm của hệ đứng yên, nghĩa là tổng động lượng của hệ dao động không đổi. Động lượng của hệ đối với mặt sàn bằng không, do đó về độ lớn:

$$\begin{align} m_1 v_1 &= m_2 v_2 \end{align}$$

Giải hệ hai phương trình thu được ở trên, ta tìm được:

$$\begin{align} v_1 &= F_0\sqrt{\frac{m_2}{m_1}\frac{1}{k(m_1 + m_2)}}, \qquad v_2 = F_0\sqrt{\frac{m_1}{m_2}\frac{1}{k(m_1 + m_2)}} \end{align}$$

Suy ra cường độ dòng điện cực đại trong mỗi cuộn cảm bằng:

$$\begin{align} I_1 &= U_0\sqrt{\frac{L_2}{L_1}\frac{C}{L_1 + L_2}}, \qquad I_2 = U_0\sqrt{\frac{L_1}{L_2}\frac{C}{L_1 + L_2}} \end{align}$$

Bài toán 3. Trong sơ đồ mạch điện biểu diễn trên Hình 7, tụ điện bên trái có điện dung $C_1$ mang điện tích $q_0$, còn tụ điện bên phải có điện dung $C_2$ chưa tích điện.
a) Hãy tìm phương trình biến thiên điện tích trên các tụ điện theo thời gian sau khi đóng khóa $K$.
b) Xác định nhiệt lượng tỏa ra sau khi dao động điều hòa đã xác lập trong hệ.

Hình 7. Mạch điện có tụ $C_1$ nối vào tụ $C_2$ và cuộn cảm $L$.  |  Hình 8. Thí nghiệm cơ học tương tự kéo một phần lò xo.

Quá trình điện từ này có thể được minh họa trực quan trên hệ cơ học tương tự biểu diễn ở Hình 8. Ta tiến hành thí nghiệm sau: dùng tay kẹp giữ một vòng bất kỳ của lò xo và kéo giãn phần bên trái của nó thêm một đoạn $x_0$. Phần bên phải của lò xo vẫn ở trạng thái không biến dạng, sao cho vật nặng ở thời điểm ban đầu bị lệch khỏi vị trí cân bằng sang phải một đoạn $x_0$ và đứng yên. Sau đó ta buông vòng lò xo ra, lập tức xuất hiện các dao động tắt dần rất nhanh của bản thân lò xo (do khối lượng của lò xo rất nhỏ so với khối lượng của vật nặng nên chu kỳ dao động riêng của các vòng lò xo cực kỳ nhỏ). Nhờ quán tính lớn, vật nặng không kịp dịch chuyển đáng kể trong suốt thời gian diễn ra các dao động tắt dần của lò xo. Sau khi các dao động nhanh tắt hẳn, lực căng trong lò xo được phân bố lại đều khắp, còn độ lệch của vật nặng vẫn giữ nguyên bằng $x_0$. Như vậy, một phần thế năng đàn hồi ban đầu của lò xo biến dạng đã chuyển hóa thành nhiệt năng. Nếu ta ký hiệu độ cứng của phần bên trái lò xo là $k_1$, phần bên phải là $k_2$, thì độ cứng tổng cộng $k$ của toàn bộ lò xo được viết:

$$\begin{align} \frac{1}{k} &= \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}, \qquad k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \end{align}$$

Như vậy, sau đó vật nặng gắn trên lò xo sẽ thực hiện dao động điều hòa theo quy luật:

$$\begin{align} x(t) &= x_0 \cos\omega_0 t \end{align}$$

trong đó tần số góc $\omega_0$ là:

$$\begin{align} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{k_1 k_2}{(k_1 + k_2)m}} \end{align}$$

Ở giai đoạn ban đầu, ngoại lực đã thực hiện một công cơ học bằng $\dfrac{k_1 x_0^2}{2}$. Sau khi dao động điều hòa được xác lập trong hệ cơ học, cơ năng toàn phần của hệ trở thành $\dfrac{k x_0^2}{2}$. Khi đó, nhiệt lượng tỏa ra là:

$$\begin{align} Q &= \frac{k_1 x_0^2}{2} - \frac{k x_0^2}{2} \end{align}$$

Bây giờ ta quay trở lại hệ điện từ đã cho trong đề bài. Khi đóng khóa $K$, xuất hiện các dao động tắt dần rất nhanh trong mạch vòng nhỏ tạo bởi hai tụ điện và các dây nối chúng. Chu kỳ của các dao động này rất nhỏ vì độ tự cảm của các dây nối nhỏ hơn rất nhiều so với độ tự cảm $L$ của cuộn dây. Kết quả của các dao động nhanh đó là điện tích trên các bản tụ điện được phân bố lại, sau đó hai tụ điện mắc song song có thể được xem như một tụ điện tương đương duy nhất.

a) Sau khi các dao động nhanh tắt hẳn, trong hệ diễn ra dao động điều hòa giống như trong mạch có một tụ điện có điện dung tương đương $C_1 + C_2$ mà điện tích tổng cộng ở thời điểm ban đầu bằng $q_0$:

$$\begin{align} q(t) &= q_0 \cos\omega_0 t \end{align}$$

trong đó:

$$\begin{align} \omega_0 &= \sqrt{\frac{1}{L(C_1 + C_2)}} \end{align}$$

b) Nhiệt lượng tỏa ra sau khi dao động điều hòa đã xác lập trong hệ điện từ bằng:

$$\begin{align} Q &= \frac{q_0^2}{2C_1} - \frac{q_0^2}{2(C_1 + C_2)} \end{align}$$

Bài toán 4. Trong mạch điện gồm hai tụ điện giống hệt nhau có cùng điện dung $C$ và một cuộn cảm có độ tự cảm $L$ mắc nối tiếp (Hình 9), ở thời điểm ban đầu một tụ điện có điện tích $q_0$, còn tụ điện thứ hai chưa tích điện. Cường độ dòng điện trong mạch và điện tích của các tụ điện sẽ biến thiên theo thời gian như thế nào sau khi đóng khóa $K$?

Hình 9. Mạch điện gồm hai tụ $C$ và cuộn cảm $L$ mắc nối tiếp.  |  Hình 10. Hệ cơ học tương tự gồm vật nặng $m$ gắn giữa hai lò xo giống hệt nhau.

Mô hình cơ học tương tự của hệ điện từ này được biểu diễn trên Hình 10. Vật nặng có khối lượng $m$ đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn giữa hai lò xo giống hệt nhau có độ cứng $k$. Ban đầu một lò xo bị biến dạng một đoạn $x_0$, còn lò xo kia không biến dạng. Nếu buông vật ra, nó sẽ bắt đầu dao động điều hòa. Từ tính chất đối xứng, dao động của vật diễn ra giữa hai điểm $0$ và $x_0$ với biên độ $A = x_0 / 2$ (Hình 11). Coi vật nặng như một chất điểm. Vận tốc của vật biến thiên theo quy luật điều hòa:

$$\begin{align} v &= v_0 \sin\omega_0 t \end{align}$$

trong đó $\omega_0$ là tần số góc của dao động và $v_0$ là biên độ vận tốc.

Hình 11. Sự biến dạng của hệ hai lò xo và vị trí cân bằng tại điểm chính giữa $x = x_0/2$.

Độ cứng tổng cộng của hệ hai lò xo bằng $2k$, do đó tần số góc của dao động là:

$$\begin{align} \omega_0 &= \sqrt{\frac{2k}{m}} \end{align}$$

Để tìm biên độ vận tốc $v_0$, ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng. Nếu $x_1$ là độ biến dạng của lò xo bên trái tại thời điểm $t$, thì độ biến dạng của lò xo bên phải bằng $x_2 = x_0 - x_1$, và theo định luật bảo toàn năng lượng:

$$\begin{align} \frac{k x_0^2}{2} &= \frac{m v^2}{2} + \frac{k x_1^2}{2} + \frac{k(x_0 - x_1)^2}{2} \end{align}$$

trong đó $v$ là vận tốc của vật nặng tại thời điểm $t$. Từ đây ta tìm được:

$$\begin{align} v^2 &= \frac{2k}{m} x_1(x_0 - x_1) \qquad (*) \end{align}$$

Khảo sát cực trị của biểu thức này, ta thấy $v^2$ đạt giá trị cực đại khi:

$$\begin{align} x_1 &= x_0 - x_1 \\ &= \frac{x_0}{2} \end{align}$$

Vì vậy, đối với biên độ vận tốc của vật nặng ta thu được:

$$\begin{align} v_0 &= x_0 \sqrt{\frac{k}{2m}} \end{align}$$

Suy ra biểu thức vận tốc của vật theo thời gian là:

$$\begin{align} v &= x_0 \sqrt{\frac{k}{2m}} \sin\omega_0 t \end{align}$$

Thay biểu thức này vào $(*)$, ta có:

$$\begin{align} x_1 &= \frac{x_0}{2}(1 + \cos\omega_0 t) \end{align}$$

và tương ứng cho lò xo thứ hai:

$$\begin{align} x_2 &= x_0 - x_1 \\ &= \frac{x_0}{2}(1 - \cos\omega_0 t) \end{align}$$

Chuyển toàn bộ các kết quả này từ hệ tương tự cơ học sang hệ điện từ, ta thu được các kết quả sau:

• Tần số góc của dao động điện từ trong mạch bằng:
  $$\begin{align} \omega_0 &= \sqrt{\frac{2}{LC}} \end{align}$$
• Cường độ dòng điện trong mạch biến thiên theo quy luật điều hòa:
  $$\begin{align} I &= q_0 \sqrt{\frac{1}{2LC}} \sin\omega_0 t \end{align}$$
• Biên độ dòng điện bằng:
  $$\begin{align} I_0 &= q_0 \sqrt{\frac{1}{2LC}} \end{align}$$
• Điện tích của tụ điện thứ nhất biến thiên theo thời gian theo quy luật:
  $$\begin{align} q_1 &= \frac{q_0}{2}(1 + \cos\omega_0 t) \end{align}$$
• Điện tích của tụ điện thứ hai biến thiên theo thời gian theo quy luật:
  $$\begin{align} q_2 &= q_0 - q_1 \\ &= \frac{q_0}{2}(1 - \cos\omega_0 t) \end{align}$$

Bài toán tiếp theo minh họa phép chuyển đổi ngược lại: từ một hệ cơ học sang hệ điện từ tương tự. Chính dạng tương tự theo chiều hướng này đã tìm thấy ứng dụng vô cùng rộng rãi trong khoa học và kỹ thuật.

Bài toán 5. Hãy tìm vận tốc cực đại của vật nặng gắn trên lò xo đặt trong môi trường nhớt khi có ngoại lực biến thiên tuần hoàn $f = 10\sin 10t\text{ (N)}$ tác dụng lên nó (Hình 12). Khối lượng của vật nặng $m = 0{,}1\text{ kg}$, độ cứng của lò xo $k = 2\text{ N/m}$, hệ số cản của môi trường nhớt $\beta = 1\text{ N}\cdot\text{s/m}$. Lực cản của môi trường nhớt có dạng $F_{\text{nhớt}} = -\beta v$.

Hình 12. Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo trong môi trường nhớt.  |  Hình 13. Mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp tương tự.

Do một quá trình cơ học phức tạp như nêu trong giả thiết của bài toán này không được khảo sát trực tiếp trong chương trình vật lý phổ thông, chúng ta hãy nhờ đến phương pháp tương tự. Hệ điện từ tương tự là một mạch dao động $RLC$ mắc nối tiếp chứa nguồn điện xoay chiều bên ngoài $U = U_0 \sin\omega t$ (Hình 13). Từ định luật Ohm cho mạch điện xoay chiều, ta tìm được cường độ dòng điện cực đại trong mạch:

$$\begin{align} I_0 &= \frac{U_0}{Z} \\ &= \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}} \end{align}$$

Ta thiết lập sự tương ứng giữa các đặc trưng của hệ cơ học và hệ điện từ:

$$\begin{align} v \leftrightarrow i, \qquad f \leftrightarrow U, \qquad m \leftrightarrow L, \qquad k \leftrightarrow \frac{1}{C}, \qquad \beta \leftrightarrow R \end{align}$$

Dựa vào tính tương tự của hai hệ, ta tìm được biên độ vận tốc cực đại của vật nặng:

$$\begin{align} v_0 &= \frac{F_0}{\sqrt{\beta^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}} \end{align}$$

Thay các số liệu từ đề bài: $\beta = 1\text{ N}\cdot\text{s/m}$, $F_0 = 10\text{ N}$, $\omega = 10\text{ s}^{-1}$, $m = 0{,}1\text{ kg}$, $k = 2\text{ N/m}$, ta thu được kết quả cuối cùng:

$$\begin{align} v_0 &= \frac{10}{\sqrt{1^2 + \left(10 \cdot 0{,}1 - \frac{2}{10}\right)^2}} \\ &\approx 7{,}8\text{ m/s} \end{align}$$